2021中考數(shù)學(xué)：知識點42 尺規(guī)作圖

一、挑選題

9.（2021?長沙）如圖所示，Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=30°,分別以點A和點B為圓心，大于‘AB

2

的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN,交BC于點D,連接AD,則NCAD的度數(shù)是

[]

A.20°B.30°C.45°D.60°

【試題解答】在△ABC中，VZB=30°,ZC=90°,；./BAC=180°-ZB-ZC=60°,由作圖可知MN為AB

的中垂線，.*.DA=DB,.-.ZDAB=ZB=30o,AZCAD=ZBAC-ZDAB=30°,故本題選：艮

8.（2021?煙臺）已知NAOB=60°,以。為圓心，以任意長為半徑作弧，交04,03于點M,N,分

別以M,N為圓心，以大于的長度為半徑作弧，兩弧在NAO3內(nèi)交于點P,以O(shè)P為邊作

2

NPOC=15。,則NBOC的度數(shù)為（）.

A.15°B.45°C.15°或30°D.15°或45°

【答案解析】D

【試題解答】由題目可以得至UOP為NAOB的平分線，所以NAOP=NBOP=LNA05=30°,又因為

2

NPOC=15。,考慮到點C有可能在NAQP內(nèi)也有可能在N8O尸內(nèi)，所以當(dāng)點C在NAQP內(nèi)時/BOC

=ZBOP+ZPOC=45°,當(dāng)點C在ZBOP內(nèi)時N8OC=ZBOP-NPOC=15°.

2.

3.

4.

3町

二、填空題

1.

2.

3.

4.

5.

6-

2

39-

三、解答題

22.（2021山東省德州市，22,12）如圖所示，ZBPD=120°,點A、C分別在射線P8、PO上，ZPAC

=30。，AC=2-s/3.

（1）用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在A、C兩點分別與射線P8和PO相切.要求：寫出作法，并

保留作圖痕跡；

（2）根據(jù)（1）的作法，結(jié)合已有條件，請寫出已知和求證，并證明；

（3）求所得的劣弧與線段雨、PC圍成的封閉圖形的面積.

【解題過程】（1）如圖所示，

（2）已知：如圖所示，ZBPD=120°,點A、C分別在射線PB、PO上，ZPAC=30°,

過A、C分別作P&P￡）的垂線，它們相交于O,以O(shè)A為半徑作。O,OAA.PB,

求證：尸3、PC為。。的切線;

證明：?；/8")=120°,PAC=30°,

：.ZPCA=30°,

：.PA=PC,

連接OP,

,：OA1.PA,PC±OC,

：.ZPAO=ZPCO=90°,

'：OP=OP,

，Rt△力。絲Rt△尸CO(HL)

：.OA=OC,

：.PB,PC為。。的切線；

(3)'：ZOAP=ZOCP=90°-30°=60°,

...△OAC為等邊三角形，

：.OA=AC=2y[3>ZAOC=60",

,:OP平分/A尸C,

.?./A尸。=60°,

.?.AP=YSx2b=2,.?.劣弧AC與線段以、PC圍成的封閉圖形的面積杉APCO-S刖AOC=2XLX

32

20.(2021?泰州)如圖，AABC中,ZC=90°,AC=4,BC=8.

（1）用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線;（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）若（1）中所作的垂直平分線交BC于點D,求BD的長.

第20題圖

【解題過程】（1）如圖所示，直線DE為所求的AB的垂直平分線;

(2)連接AD,因為DE垂直平分AB,所以AD=BD,設(shè)AD=BD=x,則CD=8-x,在RtZXACD中，AC2+CD2

=AD2,即4?+(8—x)2=x2,解之得，x=5,所以BD的長為5.

20.（2021浙江省溫州市，20,8分）（本題滿分8分）

如圖所示，在7X5的方格紙ABCD中，請按要求畫圖，且所畫格點三角形與格點四邊形的頂點均不與

點A,B,C,D重合.

（1）在圖1中畫一個格點△EFG,使點E,F,G分別落在邊AB,BC,CD上，且NEFG=90°；

（2）在圖2中畫一個格點四邊形MNPQ,使點此N,P,Q分別落在邊AB,BC,CD,DA±,且

MP=NQ.

注：圖1,圖2在答題紙上.

【解題過程】（1）畫法不唯一,如圖1或如圖2等;

（2）畫法不唯一，如圖3或如圖4等.

圖1圖2圖3圖4

20.（2021?嘉興）在6X6的方格紙中，點4B,。都在格點上按要求畫圖:

（1）在圖1中找一個格點以使以點4B,C,〃為頂點的四邊形是平行四邊形.

（2）在圖2中僅用無刻度的直尺，把線段三等分（保留畫圖痕跡，不寫畫法）

圖1圖2

【解題過程】解：（D由勾股定理得：

CD=AB=CD)=V5.BD=AC=BD''=V13.

AD'=BC=AD'，=VTO：

畫出圖形如圖1所示;

（2）如圖2所示.

21.（2021江蘇鹽城卷，21,8如圖所示，是/ABC的角平分線.

（1）作線段4。的垂直平分線EF,分別交A3、AC于點E、尸；

（用直尺和圓規(guī)作圖，標(biāo)明字母，保留作圖痕跡，不寫作法.）

（2）連接。E、DF,四邊形AEO尸是形.（直接寫出答案）

【解題過程】

第21題圖

（1）如圖所示：直線EF就是線段AO圓垂直平分線.

（2）菱形.

證明：連結(jié)。E、DF

EF垂直平分A。

：.EA^ED.FA=FD

:.NEAD=/EDA,/FAD=NFDA

,：AD是ZBAC的平分線

/EAD=/FAD

：.NEAD=ZEDA=^FAD=ZFDA

：.AE//DF,AF^ED

...四邊形4后0戶為平行四邊形

,：EA=ED

...四邊形AEO尸為菱形.

15.（2021?青島）已知：Za,直線/及/上兩點A,B.

求作：RA4BC,使點C在直線/的上方，且NA8C=90°,ABAC=Za.

則放△ABC即為所求.

15.（2021江西省，15,6分）在△ABC中，AB=AC,點A在以BC為直徑的半圓內(nèi),請僅用無刻度

的直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）.

⑴在圖1中作弦EF,使EF〃BC；

⑵在圖2中以BC為邊作一個45°的圓周角.

【解題過程】解：（1）如圖所示

（2）如圖所示

21.（2021?隴南）已知：在ZvlBC中，AB=AC.

（1）求作：△ABC的外接圓.（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）若△ABC的外接圓的圓心。到BC邊的距離為4,BC=6,則$0o=

解：（1）如圖。0即為所求.

（2）設(shè)線段況1的垂直平分線交用于點E.

由題意可知，0E=4,BE=EC=3,

在RtAQBE中,04T3,42=5,

5ao=n.52=25n.

故答案為25Jt.

1.（2021?濟(jì)寧）

如圖所示，點M和點N在N4O8內(nèi)部.

（1）請你作出點P,使點P到點M和點N的距離相等，且到NAOB兩邊的距離也相等（保留作圖痕跡，不

寫作法）；

（2）請說明作圖理由.

解:

畫出NA08的角平分線，畫出線段MN的垂直平分線，兩者的交點就得到P點.

(2)作圖的理由：點P在N408的角平分線上，又在線段MN的垂直平分線上，N40B的角平分線

和線段MN的垂直平分線的交點即為所求.

2

(2021?無錫)按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡

(1)如圖1,A為圓。上一點，請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī)作出得內(nèi)接正方形;

(2)