湖南省常德市下漁口中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

湖南省常德市下漁口中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若則A．31

B．32

C．63

D．64參考答案：C略2.是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，右圖是據(jù)某地某日早7點(diǎn)至晚8點(diǎn)甲、乙兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)（單位：毫克／每立方米）列出的莖葉圖，則甲、乙兩地濃度的方差較小的是

A．甲

B．乙

C．甲乙相等

D．無法確定參考答案：A3.角α終邊上有一點(diǎn)（﹣1，2），則下列各點(diǎn)中在角﹣α的終邊上的點(diǎn)是（）A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）參考答案：C【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和點(diǎn)的對(duì)稱即可求出．【解答】解：角α終邊與角﹣α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，∴（﹣1，2）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為（﹣1，﹣2），故選：C4.某三棱錐的正視圖如圖所示，則這個(gè)三棱錐的俯視圖不可能是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖．【分析】根據(jù)三視圖想想幾何體的側(cè)棱，底面的關(guān)系，側(cè)面與底面的關(guān)系，得出幾何體即可判斷，A圖一般放在正方體中研究即可．【解答】解：根據(jù)三棱錐的正視圖如圖所示，第一個(gè)圖是選項(xiàng)A的模型；第二個(gè)圖是選項(xiàng)B的模型；第三個(gè)圖是選項(xiàng)D的模型．故選；C5.已知F1、F2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C1與C2的公共點(diǎn)，若橢圓C1的離心率e1∈（，]，∠F1PF2=，則雙曲線C2的離心率e2的最小值為（）A． B．C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)橢圓及雙曲線方程，利用定義求得丨PF1丨=a1+a2，丨PF2丨=a1﹣a2，利用勾股定理及橢圓、雙曲線的離心率公式，求得+=2，利用橢圓的離心率范圍，即可求得e2的最小值．【解答】解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：+=1（a1＞b1＞0），雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：﹣=1（a2＞0，b2＞0），設(shè)P位于第一象限，半焦距為c，由橢圓和雙曲線的定義可知丨PF1丨+丨PF2丨=2a1，丨PF1丨﹣丨PF2丨=2a2，解得丨PF1丨=a1+a2，丨PF2丨=a1﹣a2，由∠F1PF2=，則丨PF1丨2+丨PF2丨2=丨F1F2丨2，∴（a1+a2）2+（a1﹣a2）2=（2c）2，即a12+a22=2c2，即有+=2，即為+=2，由e1∈（，]，可得∈[，2），則∈（0，]．則e2≥，即有雙曲線C2的離心率e2的最小值為．故選：B．6.拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（0，2），若線段AF的中點(diǎn)B在拋物線上，則|BF|=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線方程可表示出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而求得B點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程求得p，則B點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線準(zhǔn)線方程可求，進(jìn)而求得B到該拋物線焦點(diǎn)的距離．【解答】解：依題意可知F坐標(biāo)為（，0）∴B的坐標(biāo)為（，1）代入拋物線方程得=1，解得p=，∴拋物線準(zhǔn)線方程為x=﹣，所以點(diǎn)B到拋物線準(zhǔn)線的距離為=，則B到該拋物線焦點(diǎn)的距離為．故選D．7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（

）A.16+2π B.16+π C.24+2π D.24+π參考答案：C【分析】根據(jù)三視圖還原可知原幾何體為一個(gè)正方體和一個(gè)圓錐的組合體，從而可知所求表面積為正方體的表面積與圓錐側(cè)面積之和，分別求解作和可得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知幾何體為一個(gè)正方體和一個(gè)圓錐的組合體則該幾何體的表面積為：正方體的表面積與圓錐側(cè)面積之和正方體的表面積：圓錐的側(cè)面積：幾何體的表面積：本題正確選項(xiàng)：C8.函數(shù)（且）的定義域是 （

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.參考答案：C略10.點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，在的條件下，它的極坐標(biāo)是（

）A

B

C

D

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將函數(shù)y=sin（x﹣），x∈R的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)的解析式為．參考答案：y=sin（x﹣）【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．

【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【解答】解：將函數(shù)y=sin（x﹣），x∈R的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得y=sin（x﹣）的圖象；再向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)的解析式為y=sin[（x+）﹣]=sin（x﹣），故答案為：y=sin（x﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．12.《九章算術(shù)》是我國(guó)第一部數(shù)學(xué)專著，下有源自其中的一個(gè)問題：“今有金箠（chuí），長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．問金箠重幾何？”其意思為：“今有金杖（粗細(xì)均勻變化）長(zhǎng)5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．問金杖重多少？”則答案是．參考答案：15斤【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由題意可知等差數(shù)列的首項(xiàng)和第5項(xiàng)，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案．【解答】解：由題意可知等差數(shù)列中a1=4，a5=2，則S5=，∴金杖重15斤．故答案為：15斤．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．13.方程lgx=4﹣2x的根x∈（k，k+1），k∈Z，則k= ．參考答案：1考點(diǎn)：函數(shù)的圖象；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．專題：計(jì)算題．分析：將方程lgx=4﹣2x的解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題解決，先分別畫出方程左右兩邊相應(yīng)的函數(shù)的圖象，觀察兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間即可．解答： 解：分別畫出等式：lgx=4﹣2x兩邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象：如圖．由圖知：它們的交點(diǎn)x0在區(qū)間（1，2）內(nèi)，故k=1．故答案為：1．點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象是對(duì)數(shù)函數(shù)的一種表達(dá)形式，形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究它的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．14.設(shè)函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）處的切線的斜率分別是kA，kB，規(guī)定φ（A，B）=（|AB|為線段AB的長(zhǎng)度）叫做曲線y=f（x）在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”，給出以下命題：①函數(shù)y=x3圖象上兩點(diǎn)A與B的橫坐標(biāo)分別為1和﹣1，則φ（A，B）=0；②存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)；③設(shè)點(diǎn)A，B是拋物線y=x2+1上不同的兩點(diǎn)，則φ（A，B）≤2；④設(shè)曲線y=ex（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則φ（A，B）＜1．其中真命題的序號(hào)為

．（將所有真命題的序號(hào)都填上）參考答案：①②③④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】由新定義，利用導(dǎo)數(shù)逐一求出函數(shù)y=x3、y=x2+1在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”判斷①、③；舉例說明②正確；求出曲線y=ex上不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）之間的“彎曲度”，然后結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可判斷④．【解答】解：對(duì)于①，由y=x3，得y′=3x2，則kA=3，kB=3，則|kA﹣kB|=0，則φ（A，B）=0，故①正確；對(duì)于②，如y=1時(shí)，y′=0，則φ（A，B）=0，故②正確；對(duì)于③，拋物線y=x2+1的導(dǎo)數(shù)為y′=2x，yA=xA2+1，yB=xB2+1，yA﹣yB=xA2﹣xB2=（xA﹣xB）（xA+xB），則φ（A，B）===≤2，故③正確；對(duì)于④，由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）=，由不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），可得φ（A，B）＜=1，故④正確．故答案為：①②③④15.在極坐標(biāo)系中，圓ρ=2cosθ被直線ρcosθ=所截得的弦長(zhǎng)為．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】化直線和圓的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離為，利用勾股定理求出截得的弦長(zhǎng)．【解答】解：由ρcosθ=，得x=；由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0，圓心為（1，0），半徑為1，圓心到直線的距離為，截得的弦長(zhǎng)為2=，故答案為：．16.已知為奇函數(shù)，則___________．參考答案：10

17.函數(shù)的反函數(shù)是____________________.參考答案：答案：解析：本小題主要考查求反函數(shù)基本知識(shí)。求解過程要注意依據(jù)函數(shù)的定義域進(jìn)行分段求解以及反函數(shù)的定義域問題。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（Ⅱ）若m是（Ⅰ）中的最大值，且正數(shù)a，b滿足，證明：.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）見證明【分析】（Ⅰ）先由函數(shù)解析式求出最小值，再由題意得到，進(jìn)而可求出結(jié)果；（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到，再結(jié)合基本不等式，即可證明結(jié)論成立.【詳解】解：（Ⅰ）存在，使得，，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值不等式，以及不等式的證明，熟記基本不等式，以及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.19.設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù).(1)若，求的取值范圍；

(2)求的最小值；(3)設(shè)函數(shù)，求不等式的解集.參考答案：解:（1）若，則

2分（2）當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

綜上

8分20.（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知＝，＝，且滿足|＋|＝.(1)求角A的大小；(2)若||＋||＝||，試判斷△ABC的形狀．參考答案：解：(1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3， 即1＋1＋2＝3，

∴cosA＝.∵0<A<π，∴A＝.

…………..6分 (2)∵||＋||＝||，∴sinB＋sinC＝sinA， ∴sinB＋sin＝×，

即sinB＋cosB＝，∴sin＝. ∵0<B<，∴<B＋<，

∴B＋＝或，故B＝或.當(dāng)B＝時(shí)，C＝；當(dāng)B＝時(shí)，C＝.

故△ABC是直角三角形

.…………..12分21.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．向量=（a，b）與=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通過正弦定理求解A；（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通過余弦定理求出c，然后求解△ABC的面積．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)橄蛄?（a，b）與=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因?yàn)閟inB≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面積為：=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，三角形的面積的求法，考查計(jì)算能力．22.(14分)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，其中.（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答