偏微分方程課件

偏微分方程課件第1頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月

數(shù)學(xué)物理方程指從物理學(xué)或其他各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中的某些物理問題導(dǎo)出的偏微分方程(有時(shí)也包括積分方程、微分積分方程等)。它們反映了有關(guān)的未知變量關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和與空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等方面的基本方程都屬于數(shù)學(xué)物理方程的范圍。

教學(xué)目的通過本課程的教學(xué)使學(xué)生獲得有關(guān)偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三類典型方程定解問題的解法，進(jìn)一步擴(kuò)大學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)面，為后繼課程提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。2第2頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月參考書目《數(shù)學(xué)物理方程》,王明新,清華大學(xué)出版社?！稊?shù)學(xué)物理方程》，姜禮尚，高教出版社?！豆こ碳夹g(shù)中的偏微分方程》，潘祖梁，浙江大學(xué)出版社。3第3頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月一.偏微分方程（partialdifferentialequation)（PDE）的基本概念自變量未知函數(shù)偏微分方程的一般形式4第4頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月PDE的階：PDE的解

古典解廣義解概念是指這樣一個(gè)函數(shù)，它滿足方程，并且在所考慮的區(qū)域內(nèi)有m階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。線性PDE非線性PDE半線性PDE擬線性PDE完全非線性PDE自由項(xiàng)在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱為自由項(xiàng)．5第5頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月線性PDE：PDE中對(duì)所含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的全體都是線性的。例如：常系數(shù)線性PDE:不然稱為變系數(shù)的．齊次線性PDE:不然稱為非齊次的．線性PDE的主部:具有最高階數(shù)偏導(dǎo)數(shù)組成的部分．主部6第6頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月PDE中對(duì)最高階導(dǎo)數(shù)是線性的。例如：半線性PDE：完全非線性PDE：PDE中對(duì)最高階導(dǎo)數(shù)不是線性的。擬線性PDE：擬線性PDE中，最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)僅為自變量的函數(shù)。例如：非線性PDE7第7頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）1.2.變換解為：解為：8第8頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）4.3.解為：變換解為：9第9頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月5.不易找出其通解，但還是可以找出一些特解任意解析函數(shù)的實(shí)部和虛部均滿足方程。也是解6.特解都不易找到KDV方程舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）`10第10頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月7.擬線性PDE8.擬線性PDE9.半線性PDE10.半線性PDE11.完全非線性PDE11第11頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例(多元函數(shù))拉普拉斯(Laplace)方程熱傳導(dǎo)方程波動(dòng)方程12第12頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月二.定解問題的適定性定解問題PDE定解條件初值條件initialcondition邊值條件boundarycondition初、邊值條件初值問題、邊值問題、混合問題13第13頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)典的定解問題舉例1+1維波動(dòng)方程(弦振動(dòng)方程)的初值問題14第14頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)典的定解問題舉例熱傳導(dǎo)方程的初值問題15第15頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)典的定解問題舉例二維調(diào)和方程的邊值問題第一邊值問題（Dirichlet）第二邊值問題（Neumann）第三邊值問題（Robin）16第16頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)典的定解問題舉例熱傳導(dǎo)方程的初、邊值問題17第17頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月何為適定性？存在性唯一性連續(xù)依賴性（穩(wěn)定性）適定性若PDE在附加條件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函數(shù)類中存在、唯一而且關(guān)于附加條件為穩(wěn)定的，就稱定解問題在相應(yīng)的函數(shù)類中為適定的。穩(wěn)定性：只要定解條件的偏差足夠小，相應(yīng)的定解問題解的偏差也將非常?。?8第18頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月三.物理模型與定解問題的導(dǎo)出弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出19第19頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月弦振動(dòng)方程與定解問題

一長(zhǎng)為L(zhǎng)的柔軟均勻細(xì)弦，拉緊后，當(dāng)它受到與平衡位置垂直的外力作用時(shí)，開始作微小橫振動(dòng)。假設(shè)這運(yùn)動(dòng)發(fā)生在同一平面內(nèi)，求弦上各點(diǎn)位移隨時(shí)間變化規(guī)律。弦上各點(diǎn)作往返運(yùn)動(dòng)的主要原因在于弦的張力作用，弦在運(yùn)動(dòng)過程中各點(diǎn)的位移、加速度和張力都在不斷變化，但它們遵循物理的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。由此可以建立弦上各點(diǎn)的位移函數(shù)所滿足的微分方程。20第20頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月取弦的平衡位置為OX軸，運(yùn)動(dòng)平面為XOUOUXPQL在時(shí)刻t，弦線在x點(diǎn)的位移為u(x,t)OUXPQ上圖中PQ的放大圖示21第21頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)弦線是均勻的，弦作微小振動(dòng)，故可認(rèn)為即表明弧段PQ在振動(dòng)過程中長(zhǎng)度近似不變。根據(jù)Hooke定律，弦上各點(diǎn)的張力T的大小與時(shí)間t無關(guān)，只與x有關(guān)。再由于弦是柔軟的，弦上各點(diǎn)的張力T的方向正是弦的切線方向。22第22頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月(*1)(*2)設(shè)為弦的線密度(單位長(zhǎng)度的質(zhì)量)，為作用在弦線上且垂直于平衡位置的強(qiáng)迫外力密度(單位長(zhǎng)度的力)，根據(jù)牛頓第二定律，23第23頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月(*1)這表明張力的大小與x也無關(guān)，即常數(shù)(*2)，微分中值定理24第24頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月令，可得微分方程方程弦是均勻的，故為常數(shù)，記方程改寫為刻劃了均勻弦的微小橫振動(dòng)的一般規(guī)律。通常稱為弦振動(dòng)方程。25第25頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月為了具體給出弦的振動(dòng)規(guī)律，除了列出它所滿足的方程外，由于弦開始時(shí)的形狀和弦上各點(diǎn)的速度，對(duì)弦振動(dòng)將有直接影響，由此必須列出初始條件或者(以及)邊界條件已知端點(diǎn)的位移已知在端點(diǎn)受到垂直于弦的外力的作用已知端點(diǎn)的位移與所受外力作用的一個(gè)線性組合26第26頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月2+1維波動(dòng)方程或膜振動(dòng)方程一塊均勻的拉緊的薄膜，離開靜止水平位置作垂直于水平位置的微小振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足其中：u(x,y,t)表示在t時(shí)刻、膜在(x,y)

點(diǎn)處的位移f(x,y,t)表示單位質(zhì)量所受的外力a2=T/：T表示張力、為線密度27第27頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月3+1維波動(dòng)方程或聲波方程n+1維波動(dòng)方程28第28頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)分析：設(shè)桿長(zhǎng)方向?yàn)閤軸，考慮桿上從x到x+dx的一段(代表)，其質(zhì)量為dm=ρdx，熱容量為cdm。設(shè)桿中的熱流沿x軸正向，強(qiáng)度為q(x,t)，溫度分布為u(x,t)，則問題：一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻?qū)峒?xì)桿，側(cè)面絕熱，內(nèi)部無熱源。其熱傳導(dǎo)系數(shù)為k，比熱為c，線密度為ρ。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。由能量守恒定律cdmdu=dQ=[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt=-qx(x,t)dxdt于是有cρut=-qx由熱傳導(dǎo)定律q(x,t)=-kux(x,t)代入前面的式子，得到cρut=kuxxut=a2uxx29第29頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月推廣：情況：內(nèi)部有熱源(或側(cè)面不絕熱)分析：設(shè)熱源強(qiáng)度(單位時(shí)間在單位長(zhǎng)度中產(chǎn)生的熱量)為F(x,t)，代表段的吸熱為Fdxdt方程：cρut=kuxx+Fut=a2uxx+f，f=F/(cρ)30第30頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定場(chǎng)方程產(chǎn)生：在演化問題中，有時(shí)會(huì)到達(dá)一個(gè)不隨時(shí)間變化的穩(wěn)定狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的方程稱為穩(wěn)定場(chǎng)方程。形式：在對(duì)應(yīng)的演化方程中取消時(shí)間變量t，對(duì)t的導(dǎo)數(shù)為零。分類：無外界作用情況拉普拉斯方程：Δu=utt+uyy+uzz=0有外界作用情況泊松方程：Δu=utt+uyy+uzz=f(x,y,z)典型應(yīng)用靜電場(chǎng)方程：Δu=-ρ/ε穩(wěn)定溫度分布：Δu=-F/k31第31頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月

在數(shù)學(xué)物理方程的建立過程中，我們主要討論了三種類型的偏微分方程：波動(dòng)方程；熱傳導(dǎo)方程；穩(wěn)定場(chǎng)方程．這三類方程描寫了不同物理現(xiàn)象及其過程，后面我們將會(huì)看到它們的解也表現(xiàn)出各自不同的特點(diǎn)．我們?cè)诮馕鰩缀沃兄缹?duì)于二次實(shí)曲線其中

為常數(shù)，且設(shè)四、數(shù)學(xué)物理方程的分類32第32頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月則當(dāng)

時(shí)，上述二次曲線分別為雙曲線、拋物線和橢圓．受此啟發(fā)，下面我們來對(duì)二階線性偏微分方程進(jìn)行分類.

下面主要以含兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程為例，進(jìn)行理論分析．而對(duì)于更多個(gè)自變量的情形盡管要復(fù)雜一些，但討論的基本方法是一樣的．兩個(gè)自變量(x,y)的二階線性偏微分方程所具有的普遍形式為33第33頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月二階線性PDE方程的分類兩個(gè)自變量，齊次主部目的：通過自變量的非奇異變換來簡(jiǎn)化方程的主部，從而據(jù)此分類。非奇異（1）34第34頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)合求導(dǎo)35第35頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月系數(shù)之間的關(guān)系（2）（1）（3）36第36頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月其他系數(shù)之間的關(guān)系（3*）37第37頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮如若能找到兩個(gè)相互獨(dú)立的解那么就作變換從而有（4）38第38頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)是方程的特解，則關(guān)系式是常微分方程（4）（5）的一般積分。反之亦然。引理

由此可知，要求方程（4）的解，只須求出常微分方程（5）的一般積分。39第39頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月定義稱常微分方程（5）為PDE（1）的特征方程。稱（5）的積分曲線為PDE（1）的特征曲線。（6）40第40頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月記定義方程(1)在點(diǎn)M處是雙曲型：橢圓型：拋物型：若在點(diǎn)M處，有若在點(diǎn)M處，有若在點(diǎn)M處，有41第41頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月雙曲型PDE右端為兩相異的實(shí)函數(shù)它們的一般積分為由此令，方程（1）可改寫為雙曲型方程的第一標(biāo)準(zhǔn)型雙曲型方程的第二標(biāo)準(zhǔn)型42第42頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月拋物型PDE由此得到一般積分為由此令，其中與獨(dú)立(線性無關(guān))的任意函數(shù)。43第43頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月由于由此推出44第44頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，方程（1）可改寫為拋物型方程的標(biāo)準(zhǔn)型而45第45頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月橢圓型PDE右端為兩相異的復(fù)數(shù)由此推出兩族復(fù)數(shù)積分曲線為