2021一模解答題立體幾何

【第一組】寶山

17.如圖，在長方體A3CO-43cq中，T為。。?上一點，已知。T=2,A」B=4,BC=2,

A4,=6.

(1)求直線TC與平面A3CD所成角的大小(用反三角函數(shù)值表示)；

(2)求點C到平面4TC的距離.

【第二組】崇明

17.如圖，已知A5J_平面BCD,BC±BD,直線AO與平面3CO所成的角為30°,

且AB=BC=2.

(1)求三棱錐A-88的體積；

(2)設(shè)M為8。的中點，求異面直線A。與。0所成角的大小.

(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)-4

【第三組】虹口

17.如圖在三棱錐中，棱AB、AC、AP兩兩垂直，AB=AC=AP=3，點〃

在AP上，且AM=1.

（1）求異面直線8W和PC所成的角的大小;

（2）求三棱錐「一BMC的體積.

【第四組】普陀

19.某商場共有三層樓，在其圓柱形空間內(nèi)安裝兩部等長的扶梯I、II供顧客乘用，如圖，

一顧客自一樓點A處乘1到達二樓的點3處后，沿著二樓面上的圓弧3M逆時針步行至點

C處，且C為弧的中點，再乘II到達三樓的點。處，設(shè)圓柱形空間三個樓面圓的中心

分別為。、。2,半徑為8米，相鄰樓層的間距AM=4米，兩部電梯與樓面所成角的

大小均為arcsinL

3

（1）求此顧客在二樓面上步行的路程；

（2）求異面直線AB和CD所成角的大小.

（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

【第五組】長寧

17.如圖，已知圓錐的頂點為P,底面圓心為。，高為26，底面半徑為2.

(1)求該圓錐的側(cè)面積；

(2)設(shè)。4、05為該圓錐的底面半徑，且NAOB=90。,

用為線段A3的中點，求直線與直線08所成的角

的正切值.

【第六組】徐匯

17.如圖，在直三棱柱A8C—44G中，AC=BC=2,CC,=4,NACB=90。，E、

分別為棱44r45的中點.

（1）求異面直線AC與防所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；

（2）求五棱錐C-EFBB]4的體積Vc_EFBB<Ai.孰

【第七組】閔行

17.如圖，在圓柱。。中，A8是圓柱的母線，是圓柱的底面e0的直徑，。是底面圓

周上異于3、C的點.

(1)求證：C￡>_L平面ABD：

(2)若30=2,CD=4,AC=6,求圓柱0a的側(cè)面積.

D

【第八組】青浦

17.如圖，長方體A8C。一481cl□中，AB=A￡>=1,44=2,點P為。。的中點.

(1)求證：直線3R〃平面B4C；

(2)求異面直線Bq與AP所成角的大小.

【第九組】嘉定

17.如圖，正四棱柱ABC。—A4G。的底面邊長為2,4。=4.

（1）求該正四棱柱的表面積和體積；

（2）求異面直線4。與AC所成角的大小.

（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

【第十組】浦東

TT

17.如圖，直三棱柱44G—A3C中，AB=AC=\,ZBAC=~,A.A=4,

點M為線段AA的中點.

（1）求直三棱柱44G—ABC的體積；

（2）求異面直線8W與5G所成的角的大小.

（結(jié)果用反三角表示）

【第十一組】楊浦

17.如圖所示，在直三棱柱ABC-A4G中，底面是等腰直角三角形，24c8=90。,

CA=CB=CCi=2,點D、R分別是棱AC、的中點.

(1)求證：D、B、片、3四點共面；

(2)求直線BG與平面所成角的大小.

【第十二組】松江

17.如圖1,在三棱柱ABC—44cl中，已知43_LAC,4?=AC=1,A4t=2且朋，

平面ABC,過4、￡、3三點作平面截此三棱柱，截得一個三棱錐和一個四棱錐（如圖2）.

（1）求異面直線Bq與A4所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；

（2）求四棱錐3-ACG4的體積和表面積.

【第十三組】金山

18.如圖，在三棱錐P—ABC中，P4_L底面43C,△A5c是邊長為2的正三角形,

側(cè)棱PB與底面所成的角為三.

4

(1)求三棱錐P-ABC的體積V；

(2)若。為PB的中點，求異面直線必與8所成角的大小.

【第十四組】靜安

12.如圖所示，等腰梯形A8FE是由正方形4BC和兩個全等的RtZ\FCB和Rt/SEDA組成,

AB=l,CV=2.現(xiàn)將RtZ\FCB沿BC所在的直線折起，點F移至點G,使二面角

E—5C-G的大小為60".

(1)求四棱錐G-A8CE的體積；

(2)求異面直線AE與BG所成角的大小.

【第十五組】黃浦

17.已知正方體ABCD-A.B.C.D,的棱長為4,點E是側(cè)面CDD￡的中心.

(1)聯(lián)結(jié)A。，求三棱錐A-OER的體積匕L°EO,的數(shù)值；

(2)求異面直線AE與所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

【第一組】

4V2T

17.(1)arctan—；(2)

27

【第二組】

17.⑴皚⑵3幣

arccos----.

14

【第三組】

17.(1)arccos——；(2)3.

10

【第四組】

472-1

19.(1)2萬；(2)arccos

9

【第五組】

17.(1)0尸_1_底面018,由題意得：高力=2百，底面半徑廠=2,

二母線/=4,……2分

圓錐的側(cè)面積S=L/r=1x2萬x2x4=8萬...........6分

22

(2)取的中點為N,為AB的中點，

MN//OB,NPMN就是直線AW與直線Q3所成的角，……8分

VOB±OA,OBLOP,

二平面PQ4,MNJ_平面PQ4,MNVPN,……10分

在中，PN=J/+(,2=岳,MN=^OB=\,……12分

...NPMN的正切值為V13,

即直線尸M與直線08所成的角正切值為...........14分

【第六組】

V3014

17.(1)arccos~~6~；(2)T

【第七組】

17.(1)略；⑵8&.

【第八組】

17.(1)證明：設(shè)AC和6。交于點。，則。為8。的中點，

連結(jié)PO,又：尸是。，的中點，,PO〃8R,

又：POu平面Q4C,平面B4C,...直線3'〃平面B4C.

(2)由(1)知：PO//BD,,

...異面直線BDi與AP所成的角就等于PO與AP所成的角，ZAPO即為所求,

,:PA=PC=C,40=￥。=冬目/0,40,

①

An、\

：.sinZAPO=—=與=一，AZAPO=30°,

APV22

TT

即異面直線B1與AP所成角的大小為看.

【第九組】

17.(1)S表=8+16百，V=8x/3；(2)arccos^.

【第十組】

回

17.(1)2；(2)arccos----.

10

【第十一組】

17.(1)證明：?.?點。、口分別是棱AC、AG的中點，2分

CC,//BB「：.DD\〃BB[,……4分

:.D、B、3四點共面..........6分

(2)作,垂足為F,……8分

:BB]±平面A4G,GF平面44G,

直線，直線GF,

???_L直線BR且BB]與BR相交于用，

...直線C/J■平面03AA，……10分

...即NC0尸為直線BCX與平面03與。所成的角，……12分

在RtZ\GBR中，BCt=2>/2,GF=警，sinNCfF=等，

直線8G與平面08AA所成的角為arcsin等..........14分

【第十二組】

17.(1)：A4〃CG，NB￡C即為異面直線BG與AA所成的角，……2分

;A4)±平面ABC,：.CC,1平面ABC,：.NC】CB=90°,

*/CB=JAB?+AC?=Vl+T=0,CCt=2,......5分

V2J2

tanZCjCB=ZQCB=arctan,

5[7

即異面直線BC]與AA]所成的角為arctanarcsinarccos........7分

(2)^-4CCA=--l-22=-,……10分

S全=Sy/BAC+SvBA41+Sv/M]G+SvBC'C+^CAA^

=1.1，14-1.1.24-1.1.V572-2+1-2=-+1+—+V24-2

222222

=—+V2+-^-........14分

22

【第十三組】

18.解：（1）?.?B4_L底面ABC,

71

.?.NP84為側(cè)棱P6與底面所成的角，即NP8A=L,........................2分

4

：.PA=AB=2.

又S=Lx2x2xsin工=百，..................4分

23

故丫=>Sh=Lx6義2=^~,................................6分

333

即三棱錐P-A6C的體積為平；.................7分

（2）取AB中點E,連結(jié)O￡,CE,則O￡〃Q4,

NCDE就是異面直線PA與CO所成的角（或其補角）,9分

CE=M,DE=-PA=l.

2

因為PA，底面ABC,底面ABC.

CEr-

在直角三角形CDE中,tanZCDE=匕=G,

DE

JT

所以NCDE=—,..........13分

3

IT

所以異面直線與CD所成角的大小為14分

3

【第十四組】

12.

解：（1）由已知，有GCLBC,EC_