中考數(shù)學(xué)真題專練《與二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析

中考數(shù)學(xué)真題專練《與二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析中考數(shù)學(xué)真題專練《與二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析中考數(shù)學(xué)真題專練《與二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題（二）》全國(guó)通用分項(xiàng)沖刺題-附解析2022年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）專題22與二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題解答題1．(湖北鄂州)某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2(a＞0)型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn):如圖1所示,該類型圖象上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F(0,)的距離MF,始終等于它到定直線l:y＝﹣上的距離MN(該結(jié)論不需要證明),他們稱:定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn),定直線l為圖象的準(zhǔn)線,y＝﹣叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn),FH=2OF=,例如,拋物線y＝x2,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,),準(zhǔn)線方程為l:y＝﹣．其中MF=MN,FH=2OH=1．

(1)【基礎(chǔ)訓(xùn)練】請(qǐng)分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程:,．(2)【技能訓(xùn)練】如圖2所示,已知拋物線y＝x2上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為6,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)【能力提升】如圖3所示,已知過拋物線y＝ax2(a＞0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線l于點(diǎn)A、B、C．若BC＝2BF,AF＝4,求a的值;(4)【拓展升華】古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí),提出了分線段的“中末比”問題:點(diǎn)C將一條線段AB分為兩段AC和CB,使得其中較長(zhǎng)一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項(xiàng),即滿足:＝＝．后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”把點(diǎn)C稱為線段AB的黃金分割點(diǎn)．如圖4所示,拋物線y＝x2的焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線l與y軸交于點(diǎn)H(0,﹣1),E為線段HF的黃金分割點(diǎn),點(diǎn)M為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn)．當(dāng)＝時(shí),請(qǐng)直接寫出△HME的面積值．【答案】(1)(0,),,(2),4)或(,4)(3)(4)或【分析】(1)根據(jù)交點(diǎn)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可;(2)先求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,然后代入到拋物線解析式中求解即可;(3)如圖所示,過點(diǎn)B作BD⊥y軸于D,過點(diǎn)A作AE⊥y軸于E,證明△FDB∽△FHC,推出,則,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為,從而求出,證明△AEF∽△BDF,即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,),再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式中求解即可;(4)如圖,當(dāng)E為靠近點(diǎn)F的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候,過點(diǎn)M作MN⊥l于N,則MN=MF,先證明△MNH是等腰直角三角形,得到NH=MN,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,),則,求出,然后根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出,則;同理可求當(dāng)點(diǎn)E是靠近H的黃金分割點(diǎn)時(shí)△HME的面積．(1)解:由題意得拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程分別為(0,),,故答案為:(0,),,(2)解:由題意得拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程為,∵點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為6,∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,∴當(dāng)時(shí),,解得,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,4)或(,4);(3)解:如圖所示,過點(diǎn)B作BD⊥y軸于D,過點(diǎn)A作AE⊥y軸于E,由題意得點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(0,)直線l的解析式為:y＝﹣,∴,,∴△FDB∽△FHC,∴,∵BC=2BF,∴CF=3BF,∴,∴,∴,∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為,∴,解得(負(fù)值舍去),∴,∵,∴△AEF∽△BDF,∴,∴,∵,∴,∴EF=2,∴,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,),∴,∴,∴,解得(負(fù)值舍去);(4)解:如圖,當(dāng)E為靠近點(diǎn)F的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候,過點(diǎn)M作MN⊥l于N,則MN=MF,∵在Rt△MNH中,,∴∠MHN=45°,∴△MNH是等腰直角三角形,∴NH=MN,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,),∴,∴,∴HN=2,∵點(diǎn)E是靠近點(diǎn)F的黃金分割點(diǎn),∴,∴;同理當(dāng)E時(shí)靠近H的黃金分割點(diǎn)點(diǎn),,∴,∴,綜上所述,或【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合,相似三角形的性質(zhì)與判定,解直角三角形,等腰直角三角形的性質(zhì)與判定,黃金分割等,正確理解題意是解題的關(guān)鍵．2．(江蘇無錫)已知二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)A(1,0),圖像與y軸交于點(diǎn)B(0,3),C、D為該二次函數(shù)圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)),且．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)若點(diǎn)C與點(diǎn)B重合,求tan∠CDA的值;(3)點(diǎn)C是否存在其他的位置,使得tan∠CDA的值與(2)中所求的值相等?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)1(3),,【分析】(1)二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn),判斷,根據(jù),即二次函數(shù)對(duì)稱軸為,求出b的值,即可得到二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)證明,得到,即,設(shè),點(diǎn)D在第一象限,根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出長(zhǎng)度,利用求出t的值,即可,的值,進(jìn)一步得出tan∠CDA的值;(3)根據(jù)題目要求,找出符合條件的點(diǎn)C的位置,在利用集合圖形的性質(zhì),求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)即可.(1)解:∵二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn),∴,即,∵,即二次函數(shù)對(duì)稱軸為,∴,∴,∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．(2)解:如圖,過點(diǎn)D作x軸的垂線,垂足為E,連接BD,∵,∴,∵,∴,∵,∴,∴,即,∵,,∴,,設(shè):,點(diǎn)D在第一象限,∴,,,∴,解得:(舍),(舍),當(dāng)時(shí),,∴,,∴,∵在中,∴(3)解:存在,如圖,(2)圖中關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí),,∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為,∴此時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)為,如圖,當(dāng)點(diǎn)C、D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí),此時(shí)AC與AD長(zhǎng)度相等,即,當(dāng)點(diǎn)C在x軸上方時(shí),過點(diǎn)C作CE垂直于x軸,垂足為E,∵,點(diǎn)C、D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,∴,∴為等腰直角三角形,∴,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為,∴,,∴解得:,(舍),此時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)為,當(dāng)點(diǎn)C在x軸下方時(shí),過點(diǎn)C作CF垂直于x軸,垂足為F,∵,點(diǎn)C、D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,∴,∴為等腰直角三角形,∴,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為,∴,,∴解得:(舍),,此時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)為,綜上:點(diǎn)C的坐標(biāo)為,,．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問題,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．3．(山西)綜合與探究如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)D,作直線BC交PD于點(diǎn)E(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo),并直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式;(2)當(dāng)是以PE為底邊的等腰三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)連接AC,過點(diǎn)P作直線,交y軸于點(diǎn)F,連接DF．試探究:在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中,是否存在點(diǎn)P,使得,若存在,請(qǐng)直接寫出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由．【答案】(1),點(diǎn)C的坐標(biāo)為;(2)(3)存在;m的值為4或【解析】【分析】(1)令中y和x分別為0,即可求出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求直線BC的函數(shù)表達(dá)式;(2)過點(diǎn)C作于點(diǎn)G,易證四邊形CODG是矩形,推出,,,再證明,推出,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可以得出,則,由P點(diǎn)在拋物線上可得,聯(lián)立解出m,代入二次函數(shù)解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)分點(diǎn)F在y軸的負(fù)半軸上和點(diǎn)F在y軸的正半軸上兩種情況,畫出大致圖形,當(dāng)時(shí),,由(2)知,用含m的代數(shù)式分別表示出OF,列等式計(jì)算即可．(1)解:由得,當(dāng)時(shí),,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí),,解得．∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),∴點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為．設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為,將,代入得,解得,∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為﹒(2)解:∵點(diǎn)P在第一象限拋物線上,橫坐標(biāo)為m,且軸于點(diǎn)D,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為,,∴．∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為,點(diǎn)C的坐標(biāo)為,∴,．過點(diǎn)C作于點(diǎn)G,則．∵,∴四邊形CODG是矩形,∴,,．∴．∵,∴．∴,即,

∴．在中,∵,∴．∴,∴解得(舍去),∴．當(dāng)時(shí),﹒∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．(3)解:存在;m的值為4或．分兩種情況,①當(dāng)點(diǎn)F在y軸的負(fù)半軸上時(shí),如下圖所示,過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn)H,∵過點(diǎn)P作直線,交y軸于點(diǎn)F,∴,∴,∴,∴,即,∴,∵,∴,由(2)知,．

根據(jù)勾股定理,在中,,在中,,當(dāng)時(shí),,∵,∴,∴,解得或,∵點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∴;②當(dāng)點(diǎn)F在y軸的正半軸上時(shí),如下圖所示,同理可得,,,,,∴∴,解得或,∵點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∴;綜上,m的值為4或【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題,考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識(shí)點(diǎn),第三問難度較大,需要分情況討論,畫出大致圖形,用含m的代數(shù)式表示出OF是解題的關(guān)鍵．4．(四川宜賓)如圖,拋物線與x軸交于、兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn),其頂點(diǎn)為點(diǎn)D,連結(jié)AC．(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)E,點(diǎn)F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)、AC為邊的四邊形為平行四邊形,求點(diǎn)F的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下,將點(diǎn)D向下平移5個(gè)單位得到點(diǎn)M,點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),求的最小值．【答案】(1),頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2)或(3)【解析】【分析】(1)用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式,再化成頂點(diǎn)式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)先用待定系數(shù)法求直線AC解析式為,再過點(diǎn)F作于點(diǎn)G,證,得,設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為,則G點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,即可求出或,從而求得點(diǎn)F坐標(biāo);(3),是平移得得點(diǎn)M的坐標(biāo)為,則(2)知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,連結(jié),對(duì)稱軸于點(diǎn)H,連結(jié)、,過點(diǎn)作于點(diǎn)N,交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,則,,．在中,,則在中,,所以,所以為最小值,根據(jù),所以,即可求出．(1)解:∵拋物線經(jīng)過點(diǎn),,,∴,解得:,∴拋物線的解析式為:=-(x-1)2+4,∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為;(2)解:設(shè)直線AC的解析式為:,把點(diǎn),代入得:,,∴直線AC解析式為:,過點(diǎn)F作于點(diǎn)G,∵以A、C、E、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為邊的平行四邊形,∴,AC=EF,又∵,∴∴,∴,設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為,則G點(diǎn)的坐標(biāo)為,∴,∴或,當(dāng)時(shí),,∴,當(dāng)時(shí),∴,∴或;(3)解:由題意,得點(diǎn)M的坐標(biāo)為,由題意知:點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,連結(jié),對(duì)稱軸于點(diǎn)H,連結(jié)、,過點(diǎn)作于點(diǎn)N,交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,則,,．在中,,則在中,∴,又∵∴為最小值,又∵,∴,∴求得的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),解直角三角形,利用軸對(duì)稱求最小值,本題屬二次函數(shù)綜合題目,掌握二交次函數(shù)圖象性質(zhì)和靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．5．(湖北恩施)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線與y軸交于點(diǎn)．(1)直接寫出拋物線的解析式．(2)如圖,將拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,記平移后的拋物線頂點(diǎn)為Q,平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C．判斷以B、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是否為直角三角形,并說明理由．(3)直線BC與拋物線交于M、N兩點(diǎn)(點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)),請(qǐng)?zhí)骄吭趚軸上是否存在點(diǎn)T,使得以B、N、T三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由．(4)若將拋物線進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭?當(dāng)平移后的拋物線與直線BC最多只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),請(qǐng)直接寫出拋物線平移的最短距離并求出此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)以B、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,理由見解析(3)存在,或,(4)最短距離為,平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】(1)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;(2)分別求得B、C、Q的坐標(biāo),勾股定理的逆定理驗(yàn)證即可求解;(3)由,故分兩種情況討論,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可求解;(4)如圖,作且與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn),交軸于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),則是等腰直角三角形,作于,進(jìn)而求得直線與的距離,即為所求最短距離,進(jìn)而求得平移方式,將頂點(diǎn)坐標(biāo)平移即可求解．(1)解:∵拋物線與y軸交于點(diǎn)∴拋物線解析式為(2)以B、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,理由如下:的頂點(diǎn)坐標(biāo)為依題意得,平移后的拋物線解析式為令,解得令,則,即以B、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形(3)存在,或,理由如下,,,是等腰直角三角形設(shè)直線的解析式為,則,解得,直線的解析式為,聯(lián)立解得,,,是等腰直角三角形,設(shè)直線的解析式為,直線的解析式為當(dāng)時(shí),設(shè)的解析式為,由NT過點(diǎn)則解得的解析式為,令解得,②當(dāng)時(shí),則即解得綜上所述,或(4)如圖,作,交軸于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),則是等腰直角三角形,作于直線的解析式為設(shè)與平行的且與只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線解析式為則整理得:則解得直線的解析式為,即拋物線平移的最短距離為,方向?yàn)榉较颉喟腰c(diǎn)P先向右平移EF的長(zhǎng)度,再向下平移FC的長(zhǎng)度即得到平移后的坐標(biāo)平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,即【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合,考查了相似三角形的性質(zhì),求二次函數(shù)與一次函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象的平移,勾股定理的逆定理,正確的添加輔助線以及正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．(廣西玉林)如圖,已知拋物線:與x軸交于點(diǎn)A,(A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸是直線,P是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式;(2)若點(diǎn)D為線段的中點(diǎn),則能否是等邊三角形?請(qǐng)說明理由;(3)過點(diǎn)P作x軸的垂線與線段交于點(diǎn)M,垂足為點(diǎn)H,若以P,M,C為頂點(diǎn)的三角形與相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)不能,理由過程見詳解(3)(1,4)或者()【分析】(1)根據(jù)拋物線對(duì)稱軸即可求出b,再根據(jù)拋物線過B點(diǎn)即可求出C,則問題得解;(2)假設(shè)△POD是等邊三角形,過P點(diǎn)作PN⊥OD于N點(diǎn),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求出P點(diǎn)坐標(biāo),再驗(yàn)證P點(diǎn)是否在拋物線上即可求證;(3)先根據(jù)PH⊥BO,求得∠MHB=90°,根據(jù)(2)中的結(jié)果求得OC=4,根據(jù)B點(diǎn)(2,0),可得OB=2,則有tan∠CBO=2,分類討論:第一種情況:△BMH∽△CMP,即可得,即P點(diǎn)縱坐標(biāo)等于C點(diǎn)縱坐標(biāo)則可求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4);第二種情況:△BMH∽△PMC,過P點(diǎn)作PG⊥y軸于點(diǎn)G,先證明∠GCP=∠OBC,即有tan∠GCP=2,即有2GC=GP,設(shè)GP=a,則GC=,即可得PH=OG=+4,則有P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,+4),代入到拋物線即可求出a值,則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)可求．(1)∵的對(duì)稱軸為,∴,即b=2,∵過B點(diǎn)(2,0),∴,∴結(jié)合b=2可得c=4,即拋物線解析式為:;(2)△POD不可能是等邊三角形,理由如下:假設(shè)△POD是等邊三角形,過P點(diǎn)作PN⊥OD于N點(diǎn),如圖,∵當(dāng)x=0時(shí),,∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),∴OC=4,∵D點(diǎn)是OC的中點(diǎn),∴DO=2,∵在等邊△POD中,PN⊥OD,∴DN=NO=DO=1,∵在等邊△POD中,∠NOP=60°,∴在Rt△NOP中,NP=NO×tan∠NOP=1×tan60°=,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(,1),經(jīng)驗(yàn)證P點(diǎn)不在拋物線上,故假設(shè)不成立,即△POD不可能是等邊三角形;(3)∵PH⊥BO,∴∠MHB=90°,根據(jù)(2)中的結(jié)果可知C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),即OC=4,∵B點(diǎn)(2,0),∴OB=2,∴tan∠CBO=2,分類討論第一種情況:△BMH∽△CMP,∴∠MHB=∠MPC=90°,∴,∴即P點(diǎn)縱坐標(biāo)等于C點(diǎn)縱坐標(biāo),也為4,當(dāng)y=4時(shí),,解得:x=1或者0,∵P點(diǎn)在第一象限,∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),第二種情況:△BMH∽△PMC,過P點(diǎn)作PG⊥y軸于點(diǎn)G,如圖,∵△BMH∽△PMC,∴∠MHB=∠MCP=90°,∴∠GCP+∠OCB=90°,∵∠OCB+∠OBC=90°,∴∠GCP=∠OBC,∴tan∠GCP=tan∠OBC=2,∵PG⊥OG,∴在Rt△PGC中,2GC=GP,設(shè)GP=a,∴GC=,∴GO=+OC=+4,∵PG⊥OG,PH⊥OH,∴可知四邊形PGOH是矩形,∴PH=OG=+4,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,+4),∴,解得:a=或者0,∵P點(diǎn)在第一象限,∴a=,∴,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為();∵△BMH與△PCM中,有∠BMH=∠PMC恒相等,∴△PCM中,當(dāng)∠CPM為直角時(shí),若∠PCM=∠BMH,則可證△PCM是等腰直角三角形,通過相似可知△BMH也是等腰直角三角形,這與tan∠CBO=2相矛盾,故不存在當(dāng)∠CPM為直角時(shí),∠PCM=∠BMH相等的情況;同理不存在當(dāng)∠PCM為直角時(shí),∠CPM=∠BMH相等的情況,綜上所述:P點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,4)或者()．【點(diǎn)睛】本題考查了求解拋物線解析式、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、等邊三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí),掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．7．(廣西)已知拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))．(1)求點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)如圖,過點(diǎn)A的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C,點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),連接,設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m,當(dāng)時(shí),求m的值;(3)將線段AB先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,得到線段MN,若拋物線與線段MN只有一個(gè)交點(diǎn),請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)A(-1,0),B(3,0)(2)-3(3)或或【分析】(1)令,由拋物線解析式可得,解方程即可確定點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)由拋物線解析式確定其對(duì)稱軸為,可知點(diǎn)P(1,m),再將直線l與拋物線解析式聯(lián)立,解方程組可確定點(diǎn)C坐標(biāo),由列方程求解即可;(3)根據(jù)題意先確定點(diǎn)M(0,5)、N(4,5),令,整理可得,根據(jù)一元二次方程的根的判別式為可知,然后分情況討論時(shí)以及結(jié)合圖像分析a的取值范圍．(1)解:拋物線解析式,令,可得,解得,,故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(-1,0),B(3,0);(2)對(duì)于拋物線,其對(duì)稱軸為,∵點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m,∴P(1,m),將直線l與拋物線解析式聯(lián)立,可得,可解得或,故點(diǎn)C坐標(biāo)為(4,-5),∴,,當(dāng)時(shí),可得,解得;(3)將線段AB先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,得到線段MN,結(jié)合(1),可知M(0,5)、N(4,5),令,整理可得,其判別式為,①當(dāng)時(shí),解得,此時(shí)拋物線與線段MN只有一個(gè)交點(diǎn);②當(dāng)即時(shí),解方程,可得,即,,若時(shí),如圖1,由,可解得,此時(shí)有,且,解得;②當(dāng)時(shí),如圖2,由,可解得,此時(shí)有,且,解得;綜上所述,當(dāng)拋物線與線段MN只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),a的取值范圍為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,包括求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、利用二次函數(shù)解決圖形問題等知識(shí),解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想分析問題．8．(福建)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線經(jīng)過A(4,0),B(1,4)兩點(diǎn)．P是拋物線上一點(diǎn),且在直線AB的上方．(1)求拋物線的解析式;(2)若△OAB面積是△PAB面積的2倍,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)如圖,OP交AB于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D．記△CDP,△CPB,△CBO的面積分別為,,．判斷是否存在最大值．若存在,求出最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在,或(3,4)(3)存在,【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解;(2)待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為,過點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為M,PM交AB于點(diǎn)N．過點(diǎn)B作BE⊥PM,垂足為E．可得,設(shè),則．由,解方程求得的值,進(jìn)而即可求解;(3)由已知條件可得,進(jìn)而可得,過點(diǎn)分別作軸的垂線,垂足分別,交于點(diǎn),過作的平行線,交于點(diǎn),可得,設(shè),,則,根據(jù)可得,根據(jù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最大值．(1)解:(1)將A(4,0),B(1,4)代入,得,解得．所以拋物線的解析式為．(2)設(shè)直線AB的解析式為,將A(4,0),B(1,4)代入,得,解得．所以直線AB的解析式為．過點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為M,PM交AB于點(diǎn)N．過點(diǎn)B作BE⊥PM,垂足為E．所以．因?yàn)锳(4,0),B(1,4),所以．因?yàn)椤鱋AB的面積是△PAB面積的2倍,所以,．設(shè),則．所以,即,解得,．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或(3,4)．(3)記△CDP,△CPB,△CBO的面積分別為,,．則如圖,過點(diǎn)分別作軸的垂線,垂足分別,交于點(diǎn),過作的平行線,交于點(diǎn),,設(shè)直線AB的解析式為．設(shè),則整理得時(shí),取得最大值,最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合,待定系數(shù)法求解析式,面積問題,相似三角形的性質(zhì)與判定,第三問中轉(zhuǎn)化為線段的比是解題的關(guān)鍵．9．(貴州黔東南)如圖,拋物線的對(duì)稱軸是直線,與軸交于點(diǎn),,與軸交于點(diǎn),連接．(1)求此拋物線的解析式;(2)已知點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作軸,垂足為點(diǎn),交直線于點(diǎn),是否存在這樣的點(diǎn),使得以,,為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由;(3)已知點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn),在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn),使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在這樣的點(diǎn)(2,1)或或,使得以,,為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形(3)存在點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,1)或(-2,1)或或．【分析】(1)根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸是直線,可得a=-1,再把點(diǎn)代入,即可求解;(2)先求出,設(shè)點(diǎn)N(m,-m+3),可得,,再分三種情況討論:當(dāng)AC=AN時(shí),當(dāng)AC=CN時(shí),當(dāng)AN=CN時(shí),即可求解;(3)設(shè)點(diǎn)E(1,n),點(diǎn)F(s,t),然后分兩種情況討論:當(dāng)BC為邊時(shí),當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí),即可求解．(1)解:∵拋物線的對(duì)稱軸是直線,∴,解得:a=-1,∵拋物線過點(diǎn),∴,解得:c=3,∴拋物線解析式為;(2)解:存在這樣的點(diǎn),使得以,,為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．理由如下:令y=0,則,解得:,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),∴OA=1,當(dāng)x=0時(shí),y=3,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),即OC=3,∴,設(shè)直線BC的解析式為,把點(diǎn)B(3,0),C(0,3)代入得:,解得:,∴直線BC的解析式為,設(shè)點(diǎn)N(m,-m+3),∴MN=-m+3,AM=m+1,∴,,當(dāng)AC=AN時(shí),,解得:m=2或0(舍去),∴此時(shí)點(diǎn)N(2,1);當(dāng)AC=CN時(shí),,解得:或(舍去),∴此時(shí)點(diǎn)N;當(dāng)AN=CN時(shí),,解得:,∴此時(shí)點(diǎn)N;綜上所述,存在這樣的點(diǎn)(2,1)或或,使得以,,為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形;(3)解:存在,理由如下:∵點(diǎn)B(3,0),C(0,3),∴OB=OC,∴BC,設(shè)點(diǎn)E(1,n),點(diǎn)F(s,t),當(dāng)BC為邊時(shí),點(diǎn)C向右平移3個(gè)單位向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)B,同樣E(F)向右平移3個(gè)單位向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)F(E),且BE=CF(CE=BF),如圖,∴或,解得:或,∴此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,1)或(-2,1);當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí),BC=EF,且EF與BC的中點(diǎn)重合,如圖,,解得:或,∴此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為或;綜上所述,存在點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,1)或(-2,1)或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題,熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),并利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵是解題的關(guān)鍵．10．(湖南長(zhǎng)沙)若關(guān)于x的函數(shù)y,當(dāng)時(shí),函數(shù)y的最大值為M,最小值為N,令函數(shù),我們不妨把函數(shù)h稱之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”．(1)①若函數(shù),當(dāng)時(shí),求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的值;②若函數(shù)(,k,b為常數(shù)),求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的解析式;(2)若函數(shù),求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最大值;(3)若函數(shù),是否存在實(shí)數(shù)k,使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最小值．若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由．【答案】(1)①;②時(shí),,時(shí),(2)(3)時(shí),存在【分析】(1)①根據(jù)新定義結(jié)合正比例函數(shù)的性質(zhì)即可求解;②根據(jù)新定義結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;(2)根據(jù)新定義結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)列出,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;(3)根據(jù)新定義結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．(1)解:①當(dāng)時(shí),則,即,,,隨的增大而增大,,②若函數(shù),當(dāng)時(shí),,,,當(dāng)時(shí),則,,綜上所述,時(shí),,時(shí),,(2)解:對(duì)于函數(shù),,,函數(shù)在第一象限內(nèi),隨的增大而減小,,解得,當(dāng)時(shí),,,∵當(dāng)時(shí),隨的增大而增大,當(dāng)時(shí),取得最小值,此時(shí)取得最大值,最大值為;(3)對(duì)于函數(shù),,拋物線開口向下,時(shí),隨的增大而增大,時(shí),隨的增大而減小,當(dāng)時(shí),函數(shù)y的最大值等于,在時(shí),①當(dāng)時(shí),即時(shí),,,,的最小值為(當(dāng)時(shí)),若,解得,但,故不合題意,故舍去;②當(dāng)時(shí),即時(shí),,,,的最小值為(當(dāng)時(shí)),若,解得,但,故不合題意,故舍去③當(dāng)時(shí),即時(shí),,i)當(dāng)時(shí),即時(shí)對(duì)稱軸為,,拋物線開口向上,在上,當(dāng)2時(shí),有最小值,解得ii)當(dāng)時(shí),即時(shí),,,,對(duì)稱軸為,,拋物線開口向上,在上,當(dāng)2時(shí),有最小值,解得綜上所述,時(shí),存在．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義,要掌握一次函數(shù),反比例數(shù),二次函數(shù)的性質(zhì),難點(diǎn)在于分類討論時(shí),的取值范圍的取舍．11．(湖北武漢)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線的頂點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)C,線段軸,交該拋物線于另一點(diǎn)B．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線的解析式:(2)當(dāng)二次函數(shù)的自變量x滿足時(shí),此函數(shù)的最大值為p,最小值為q,且．求m的值:(3)平移拋物線,使其頂點(diǎn)始終在直線上移動(dòng),當(dāng)平移后的拋物線與射線BA只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),設(shè)此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n,請(qǐng)直接寫出n的取值范圍．【答案】(1)B(2,-3),直線AC為:y=-x-3;(2)m=或m=;(3)n=或1＜n≤4;【分析】(1)求得拋物線與y軸交點(diǎn)C,再由對(duì)稱軸x=1求得點(diǎn)B坐標(biāo),由點(diǎn)A、C坐標(biāo)待定系數(shù)法求直線AC解析式即可;(2)利用二次函數(shù)的對(duì)稱性分情況討論:①當(dāng)m+2≤1時(shí),x=m時(shí)取最大值,x=m+2時(shí)取最小值,②當(dāng)m+2＞1且m＜1,1-m＞m+2-1時(shí),x=m時(shí)取最大值,x=1時(shí)取最小值,③當(dāng)m+2＞1且m＜1,1-m＜m+2-1時(shí),x=m+2時(shí)取最大值,x=1時(shí)取最小值,④當(dāng)m≥1時(shí),x=m+2時(shí)取最大值,x=m時(shí)取最小值;根據(jù)列方程求解即可;(3)過點(diǎn)A作直線AE⊥BC于E,作直線AF⊥y軸于F,根據(jù)坐標(biāo)特征求得AECF是正方形,于是點(diǎn)A沿直線AC平移時(shí),橫縱坐標(biāo)平移距離相等;結(jié)合圖形可得設(shè)拋物線向左平移到與直線AB只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)與射線BA也只有一個(gè)交點(diǎn),由平移后的拋物線與直線BA聯(lián)立求值即可;當(dāng)拋物線由點(diǎn)A向右平移至左半部分過點(diǎn)B時(shí),與射線BA也只有一個(gè)交點(diǎn),將B點(diǎn)坐標(biāo)代入平移后的拋物線計(jì)算求值即可;(1)解:,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1,-4),對(duì)稱軸x=1,當(dāng)x=0時(shí)y=-3,即C(0,-3),點(diǎn)B、C關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱,則B(2,-3),設(shè)直線AC:y=kx+b,由A(1,-4),C(0,-3),可得,解得:∴直線AC為:y=-x-3;(2)解:①當(dāng)m+2≤1時(shí),即m≤-1時(shí),x=m時(shí)取最大值,x=m+2時(shí)取最小值,∴,解得:,不符合題意;②當(dāng)m+2＞1且m＜1,1-m＞m+2-1時(shí),即-1＜m＜0時(shí),x=m時(shí)取最大值,x=1時(shí)取最小值,∴,解得:m=,或m=(舍去),③當(dāng)m+2＞1且m＜1,1-m＜m+2-1時(shí),即0＜m＜1時(shí),x=m+2時(shí)取最大值,x=1時(shí)取最小值,∴,解得:m=,m=(舍去),④當(dāng)m≥1時(shí),x=m+2時(shí)取最大值,x=m時(shí)取最小值,∴,解得:,不符合題意;m=0時(shí),二次函數(shù)在0≤x≤2上最大值-3,最小值-4,-3-(-4)=1不符合題意;綜上所述:m=或m=;(3)解:由題意作圖如下,過點(diǎn)A作直線AE⊥BC于E,作直線AF⊥y軸于F,由A(1,-4)、B(2,-3)可得直線AB解析式為:y=x-5,∵C(0,-3),∴F(0,-4),E(1,-3),∵AF=1,AE=1,CF=1,CE=1,∠AEC=90°,∴四邊形AECF是正方形,∴∠CAE=∠CAF=45°,根據(jù)對(duì)頂角相等,可得當(dāng)點(diǎn)A沿直線AC平移m長(zhǎng)度時(shí),橫坐標(biāo)平移m?cos45°,縱坐標(biāo)平移m?cos45°,即點(diǎn)A沿直線AC平移時(shí),橫縱坐標(biāo)平移距離相等,設(shè)拋物線向左平移m單位后,與直線AB只有1個(gè)交點(diǎn),則令△=0,解得:m=,∴n=1-=,由圖象可得當(dāng)拋物線由點(diǎn)A向右平移至左半部分過點(diǎn)B時(shí),與射線BA只有一個(gè)交點(diǎn),設(shè)拋物線向右平移m單位后,左半部分過點(diǎn)B,則B(2,-3)在拋物線上,,解得:m=0(舍去)或m=3,∴1＜n≤4,綜上所述n=或1＜n≤4;【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合,根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求最值,二次函數(shù)的平移,三角函數(shù)等知識(shí);數(shù)形結(jié)合,熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．(內(nèi)蒙古通遼)如圖,拋物線與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),直線方程為．(1)求拋物線的解析式;(2)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),若,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);(3)點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn),若,求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)y=-x2+4x-3(2)(,)或(,)或(,)或(,)(3)(,)【分析】(1)先根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)B、C坐標(biāo);再代入,求出b、c即可求解;(2)過點(diǎn)A作AN⊥BC于N,過點(diǎn)P作PM⊥BC于M,過點(diǎn)P作PEBC,交y軸于E,交拋物線于p1,p2,過點(diǎn)E作EF⊥BC于F,先求出AN=,再根據(jù)兩三角形面積關(guān)系,求得PM=,從而求得CE=1,則點(diǎn)P是將直線BC向上或向下平移1個(gè)單位與拋物線的交點(diǎn),聯(lián)立解析式即可求出交點(diǎn)坐標(biāo);(3)過點(diǎn)Q作AD⊥CQ于D,過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F財(cái)富點(diǎn)C作CE⊥DF于E,證△CDE≌△DAD(AAS),得DE=AF,CE=DF,再證四邊形OCEF是矩形,得OF=CE,EF=OC=3,然后設(shè)DE=AF=n,則CE=DF=OF=n+1,DF=3-n,則n+1=3-n,解得:n=1,即可求出D(2,-2),用待定系數(shù)法求直線CQ解析式為y=x-3,最后聯(lián)立直線與拋物線解析式,求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解．(1)解:對(duì)于直線BC解析式y(tǒng)=x-3,令x=0時(shí),y=-3,則C(0,-3),令y=0時(shí),x=3,則B(3,0),把B(3,0),C(0,-3),分別代入,得,解得:,∴求拋物線的解析式為:y=-x2+4x-3;(2)解:對(duì)于拋物線y=-x2+4x-3,令y=0,則-x2+4x-3=0,解得:x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0),∴OA=1,OB=3,AB=2,過點(diǎn)A作AN⊥BC于N,過點(diǎn)P作PM⊥BC于M,如圖,∵A(1,0),B(3,0),C(0,-3),∴OB=OC=3,AB=2,∴∠ABC=∠OCB=45°,∴AN=,∵,∴PM=,過點(diǎn)P作PEBC,交y軸于E,過點(diǎn)E作EF⊥BC于F,則EF=PM=,∴CE=1∴點(diǎn)P是將直線BC向上或向下平移1個(gè)單位,與拋物線的交點(diǎn),如圖P1,P2,P3,P4,∵B(3,0),C(0,-3),∴直線BC解析式為:y=x-3,∴平移后的解析式為y=x-2或y=x-4,聯(lián)立直線與拋物線解析式,得或,解得:,,,,∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)或(,)或(,)或(,)．(3)解:如圖,點(diǎn)Q在拋物線上,且∠ACQ=45°,過點(diǎn)Q作AD⊥CQ于D,過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F,過點(diǎn)C作CE⊥DF于E,∵∠ADC=90°,∴∠ACD=∠CAD=45°,∴CD=AD,∵∠E=∠AFD=90°,∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE,∴△CDE≌△DAD(AAS),∴DE=AF,CE=DF,∵∠COF=∠E=∠AFD=90°,∴四邊形OCEF是矩形,∴OF=CE,EF=OC=3,設(shè)DE=AF=n,∵OA=1,∴CE=DF=OF=n+1∴DF=3-n,∴n+1=3-n解得:n=1,∴DE=AF=1,∴CE=DF=OF=2,∴D(2,-2),設(shè)直線CQ解析式為y=px-3,把D(2,-2)代入,得p=,∴直線CQ解析式為y=x-3,聯(lián)立直線與拋物線解析式,得解得:,(不符合題意,舍去),∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為(,).【點(diǎn)睛】本題屬二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合題目,考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,一次函數(shù)圖象平行,全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．(山東煙臺(tái))如圖,已知直線y＝x+4與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A,C兩點(diǎn),且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B,對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo);(3)若點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上,是否存在點(diǎn)P,Q,使以點(diǎn)A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)角線的菱形?若存在,請(qǐng)求出P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y＝﹣x2﹣x+4(2)S最大＝,D(﹣,5)(3)存在,Q(﹣2,)【分析】(1)先求得A,C,B三點(diǎn)的坐標(biāo),將拋物線設(shè)為交點(diǎn)式,進(jìn)一步求得結(jié)果;(2)作DF⊥AB于F,交AC于E,根據(jù)點(diǎn)D和點(diǎn)E坐標(biāo)可表示出DE的長(zhǎng),進(jìn)而表示出三角形ADC的面積,進(jìn)而表示出S的函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)一步求得結(jié)果;(3)根據(jù)菱形性質(zhì)可得PA＝PC,進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)菱形性質(zhì),進(jìn)一步求得點(diǎn)Q坐標(biāo)．(1)解:當(dāng)x＝0時(shí),y＝4,∴C(0,4),當(dāng)y＝0時(shí),x+4＝0,∴x＝﹣3,∴A(﹣3,0),∵對(duì)稱軸為直線x＝﹣1,∴B(1,0),∴設(shè)拋物線的表達(dá)式:y＝a(x﹣1)?(x+3),∴4＝﹣3a,∴a＝﹣,∴拋物線的表達(dá)式為:y＝﹣(x﹣1)?(x+3)＝﹣x2﹣x+4;(2)如圖1,作DF⊥AB于F,交AC于E,∴D(m,﹣﹣m+4),E(m,﹣m+4),∴DE＝﹣﹣m+4﹣(m+4)＝﹣m2﹣4m,∴S△ADC＝OA＝?(﹣m2﹣4m)＝﹣2m2﹣6m,∵S△ABC＝＝＝6,∴S＝﹣2m2﹣6m+6＝﹣2(m+)2+,∴當(dāng)m＝﹣時(shí),S最大＝,當(dāng)m＝﹣時(shí),y＝﹣＝5,∴D(﹣,5);(3)設(shè)P(﹣1,n),∵以A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)角線的菱形,∴PA＝PC,即:PA2＝PC2,∴(﹣1+3)2+n2＝1+(n﹣4)2,∴n＝,∴P(﹣1,),∵xP+xQ＝xA+xC,yP+yQ＝y(tǒng)A+yC∴xQ＝﹣3﹣(﹣1)＝﹣2,yQ＝4﹣＝,∴Q(﹣2,)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì),勾股定理,菱形性質(zhì)等知識(shí),解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)二次函數(shù)和菱形性質(zhì)14．(山東聊城)如圖,在直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn),對(duì)稱軸為直線,頂點(diǎn)為點(diǎn)D．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)連接DA,DC,CB,CA,如圖①所示,求證:;(3)如圖②,延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)M,平移二次函數(shù)的圖象,使頂點(diǎn)D沿著射線DM方向平移到點(diǎn)且,得到新拋物線,交y軸于點(diǎn)N．如果在的對(duì)稱軸和上分別取點(diǎn)P,Q,使以MN為一邊,點(diǎn)M,N,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)見解析(3)點(diǎn)或(5,-8)【分析】(1)根據(jù)拋物線對(duì)稱軸和點(diǎn)C坐標(biāo)分別確定b和c的值,進(jìn)而求得結(jié)果;(2)根據(jù)點(diǎn)A,D,C坐標(biāo)可得出AD,AC,CD的長(zhǎng),從而推出三角形ADC為直角三角形,進(jìn)而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等,從而得出結(jié)論;(3)先得出y1的頂點(diǎn),進(jìn)而得出先拋物線的表達(dá)式,從而求得M和N的坐標(biāo),點(diǎn)M,N,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分為?MNQP和?MNPQ,根據(jù)M,N和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)可以得出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo),進(jìn)而求得結(jié)果．(1)解:由題意得,,∴,∴二次函數(shù)的表達(dá)式為:;(2)證明:∵當(dāng)時(shí),,∴,由得,,,∴,∴,∵,∴,,∴,∴,∴,∵,∴,∴;(3)解:如圖,作軸于E,作軸于F,∴,∴,∴,∴,,∴,∴的關(guān)系式為:,由得,或,∴,當(dāng)時(shí),,∴,設(shè),當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí),∴,,∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,當(dāng)時(shí),,∴,當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí),同理可得:點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為:5,當(dāng)時(shí),,∴,綜上所述:點(diǎn)或(5,)．【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的表達(dá)式,勾股定理的逆定理,相似三角形的判定和性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和分類等知識(shí),解決問題的關(guān)鍵熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．15．(黑龍江齊齊哈爾)綜合與探究如圖,某一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)為A(-1,0),B(4,5)．(1)求拋物線的解析式;(2)點(diǎn)C為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)AC與BC的和最小時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)為;(3)點(diǎn)D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥x軸,交線段AB于點(diǎn)E,求線段DE長(zhǎng)度的最大值;(4)在(2)條件下,點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn),點(diǎn)F為直線AB上一點(diǎn),點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn),若以點(diǎn)C,M,F,N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(1,2)(3)(4)【分析】(1)將A(-1,0),B(4,5)代入得到關(guān)于m,n的二元一次方程組求解即可;(2)拋物線的對(duì)稱軸為,求出直線AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即可求解;(3)設(shè),則,則,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可;(4)根據(jù)題意畫出圖形,分情況求解即可．(1)解:將A(-1,0),B(4,5)代入得,,解這個(gè)方程組得,拋物線的解析式為:;(2)解:如圖,設(shè)直線AB的解析式為:,把點(diǎn)A(-1,0),B(4,5)代入,得,解得,直線AB的解析式為:,由(1)知拋物線的對(duì)稱軸為,點(diǎn)C為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),,當(dāng)點(diǎn)C在AB上時(shí),最小,把x=1代入,得y=2,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2);(3)解:如圖,由(2)知直線AB的解析式為y=x+1設(shè),則,則,當(dāng)時(shí),DE有最大值為,(4)解:如圖,直線AB的解析式為:y=x+1,直線與y軸的交點(diǎn)為D(0,1),,,若以點(diǎn)C,M,F,N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形,分情況討論:①過點(diǎn)C作軸于點(diǎn),則為等腰直角三角形,過點(diǎn)C作,則四邊形為正方形,依題意,知D與F重合,點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1);②以為中心分別作點(diǎn)F,點(diǎn)C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),連接,則四邊形是正方形,則點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2);③延長(zhǎng)到使,作于點(diǎn),則四邊形是正方形,則的坐標(biāo)為(1,4);④取的中點(diǎn),的中點(diǎn),則為正方形,則的坐標(biāo)為,綜上所述,點(diǎn)N的坐標(biāo)為:【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),正方形的判定,根據(jù)題意正確畫圖是解本題的關(guān)鍵．16．(湖南)如圖,已知拋物線的圖像與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若四邊形為矩形,．點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn),另一點(diǎn)隨之停止．當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí),求運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值;(3)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn),點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)是軸下方拋物線圖像上的動(dòng)點(diǎn)．若過點(diǎn)的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),且分別與線段、相交于點(diǎn)、,求證:為定值．【答案】(1);頂點(diǎn)為(2)或(3)見解析【分析】(1)設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為:,將、代入,進(jìn)行計(jì)算即可得,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得;(2)依題意,秒后點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)距離為,則,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)距離為,分情況討論:①當(dāng)時(shí),②當(dāng)時(shí),進(jìn)行解答即可得;(3)根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得,根據(jù)直線與拋物線圖像只有一個(gè)公共點(diǎn),即可得,利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為:,直線的解析式為:,聯(lián)立,結(jié)合已知,解得:,同理可得:,運(yùn)用三角函數(shù)求出GH,GK即可得．(1)解:設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為:,將、代入得:,解得,,拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:,又,,頂點(diǎn)為;(2)解:依題意,秒后點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)距離為,則,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)距離為．①當(dāng)時(shí),,解得;②當(dāng)時(shí),,解得;綜上得,當(dāng)或時(shí),以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似;(3)解:點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),,直線與拋物線圖像只有一個(gè)公共點(diǎn),只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,△,即:,解得:,利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為:,直線的解析式為:,聯(lián)立,結(jié)合已知,解得:,同理可得:,則:,,,的值為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,相似三角形的判定與性質(zhì),函數(shù)與方程的關(guān)系,一元二次方程根的判別式等知識(shí),聯(lián)立兩函數(shù)關(guān)系求出點(diǎn)和的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．17．(內(nèi)蒙古包頭)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)是,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是,M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且位于第一象限,直線與y軸交于點(diǎn)G．(1)求該拋物線的解析式;(2)如圖1,N是拋物線上一點(diǎn),且位于第二象限,連接,記的面積分別為．當(dāng),且直線時(shí),求證:點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱;(3)如圖2,直線與y軸交于點(diǎn)H,是否存在點(diǎn)M,使得．若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)存在,【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即可;(2)如圖．過點(diǎn)M作軸,垂足為D．當(dāng)與都以為底時(shí),可得．再求解,,直線的解析式為．直線的解析式為,可得．從而可得答案;(3)過點(diǎn)M作軸,垂足為E．設(shè),則．由,可得．同理可得．再利用,建立方程方程即可．(1)解:∵拋物線與x軸交于點(diǎn),頂點(diǎn)為,∴解得∴該拋物線的解析式為．(2)證明:如圖．過點(diǎn)M作軸,垂足為D．當(dāng)與都以為底時(shí),∵,∴．當(dāng)時(shí),則,解得．∵,∴,∴．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,∵點(diǎn)M在第一象限,∴,∴,∴．設(shè)直線的解析式為,∴解得∴直線的解析式為．設(shè)直線的解析式為,∵直線,∴,∴,∵,∴．∴直線的解析式為,將其代入中,得,∴,解得．∵點(diǎn)N在第二象限,∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為,∴,∴．∵,∴點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱．(3)如圖．存在點(diǎn)M,使得．理由如下:過點(diǎn)M作軸,垂足為E．∵,∴．∵,∴,∴．在和中,∵,∴,∴．∵,∴,在和中,∵,∴,∴．∵,∴,∴．當(dāng)時(shí),,∴．∴存在點(diǎn),使得．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式,一次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)問題,銳角三角函數(shù)的應(yīng)用,作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．18．(廣西梧州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線分別與x,y軸交于點(diǎn)A,B,拋物線恰好經(jīng)過這兩點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式;(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是,將繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo),并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上;②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn),求取最小值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①點(diǎn)E在拋物線上;②(0,)【分析】(1)先求出A、B坐標(biāo),然后根據(jù)待定系數(shù)法求解即可;(2)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出EF=AO=3,CF=CO=6,從而可求E的坐標(biāo),然后把E的坐標(biāo)代入(1)的函數(shù)解析式中,從而判斷出點(diǎn)E是否在拋物線上;②過點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q,證明△ABO∽△PBQ,從而求出,則可判斷當(dāng)P,E,Q三點(diǎn)共線,且EP⊥AB時(shí),取最小值,然后根據(jù)待定系數(shù)法求直線EP解析式,即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．(1)解:當(dāng)x=0時(shí),y=-4,當(dāng)y=0時(shí),,∴x=-3,∴A(-3,0),B(0,-4),把A、B代入拋物線,得,∴,∴拋物線解析式為;(2)①∵A(-3,0),C(0,6),∴AO=3,CO=6,由旋轉(zhuǎn)知:EF=AO=3,CF=CO=6,∠FCO=90°∴E到x軸的距離為6-3=3,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(6,3),當(dāng)x=3時(shí),,∴點(diǎn)E在拋物線上;②過點(diǎn)P作PQ⊥AB于Q,又∠AOB=90°,∴∠AOB=∠PQB,在Rt△ABO中,AO=3,BO=4,∴由勾股定理得:AB=5,∵∠AOB=∠PQB,∠ABO=∠PBQ,∴△ABO∽△PBQ,∴,∴,∴,∴,∴當(dāng)P,E,Q三點(diǎn)共線,且EP⊥AB時(shí),取最小值,∵EP⊥AB,∴設(shè)直線EP解析式為,又E(6,0),∴,∴,∴直線EP解析式為,當(dāng)x=0時(shí),y=,∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,)．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)函數(shù)解析式,相似三角形的判定與性質(zhì)等,解第(2)題第②問的關(guān)鍵是正確作出點(diǎn)P的位置．19．(遼寧錦州)如圖,拋物線與x軸交于兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上,連接．(1)求拋物線的解析式;(2)如圖1,若點(diǎn)P在第四象限,點(diǎn)D在線段上,連接并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E,連接,記的面積為,的面積為,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)如圖2,若點(diǎn)P在第二象限,點(diǎn)F為拋物線的頂點(diǎn),拋物線的對(duì)稱軸l與線段交于點(diǎn)G,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為【分析】(1)將將、兩點(diǎn)代入即可求解;(2)設(shè)點(diǎn),由,可得即可求解;(3)作CE⊥l,PQ⊥BC,PN⊥x軸,連接PC交x軸于點(diǎn)H,設(shè),PC的表達(dá)式為:,由P,C代入得,PC的表達(dá)式,由可表示PQ、PB,分別求EF、CF,由,PQ⊥BC,CE⊥l,證即可求解;(1)解:將、兩點(diǎn)代入得,,解得:∴拋物線的解析式為:(2)由可得,設(shè)點(diǎn)則∵,∴∴解得:(舍去)∴(3)如圖,作CE⊥l,PQ⊥BC,PN⊥x軸,連接PC交x軸于點(diǎn)H,設(shè),PC的表達(dá)式為:,將P,C代入得,解得:PC的表達(dá)式為:,將y=0代入得,,即,∴∵∴∵∴∵由題可知,∴將代入得,,∴∴∵,PQ⊥BC,CE⊥l,∴∴∴解得:(舍去)．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,一次函數(shù)的應(yīng)用,三角形的相似,勾股定理,掌握相關(guān)知識(shí)正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．20．(遼寧)如圖,拋物線交x軸于點(diǎn)和,交y軸于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)D是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接交于點(diǎn)N,當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)P為拋物線上一點(diǎn),連接,過點(diǎn)P作交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)Q,當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或或或【分析】(1)把點(diǎn)和代入解析式求解即可;(2)過點(diǎn)D作DH∥y軸,交AC于點(diǎn)H,由(1)設(shè),直線AC的解析式為,然后可求出直線AC的解析式,則有,進(jìn)而可得,最后根據(jù)可進(jìn)行求解;(3)由題意可作出圖象,設(shè),然后根據(jù)題意及k型相似可進(jìn)行求解．(1)解:把點(diǎn)和代入得:,解得:,∴拋物線的解析式為;(2)解:過點(diǎn)D作DH∥y軸,交AC于點(diǎn)H,如圖所示:設(shè),直線AC的解析式為,由(1)可得:,∴,解得:,∴直線AC的解析式為,∴,∴,∵DH∥y軸,∴,∴,∵,∴當(dāng)時(shí),的值最大,∴;(3)解:由題意可得如圖所示:分別過點(diǎn)C、Q作垂線,交過點(diǎn)P作y軸的平行線于點(diǎn)G、H,∵,∴,∴,∴,∴,∴,∵,∴,設(shè)點(diǎn),由題意可知:拋物線的對(duì)稱軸為直線,,∴,∴,當(dāng)時(shí),解得:,當(dāng)時(shí),解得:綜上:點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、三角函數(shù)及相似三角形的性質(zhì)與判定,熟練掌握二次函數(shù)的綜合、三角函數(shù)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．21．(遼寧營(yíng)口)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線和直線的解析式;(2)如圖,點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn),過點(diǎn)P作,垂足為D,作軸,垂足為E,交于點(diǎn)F,設(shè)的面積為,的面積為,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)P坐標(biāo);(3)點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)N,使得直線垂直平分線段?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由．【答案】(1)拋物線解析式為,直線的解析式為,(2)(3)存在【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解;(2)設(shè),則,中,,證明,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及建立方程,解方程即可求解;(3)設(shè)直線交軸于點(diǎn),設(shè)交于點(diǎn),連接,,,證明是等腰直角三角形,則設(shè),則,,根據(jù)列出方程,即可求解．(1)解:拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn),,解得,拋物線解析式為,設(shè)直線的解析式為,,解得,直線的解析式為,(2)如圖,設(shè)直線與軸交于點(diǎn),由,令,得,則,,,設(shè),則,,,,,,,中,,設(shè)的面積為,的面積為,,,,即,設(shè),則,,解得或(舍),當(dāng)時(shí),,(3)設(shè)直線交軸于點(diǎn),設(shè)交于點(diǎn),連接,,,如圖,由,令,得,則設(shè)過直線的解析式為,解得過直線的解析式為,是等腰直角三角形是等腰直角三角形直線垂直平分線段是等腰直角三角形,,設(shè),則,,解得(舍)即【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合,解直角三角形,相似三角形的性質(zhì)與判定,二次函數(shù)線段問題,掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．(四川廣安)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(a≠0)的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)B,其中點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,－4),點(diǎn)C坐標(biāo)為(2,0)．(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AD、BD,探究是否存在點(diǎn)D,使得△ABD的面積最大?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由．(3)點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn),使得△PAB為直角三角形,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(-2,-4)(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為:(-1,3),(-1,-5),,【分析】(1)直接將B(0,-4),C(2,0)代入,即可求出解析式;(2)先求出直線AB關(guān)系式為:,直線AB平移后的關(guān)系式為:,當(dāng)其與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),此時(shí)點(diǎn)D距AB最大,此時(shí)△ABD的面積最大,由此即可求得D點(diǎn)坐標(biāo);(3)分三種情況討論,①當(dāng)∠PAB=90°時(shí),即PA⊥AB,則設(shè)PA所在直線解析式為:,將A(-4,0)代入得,解得:,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為:(-1,3);②當(dāng)∠PBA=90°時(shí),即PB⊥AB,則設(shè)PB所在直線解析式為:,將B(0,-4)代入得,,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為:(-1,-5);③當(dāng)∠APB=90°時(shí),設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為:,由于PA所在直線斜率為:,PB在直線斜率為:,=-1,則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為:,．(1)解:將B(0,-4),C(2,0)代入,得:,解得:,∴拋物線的函數(shù)解析式為:．(2)向下平移直線AB,使平移后的直線與拋物線只有唯一公共點(diǎn)D時(shí),此時(shí)點(diǎn)D到直線AB的距離最大,此時(shí)△ABD的面積最大,∵時(shí),,,∴A點(diǎn)坐標(biāo)為:(-4,0),設(shè)直線AB關(guān)系式為:,將A(-4,0),B(0,-4),代入,得:,解得:,∴直線AB關(guān)系式為:,設(shè)直線AB平移后的關(guān)系式為:,則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴,即的解為:x=-2,將x=-2代入拋物線解析式得,,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(-2,-4)時(shí),△ABD的面積最大;(3)①當(dāng)∠PAB=90°時(shí),即PA⊥AB,則設(shè)PA所在直線解析式為:,將A(-4,0)代入得,,解得:,∴PA所在直線解析式為:,∵拋物線對(duì)稱軸為:x=-1,∴當(dāng)x=-1時(shí),,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為:(-1,3);②當(dāng)∠PBA=90°時(shí),即PB⊥AB,則設(shè)PB所在直線解析式為:,將B(0,-4)代入得,,∴PA所在直線解析式為:,∴當(dāng)x=-1時(shí),,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為:(-1,-5);③當(dāng)∠APB=90°時(shí),設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為:,∴PA所在直線斜率為:,PB在直線斜率為:,∵PA⊥PB,∴=-1,解得:,,∴P點(diǎn)坐標(biāo)為:,綜上所述,P點(diǎn)坐標(biāo)為:(-1,3),(-1,-5),,時(shí),△PAB為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)、三角形的綜合,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．23．(海南)如圖1,拋物線經(jīng)過點(diǎn),并交x軸于另一點(diǎn)B,點(diǎn)在第一象限的拋物線上,交直線于點(diǎn)D．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí),求四邊形的面積;(3)點(diǎn)Q在拋物線上,當(dāng)?shù)闹底畲笄沂侵苯侨切螘r(shí),求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo);(4)如圖2,作交x軸于點(diǎn),點(diǎn)H在射線上,且,過的中點(diǎn)K作軸,交拋物線于點(diǎn)I,連接,以為邊作出如圖所示正方形,當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在y軸上時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為,,,1．(4)G(-4+,0)．【分析】(1)將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求解即可;(2)如圖,連接,令,求得點(diǎn)B的坐標(biāo),再根據(jù)各點(diǎn)的坐標(biāo)確定OC、OB的長(zhǎng),然后再根據(jù)求解即可;(3)如圖,作軸,交直線于點(diǎn)F,可得,即,進(jìn)一步說明當(dāng)最大時(shí),最大．設(shè),則,根據(jù)線段的核查運(yùn)算求得PF的最大值;設(shè)點(diǎn),若是直角三角形,則點(diǎn)Q不能與點(diǎn)P、A重合,∴,再分、、三種情況解答即可．(4)作GL//y軸,作RC⊥GL于L,作MT⊥KI于K,作HW⊥IK于點(diǎn)W,則△GLC≌CRH,△ITM≌△HWI.根據(jù)?GLC≌?CRH可表示出H點(diǎn)坐標(biāo),從而表示出點(diǎn)K坐標(biāo),進(jìn)而表示出I坐標(biāo),根據(jù)MT=IW,構(gòu)建方程求得n的值．(1)解:∵拋物線經(jīng)過點(diǎn),∴解得∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．(2)解:如圖,連接,令,∴．∴∵,∴．∴．∴．(3)解:如圖1所示,作軸,交直線于點(diǎn)F,則．∴．∵是定值,∴當(dāng)最大時(shí),最大．設(shè),∵,∴．設(shè),則．∴．∴當(dāng)時(shí),取得最大值,此時(shí)．設(shè)點(diǎn),若是直角三角形,則點(diǎn)Q不能與點(diǎn)P、A重合,∴,下面分三類情況討論:若,如圖2所示,過點(diǎn)P作軸于點(diǎn),作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),則．∴．∴．∵,∴．∴．若,如圖3所示,過點(diǎn)P作直線軸于點(diǎn),過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn),．∴．∴．∵,∴．∴．若,如圖4所示,過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn),作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),則．∴．∴．∵,∴．∴．綜上所述,當(dāng)?shù)闹底畲笄沂侵苯侨切螘r(shí),點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為,,,1．圖1

圖2

圖3

圖4(4)如圖,作GL//y軸,作RC⊥GL于L,作MT⊥KI于K,作HW⊥IK于點(diǎn)W,則△GLC≌?CRH,△ITM≌△HWI.RH=OG=-n,CR=GL=OC=3,MT=IW,G(n,0),H(3,3+n),+n+3+3)∵TM=IM∴(n+3)2+2(n+3)-12=0,∴n1=-4+,n2=-4-(舍去)∴G(-4+,0)．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題,主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何圖形的綜合、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及分類討論思想,靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)以及分類討論思想成為解答本題的關(guān)鍵．24．(內(nèi)蒙古呼和浩特)如圖,拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn),與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為,連接、．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo);(2)如圖1,若點(diǎn)是線段的中點(diǎn),連接,在軸上是否存在點(diǎn),使得是以為斜邊的直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;(3)如圖2,點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作軸,分別交、軸于點(diǎn)、,當(dāng)中有某個(gè)角的度數(shù)等于度數(shù)的2倍時(shí),請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1);A(-1,0);(2)存在E(0,3)或(0,-1),使得是以為斜邊的直角三角形;(3)2或【分析】(1)利用待定系數(shù)法解答,即可求解;(2)先根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn),設(shè)點(diǎn)E(0,m),再根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,,,再由勾股定理,即可求解;(3)先求出,再求出直線BC的解析式,然后設(shè)點(diǎn),則,CF=a,可得,再分三種情況討論:若∠PCM=2∠OBC,過點(diǎn)C作CF∥x軸交PM于點(diǎn)F;若∠PMC=2∠OBC;若∠CPM=2∠OBC,過點(diǎn)P作PG平分∠CPM,則∠MPG=∠OBC,即可求解．(1)解:把點(diǎn)和點(diǎn)代入,得:,解得:,∴拋物線的解析式為,令y=0,則,解得:,∴點(diǎn)A(-1,0);(2)解:存在,理由如下:∵點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn),∴點(diǎn),設(shè)點(diǎn)E(0,m),∴,,,∵是以為斜邊的直角三角形,∴,整理得:,解得:或-1,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,3)或(0,-1);(3)解:∵點(diǎn)B(4,0),C(0,2),∴OB=4,OC=2,∴,設(shè)直線BC的解析式為,把點(diǎn)B(4,0),C(0,2)代入得:,解得:,∴直線BC的解析式為,設(shè)點(diǎn),則,CF=a,∴,若∠PCM=2∠OBC,過點(diǎn)C作CF∥x軸交PM于點(diǎn)F,如圖甲所示,∴∠FCM=∠OBC,即,∴∠PCF=∠FCM,∵軸,∴CF⊥PQ,∴PM=2FM,∴,∴,解得:解得:a=2或0(舍去),∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2;若∠PMC=2∠OBC,∵∠PMC=∠BMN,∴∠BMN=2∠OBC,∵∠OBC+∠BMN=90°,∴∠OBC=30°,與相矛盾,不合題意,舍去;若∠CPM=2∠OBC,如圖乙所示,過點(diǎn)P作PG平分∠CPM,則∠MPG=∠OBC,∵∠PMG=∠BMN,∴△PMG∽△BMN,∴∠PGM=∠BNM=90°,∴∠PGC=90°,∵PG平分∠CPM,即∠MPG=∠CPG,∴∠PCM=∠PMC,∴PC=PM,∴,解得:或0(舍去),∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為;綜上所述,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或．

圖甲

圖乙【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題,解直角三角形,相似三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的綜合題,直角三角形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．25．(吉林)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(,是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn),點(diǎn)．點(diǎn)在此拋物線上,其橫坐標(biāo)為．(1)求此拋物線的解析式;(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí),結(jié)合圖象,直接寫出的取值范圍;(3)若此拋物線在點(diǎn)左側(cè)部分(包括點(diǎn))的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．①求的值;②以為邊作等腰直角三角形,當(dāng)點(diǎn)在此拋物線的對(duì)稱軸上時(shí),直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)①或3;②或或【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可得;(2)先根據(jù)拋物線的解析式求出此拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,再畫出函數(shù)圖象,由此即可得;(3)①先求出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)、以及點(diǎn)的坐標(biāo),再分和兩種情況,分別畫出函數(shù)圖象,利用函數(shù)的增減性求解即可得;②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,分和兩種情況,分別根據(jù)等腰直角三角形的定義建立方程組,解方程組即可得．(1)解:將點(diǎn)代入得:,解得,則此拋物線的解析式為．(2)解:對(duì)于二次函數(shù),當(dāng)時(shí),,解得或,則此拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為,畫出函數(shù)圖象如下:則當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí),的取值范圍為或．(3)解:①二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,當(dāng)時(shí),,即,(Ⅰ)如圖,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),隨的增大而減小,則此時(shí)點(diǎn)即為最低點(diǎn),所以,解得或(不符題設(shè),舍去);(Ⅱ)如圖,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),隨的增大而減小;當(dāng)時(shí),隨的增大而增大,則此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)即為最低點(diǎn),所以,解得,符合題設(shè),綜上,的值為或3;②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題意,分以下兩種情況:(Ⅰ)如圖,當(dāng)時(shí),設(shè)對(duì)稱軸直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn),則在等腰中,只能是,垂直平分,且,(等腰三角形的三線合一),,解得,則此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),由(3)①可知,此時(shí),則點(diǎn),,,,當(dāng)時(shí),是等腰直角三角形,則,即,方程組無解,所以此時(shí)不存在符合條件的點(diǎn);當(dāng)時(shí),是等腰直角三角形,則,即,解得,所以此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為;當(dāng)時(shí),是等腰直角三角形,則,即,方程組無解,所以此時(shí)不存在符合條件的點(diǎn);綜上,點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用、等腰直角三角形、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．26．(黑龍江哈爾濱)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線經(jīng)過點(diǎn),點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C．(1)求a,b的值;(2)如圖1,點(diǎn)D在該拋物線上,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為,過點(diǎn)D向y軸作垂線,垂足為點(diǎn)E．點(diǎn)P為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接、設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t,的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量t的取值范圍);(3)如圖2,在(2)的條件下,連接,點(diǎn)F在上,過點(diǎn)F向y軸作垂線,垂足為點(diǎn)H,連接交y軸于點(diǎn)G,點(diǎn)G為的中點(diǎn),過點(diǎn)A作y軸的平行線與過點(diǎn)P所作的x軸的平行線相交于點(diǎn)N,連接,,延長(zhǎng)交于點(diǎn)M,點(diǎn)R在上,連接,若,,求直線的解析式．【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)將,代入拋物線中,進(jìn)行計(jì)算即可得;(2)由(1)得,根據(jù)軸得,,根據(jù)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t,得,即可得;(3)過點(diǎn)C作,交NR的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,過點(diǎn)K作軸于點(diǎn)T,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得,則,根據(jù)軸,軸得,根據(jù)點(diǎn)G為的中點(diǎn)得,根據(jù)AAS得,得,,再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線OA的解析式為,得出,可得,再由得出,,再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線BP的解析式為,進(jìn)而推出,證得,進(jìn)而得出,由得,用AAS可證明,求得,設(shè)直線RN的解析式為:,再運(yùn)用待定系數(shù)法即可得．(1)解:∵拋物線經(jīng)過,,∴,解得,(2)解:由(1)得,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為∴,∵軸∴,∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t,∴,∴;(3)解:如圖所示,過點(diǎn)C作,交NR的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,過點(diǎn)K作軸于點(diǎn)T,∵,當(dāng)時(shí),,∴,∴,∵軸,軸,∴,∵點(diǎn)G為的中點(diǎn),∴,在和中,∴(AAS),∴,,設(shè)直線OA的解析式為:,將點(diǎn)代入得,,解得,,∴直線OA的解析式:,當(dāng)x=2時(shí),,∴,,∴,∴,∵,∴,∴,∵軸,軸,∴,∴,∵,∴,設(shè)直線BP的解析式為,則,解得,,∴直線BP的解析式為:,當(dāng)時(shí),,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為,∴,∵,,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∵∴,∵,∴,∴是等腰直角三角形,∴CK=CN,∵,∴,∵,∴,在和中,∴(AAS),∴,,∴,∴,設(shè)直線RN的解析式為:,將點(diǎn),得,,解得,,∴直線RN的解析式為:．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù),全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定于性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn),能夠添加輔助線構(gòu)造相似三角形或全等三角形．27．(湖北宜昌)已知拋物線與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)．直線由直線平移得到,與軸交于點(diǎn)．四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,,．(1)填空:______,______;(2)若點(diǎn)在第二象限,直線與經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn),求的最大值;(3)當(dāng)直線與四邊形、拋物線都有交點(diǎn)時(shí),存在直線,對(duì)于同一條直線上的交點(diǎn),直線與四邊形的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不大于它與拋物線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)．①當(dāng)時(shí),直接寫出的取值范圍;②求的取值范圍．【答案】(1),(2)當(dāng)時(shí),可以取得最大值,最大值為2(3)①的取值范圍為:或;②的取值范圍:【分析】(1)將點(diǎn),代入函數(shù)解析式得,解之即可;(2)設(shè)直線的解析式為,將點(diǎn)和代入得,求出直線的解析式;再求出直線的解析式為,根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得,再由直線與雙曲線有公共點(diǎn),由直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)得,進(jìn)而可求得;(3)當(dāng)直線與拋物線有交點(diǎn)時(shí),聯(lián)立直線與拋物線的解析式,得,可求得;當(dāng)時(shí),直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn);①當(dāng)時(shí),四邊形的頂點(diǎn)分別為,,,．第一種情況:如第24題圖2,時(shí),直線與四邊形,拋物線都有交點(diǎn),且滿足直線與矩形的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不大于與拋物線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)．第二種情況:當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),如24題圖3所示,,解得,,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),如24題圖4所示得,,最終可得的取值范圍為:或．②(Ⅰ)當(dāng)?shù)闹抵饾u增大到使矩形的頂點(diǎn)在直線上時(shí),直線與四邊形、拋物線同時(shí)有交點(diǎn),且同一直線與四邊形的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都小于它與拋物線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo),得解得,．(Ⅱ)如圖24題圖5,當(dāng)?shù)闹抵饾u增大到使矩形的頂點(diǎn)在這條開口向上的拋物線上(對(duì)稱軸左側(cè))時(shí),存在直線(即經(jīng)過此時(shí)點(diǎn)的直線)與四邊形、拋物線同時(shí)有交點(diǎn),且同一直線與四邊形的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不大于它與拋物線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo),,解之可求出m;綜合(Ⅰ)到(Ⅱ),得的取值范圍:．(1)將點(diǎn),代入函數(shù)解析式得解得故答