第六講二次根式1

第六講 二次根式（一）【知識概述】本講主要研究二次根式的概念和性質(zhì)，模塊一重點介紹二次根式的概念及其最重要的性質(zhì)：雙重非負性，模塊二介紹二次根式其他一些性質(zhì)，模塊三重點介紹了最簡二次根式與同類二次根式概念，以及引出合并同類項這一重要工具，為下一講實數(shù)的運算打下基礎(chǔ)．【知識結(jié)構(gòu)】

模塊一 二次根式的概念【知識精要】二次根式的概念在實數(shù)這一章，講述了開平方運算．當，表示a的一個平方根．把它看做由平方根號“”與a所成的式子時，這是一個代數(shù)式．代數(shù)式（）叫做二次根式，讀作“根號”，其中是被開方數(shù)．例如，、、、、等都是二次根式．通常把形如的式子也叫做二次根式．如、、等也是二次根式．在實數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)沒有平方根，如、這樣的式子沒有意義．二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù)．二次根式的雙重非負性對于二次根式，其實質(zhì)是一個非負數(shù)的算術(shù)平方根，是一個非負數(shù)．這個非負數(shù)可用數(shù)表示，也可用代數(shù)式表示，如和等．它包含了兩個非負性：非負和非負．常考題型①式子表示非負數(shù)到本單元為止，已學習三個非負數(shù)：絕對值、平方數(shù)、算術(shù)平方根，它們有獨特性質(zhì)：若幾個非負數(shù)的和為零，則它們分別為零，它還有一些性質(zhì)，以后還要繼續(xù)研究，非負數(shù)及它的性質(zhì)，是重要的解題方法之一，務(wù)必要熟練掌握，才能靈活應(yīng)用．②若有存在，則由于只有非負數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根，負數(shù)沒有平方根和算術(shù)平方根．所以是存在的必要前提．③若有存在，則，且由于存在，則，即，而是非負數(shù)，所以．④若與同時存在，則，且由于與同時有意義，得到，即．【典型例題】若a，b為實數(shù)，且，求的值．

【名師點撥】本題中與同時有意義，可以求出a的值，進而求出b的值，但本題要注意分母不為零．

【答案】3．

【解析】根據(jù)根號有意義條件得：

且，

，，

又，

，

，

．

下列式子，是二次根式的是_____________．

，，，，，，，

【答案】二次根式有，，，，

【解析】根據(jù)二次根式的概念，非負數(shù)的二次方根是二次根式．

設(shè)是實數(shù)，當滿足什么條件時，下列各式有意義？（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）．【答案】（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）且；（6）且．

【解析】（1），；

（2），；（3），；（4）且，；（5），且；（6），且．（1）若與互為相反數(shù)，則________．（2）如果，求a，b，c的值．【答案】（1）1；（2），，．

【解析】（1）由題意得：，

，，

且，，解得：，，

．

（2）原等式可變形為：

，

，

即，，，

，，．

求的值．【答案】1．

【解析】由根號有意義的條件得：，

，

，

將代入原式，

原式．

已知實數(shù)滿足，求的值．【答案】2017．

【解析】由根號有意義條件得：，

，

，

，

，

，

．

模塊二 二次根式的性質(zhì)【知識精要】二次根式的性質(zhì)在平方根的學習中，根據(jù)開平方與平方互為逆運算的關(guān)系，得到了下列等式．這個兩個等式作為二次根式的性質(zhì)：性質(zhì)1：

性質(zhì)2：

需要注意的是這兩個性質(zhì)在運算順序上是有區(qū)別的：

對于性質(zhì)1，，當時，．

對于性質(zhì)2，．是由根號有意義條件得到的．由此可以得到與的關(guān)系：．

此外二次根式還具有以下兩個性質(zhì)：

性質(zhì)3： （，）；

性質(zhì)4：（，）．需要注意性質(zhì)3成立的條件是，，性質(zhì)4成立的條件是，（因為分母不能為零）．二次根式的性質(zhì)在二次根式的化簡及其運算中發(fā)揮著非常重要的作用，其重要性不言而喻，尤其是需時刻謹記．2、因式的外移和內(nèi)移如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)平方根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先分解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面．【典型例題】（1）將根號外的部分移到根號內(nèi)，得__________．（2）將根號外的部分移到根號內(nèi)，得__________．

【名師點撥】此類型題目需要特別注意的是根據(jù)根號內(nèi)式子有意義，進而確定根號外字母的符號，然后利用將根號外部分移到根號內(nèi)．【答案】（1）；（2）當時，；當時，．

【解析】（1）由根號有意義條件可得：，．（2）當時，，當時，．

化簡：（1） （2）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根據(jù)根號有意義條件得：，

原式

．

（2）根據(jù)根號有意義條件得：，

原式．

（1）如果成立，求的取值范圍．

（2）如果成立，求的取值范圍．

【答案】（1）；（2）【解析】（1），

解得．

（2），

且，

．

（1）實數(shù)x滿足，化簡：_________．

（2）已知，化簡：_________．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），

兩邊平方得：，

，

，

，

．

（2）原式，

且，

．

已知，化簡．【答案】1007．

【解析】，，同理，，，

原式．

模塊三 最簡二次根式和同類二次根式【知識精要】1、最簡二次根式（1）被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1；（2）被開方數(shù)不含分母．被開方數(shù)同時符合上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．其中被開方數(shù)不含分母也包括了分母中不能有根式這一含義，如和都不是最簡二次根式．

2、同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式．最簡二次根式和同類二次根式，是進一步研究二次根式運算的的知識基礎(chǔ)．重點是最簡二次根式、同類二次根式的判斷，難點是同類二次根式的合并及最簡二次根式的化簡．

3、合并同類二次根式與多項式中的合并同類項類似，同類二次根式也可以合并．

例如：

【典型例題】將下列式子化成最簡二次根式：（1） （2） （3）

【名師點撥】化簡二次根式必須使得根式化到最簡，即滿足：①被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1；②被開方數(shù)不含分母；在化簡過程中必須注意這一性質(zhì)，根據(jù)根號內(nèi)式子有意義確定字母的范圍，再去絕對值．【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）根據(jù)根號有意義條件得：，

．

（2）根據(jù)根號有意義條件得：，

．

（3）根據(jù)根號有意義條件得：，

．

下列二次根式中，最簡二次根式的有__________．

（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

【答案】（1）（4）（5）．

【解析】根據(jù)最簡二次根式的概念可知、和是最簡二次根式．

（1）若最簡二次根式和是同類二次根式，則________，________．

（2）已知a為整數(shù)，若二次根式和是同類二次根式，則________，________．

【答案】（1）0，2；（2）2或5或8．

【解析】（1）由題意得：，

解得：．

（2）a為整數(shù)，由根號有意義條件可得：

且a為整數(shù)，

代入a的值可知：或5或8．

合并下列各式中的同類二次根式：（1） （2）（3） （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）原式．

（2）原式．

（3）原式，

，．（4）原式．

計算．【答案】．

【解析】原式．

【課堂練習】有意義的條件是___________．

【答案】．【解析】由題意得：，解不等式得：．

已知的三邊長分別為a、b、c，化簡：

【答案】．

【解析】由三角形兩邊之和大于第三邊可得：

，，，

原式

．滿足等式的正整數(shù)對的個數(shù)是________．

【答案】2．

【解析】，

，

，

，

，

，

，

是質(zhì)數(shù)，或，有兩對．

計算．（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）（2）（3）（4）.【解析】（1）原式.（2）原式.（3）原式.（4）原式.先化簡，再求值：，其中.【答案】.【解析】原式 .

【課后作業(yè)】下列式子中，，，，，，，二次根式有_______________．

【答案】，，．

【解析】根據(jù)二次根式概念，及有意義的條件：通過開二次方根，且被開方數(shù)非負這兩個條件判斷是否為二次根式．

若，則化簡__________．

【答案】．

【解析】，，

，

．

若a、b為實數(shù)，則下