2022年湖南省株洲市仙庚中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2022年湖南省株洲市仙庚中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個(gè)數(shù)，則關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的概率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】CF：幾何概型；54：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出（a，b）對(duì)應(yīng)圖形的面積，及滿足條件“關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根”的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖形的面積，然后再結(jié)合幾何概型的計(jì)算公式進(jìn)行求解．【解答】解：如下圖所示：試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}（圖中矩形所示）．其面積為6．構(gòu)成事件“關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根”的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}（如圖陰影所示）．所以所求的概率為=．故選B【點(diǎn)評(píng)】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長(zhǎng)度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=求解．2.下列函數(shù)中，值域是R+的是（

）A．y=

B．

x)C．

D．y=參考答案：D3.若函數(shù),則下列不等式正確的是（

）A．

B．C.

D．參考答案：A4.設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)為奇函數(shù)，則φ＝（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D5.若不等式組表示的區(qū)域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的區(qū)域?yàn)棣?，向Ω區(qū)域均勻隨機(jī)撒360顆芝麻，則落在區(qū)域Γ中芝麻數(shù)約為（）A．114 B．10 C．150 D．50參考答案：A【考點(diǎn)】幾何概型；簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出兩平面區(qū)域，計(jì)算兩區(qū)域的公共面積，得出芝麻落在區(qū)域Γ內(nèi)的概率．【解答】解：作出平面區(qū)域Ω如圖：則區(qū)域Ω的面積為S△ABC==區(qū)域Γ表示以D（）為圓心，以為半徑的圓，則區(qū)域Ω和Γ的公共面積為S′=+=．∴芝麻落入?yún)^(qū)域Γ的概率為=．∴落在區(qū)域Γ中芝麻數(shù)約為360×=30π+20≈114．故選A．6.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，若∠PF1F2=30°，則橢圓C的離心率為(

)A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知條件推導(dǎo)出PF2⊥x軸，PF2=，PF2=，從而得到=，由此能求出橢圓的離心率．【解答】解：∵線段PF1的中點(diǎn)在y軸上設(shè)P的橫坐標(biāo)為x，F(xiàn)1（﹣c，0），∴﹣c+x=0，∴x=c；∴P與F2的橫坐標(biāo)相等，∴PF2⊥x軸，∵∠PF1F2=30°，∴PF2=，∵PF1+PF2=2a，∴PF2=，tan∠PF1F2===，∴=，∴e==．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．7.若直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C略8.用反證法證明命題“已知，如果ab可被5整除，那么a、b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為（

）A.a、b都能被5整除 B.a、b都不能被5整除C.a、b不都能被5整除 D.a不能被5整除參考答案：B【分析】根據(jù)反證法的概念，利用命題的否定，即可求解，得到答案．【詳解】由于反證法是命題的否定的一個(gè)運(yùn)用，故用反證法證明命題時(shí)，可以設(shè)其否定成立進(jìn)行推證，“中至少有一個(gè)能被5整除”的否定是“都不能被5整除”．故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了反證法的概念及其應(yīng)用，其中解答中熟記反證法的概念，合理利用命題的否定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．9.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：函數(shù)定義域?yàn)?，由得，所以減區(qū)間為考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性10.若直線與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120°（其中O為原點(diǎn)），則k的值為

（

）A.-或

B.

C.-或

D.

參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察數(shù)列：從中歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________________參考答案：略12.已知向量，則___________.參考答案：【分析】根據(jù)向量夾角公式可求出結(jié)果.【詳解】．【點(diǎn)睛】本題考查了向量夾角的運(yùn)算，牢記平面向量的夾角公式是破解問(wèn)題的關(guān)鍵．13.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體），觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為_____．參考答案：14.展開式中x4的系數(shù)為

。參考答案：641015.某地區(qū)為了解70歲～80歲的老人的日平均睡眠時(shí)間(單位：h)，隨機(jī)選擇了50位老人進(jìn)行調(diào)查，下表是這50位老人睡眠時(shí)間的頻率分布表：序號(hào)i分組

(睡眠時(shí)間)組中值(Gi)頻數(shù)(人數(shù))頻率(Fi)

14,5)4.560.1225,6)5.5100.2036,7)6.5200.4047,8)7.5100.2058,98.540.08在上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析中一部分計(jì)算見(jiàn)算法流程圖，則輸出的S的值為________．參考答案：6.4216.已知函數(shù)f(x)=lg(ax2–2x+1)的值域是一切實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

。參考答案：[0，1]17.給出以下四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的對(duì)稱中心是②若不等式對(duì)任意的x∈R都成立，則；③已知點(diǎn)與點(diǎn)Q(l,0)在直線兩側(cè)，則；④若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后變?yōu)榕己瘮?shù)，則的最小值是．其中正確的結(jié)論是____________（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．

參考答案：③④略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知拋物線C的頂點(diǎn)為O（0，0），焦點(diǎn)F（0，1）（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）過(guò)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)．若直線OA、OB分別交直線l：y=x﹣2于M、N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（I）由拋物線的幾何性質(zhì)及題設(shè)條件焦點(diǎn)F（0，1）可直接求得p，確定出拋物線的開口方向，寫出它的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）由題意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=kx+1，將直線方程與（I）中所求得方程聯(lián)立，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式用所引入的參數(shù)表示出|MN|，根據(jù)所得的形式作出判斷，即可求得最小值．【解答】解：（I）由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py（p＞0）則=1，解得p=2，故拋物線C的方程為x2=4y（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=kx+1，由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，從而有|x1﹣x2|==4，由解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為xM===，同理可得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為xN=，所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8||=，令4k﹣3=t，t≠0，則k=，當(dāng)t＞0時(shí)，|MN|=2＞2，當(dāng)t＜0時(shí)，|MN|=2=2≥．綜上所述，當(dāng)t=﹣，即k=﹣時(shí)，|MN|的最小值是．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想及轉(zhuǎn)化的思想，將問(wèn)題恰當(dāng)?shù)幕瘹w可以大大降低題目的難度，如本題最后求最值時(shí)引入變量t，就起到了簡(jiǎn)化計(jì)算的作用．19.（本小題滿分14分）

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線交于點(diǎn)M,N，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

參考答案：……………………4分（Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

則直線的方程式為，直線的方程式為

令得………………6分

于是的面積

…………………7分

又直線AB的方程為

點(diǎn)P到直線AB的距離…………8分

于是的面積………………9分

當(dāng)時(shí)，得…………10分

又，所以，解得………12分

因?yàn)?，所以?！?3分

故存在點(diǎn)使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為………………………14分略20.如圖，已知矩形BB1C1C所在平面與底面ABB1N垂直，在直角梯形ABB1N中，AN∥BB1，AB⊥AN，CB=BA=AN=BB1．（1）求證：BN⊥平面C1B1N；（2）求二面角C﹣C1N﹣B的大小．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LW：直線與平面垂直的判定．【分析】（1）證明BC⊥平面ABB1N，建立空間坐標(biāo)系，利用向量證明BN⊥NB1，NB⊥B1C1，故而得出結(jié)論；（2）求出兩平面的法向量，計(jì)算法向量的夾角即可得出二面角的大?。窘獯稹浚?）證明：∵四邊形BB1C1C是矩形，∴BC⊥BB1，∵平面BB1C1C⊥底面ABB1N，平面BB1C1C∩底面ABB1N=BB1，BC?平面BB1C1C，∴BC⊥平面ABB1N，以B為原點(diǎn)，以BA，BB1，BC為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz，設(shè)AB=1，則B（0，0，0），N（1，1，0），B1（0，2，0），C1（0，2，1），C（0，0，1）∴=（1，1，0），=（﹣1，1，0），=（0，0，1），∴=﹣1+1=0，=0，∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1，又NB1∩B1C1=B1，∴BN⊥平面C1B1N．（2）解：=（﹣1，1，1），=（﹣1，﹣1，1），=（0，2，0），設(shè)平面BNC1的法向量為=（x，y，z），則，=0，∴，令x=1得=（1，﹣1，2），同理可得平面CNC1的法向量為=（1，0，1），∴cos＜＞==．∴二面角C﹣C1N﹣B的大小為30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的判定，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，空間角的計(jì)算，屬于中檔題．21.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=90°（如圖1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角為θ（如圖2）（1）若，求證：CD⊥AB；（2）是否存在適當(dāng)θ的值，使得AC⊥BD，若存在，求出θ的值，若不存在說(shuō)明理由；（3）若，取BD中點(diǎn)M，BC中點(diǎn)N，P、Q分別為線段AB與DN上一點(diǎn)，使得．令PQ與BD和AN所成的角分別為θ1和θ2．求sinθ1+sinθ2的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【分析】（1）先證明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，利用線面垂直的性質(zhì)可得CD⊥AB；（2）不存在．由AC⊥BD，CD⊥BD，AC∩CD=C，可得BD⊥平面ACD，BD⊥AD，與∠ABC=90°矛盾；（3）BN線段取點(diǎn)R使得，從而易得PR∥AN且RQ∥BDA，θ1=∠PQR，θ2=∠QPR，確定θ1+θ2，利用基本不等式，即可求sinθ1+sinθ2的最大值．【解答】（1）證明：由已知條件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD．∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴CD⊥平面ABD．…又∵AB?平面ABD，∴CD⊥AB．…（2）解：不存在．∵AC⊥BD，CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，∵AD?平面ACD，∴BD⊥AD，與∠ABC=90°矛盾，故不存在；（3）解：在BN線段取點(diǎn)R使得從而易得PR∥AN且RQ∥BDA，θ1=∠PQR，θ2=∠QPR另一方面，AM⊥BD，MN⊥BD，從而θ=∠AMN．∵AM⊥BD，MN⊥BD，AM∩MN=M，∴BD⊥AN，∵PR∥AN，RQ∥BD，∴∠PRQ=，從而有，∴當(dāng)且僅當(dāng)sinθ1=sinθ2，即θ1=θ2時(shí)取得最大值．…（14分）【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．22.網(wǎng)購(gòu)已成為當(dāng)今消費(fèi)者喜歡的購(gòu)物方式，某機(jī)構(gòu)對(duì)A、B、C、D四家同類運(yùn)動(dòng)服裝網(wǎng)店的關(guān)注人數(shù)x（千人）與其商品銷售件數(shù)y（百件）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)對(duì)比，得到表格：網(wǎng)店名稱ABCDx3467y11122017由散點(diǎn)圖得知，可以用回歸直線方程y=bx+a來(lái)近似刻畫它們之間的關(guān)系（1）求y與x的回歸直線方程；（2）在（1）的回歸模型中，請(qǐng)用R2說(shuō)明，銷售件數(shù)的差異有多大程度是由關(guān)注人數(shù)引起的？（精確到0.01）參考公式