初三數(shù)學(xué)技巧點(diǎn)的軌跡含答案

PAGE4-一、點(diǎn)的軌跡1.（2016·青海西寧）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，可以先證明△ADC和△AOB的關(guān)系，即可建立y與x的函數(shù)關(guān)系，從而可以得到哪個(gè)選項(xiàng)是正確的．【解答】解：作AD∥x軸，作CD⊥AD于點(diǎn)D，若右圖所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是y，∵AD∥x軸，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵點(diǎn)C到x軸的距離為y，點(diǎn)D到x軸的距離等于點(diǎn)A到x的距離1，∴y=x+1（x＞0）．故選：A．2.（2016·四川眉山）如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線在第三象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，且隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也在不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，則k的值是．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出OA=OB，連接OC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形求出OC=OA，求出△OFC∽△AEO，相似比，求出面積比，求出△OFC的面積，即可得出答案．【解答】解：∵雙曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴OA=OB，連接OC，如圖所示，∵△ABC是等邊三角形，OA=OB，∴OC⊥AB．∠BAC=60°，∴tan∠OAC==，∴OC=OA，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF，∴△OFC∽△AEO，相似比，∴面積比，∵點(diǎn)A在第一象限，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b），∵點(diǎn)A在雙曲線上，∴S△AEO=ab=，∴S△OFC=FC?OF=，∴設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），∵點(diǎn)C在雙曲線上，∴k=xy，∵點(diǎn)C在第四象限，∴FC=x，OF=﹣y．∴FC?OF=x?（﹣y）=﹣xy=﹣，故答案為：﹣3．3.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，動(dòng)點(diǎn)P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，且PQ=8.若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P從A到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)。

依題意畫(huà)出圖形，如圖所示．此時(shí)在Rt△APQ中，O為PQ的中點(diǎn)，所以AO=PQ=4．

所以點(diǎn)O在以A為圓心，半徑為4，圓心角為90°的圓弧上．

PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧，如圖所示：

所以PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)為：×2π×4=6π；4.（2014年山東煙臺(tái)）在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E自D向C，點(diǎn)F自C向B移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，請(qǐng)你寫(xiě)出AE與DF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，當(dāng)E，F(xiàn)分別移動(dòng)到邊DC，CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請(qǐng)你直接回答“是”或“否”，不需證明）（3）如圖③，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）如圖④，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你畫(huà)出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖．若AD=2，試求出線段CP的最小值．∴AB=AC，AD=AE.∠DAB=.∴△ADB≌△AEC.∴BD=CE.(2)解：①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，BE=AB-AE=1.∵∠EAC=，∴CE=.同(1)可證△ADB≌△AEC.∴∠DBA=∠ECA.∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC.∴.∴.∴.②當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，BE=3.∵∠EAC=，∴CE=.同(1)可證△ADB≌△AEC.∴∠DBA=∠ECA.∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC.∴.∴.∴.綜上，或.(3)PB長(zhǎng)的最小值是，最大值是.8.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，1-2m），則點(diǎn)A不在第象限。9.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)M為邊AD的中點(diǎn)，EM的延長(zhǎng)線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，MG⊥EF，交CD于N，交BC的延長(zhǎng)線于G，點(diǎn)P是MG的中點(diǎn)．連接EG、FG．下列結(jié)論：①當(dāng)點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，S△EFG=5；②MG=EF；③當(dāng)AE=時(shí)，F(xiàn)G=2；④若點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，則此過(guò)程中點(diǎn)P移動(dòng)的距離為2．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解：過(guò)M作MQ⊥BC于Q，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=2，∠A=∠B=90°，∴∠A=∠B=∠BQM=90°，∴四邊形ABQM數(shù)矩形，∴MQ=AB=2，∵E、M分別為AB、AD中點(diǎn)，∴AE=AM=1，AM=MD，由勾股定理得：EM=√12+12=√2，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADF=90°，AB∥CD，∴∠AEM=∠DFM，∵在△AEM和△DFM中{ ∠A=∠MDF∠AEM=∠DFMAM=DM∴△AEM≌△DFM（AAS），∴EM=MF=√2，∴EF=2√2，∵四邊形ABQM是矩形，∴∠AMQ=90°，∵∠EMG=90°，∴∠AME+∠EMQ=90°，∠EMQ+∠QMG=90°，∴∠AME=∠QMG，∵在△AME和△QGM中，∠A=∠MQG=90°，∠AME=∠QMG，∴△AME∽△QMG，∴AE/AM=QG/MQ=11，∴MQ=QG=2，在Rt△MQG中，由勾股定理得：MG=2√2，∴S△EFG=1/2EF×MG=1×2√2×2√2=4，∴①錯(cuò)誤；過(guò)E作EW⊥CD于W，∵M(jìn)Q⊥BC，四邊形ABCD是正方形，∴EW=AD=MQ=AB，∠MHE=90°，∵∠EMG=90°，∴∠MEG+∠EMH=90°，∠EMH+∠GMH=90°，∴∠MEH=∠QMG，∵在△FEW和△GMQ中{ ∠FEW=∠GMQEW=MQ∠EWF=∠MQG=90°，∴△FEW≌△GMQ（ASA），∴EF=MG，∴②正確；∵∠A=90°，AM=1，AE=√3，∴由勾股定理得：EM=2=FM，∴MG=EF=2+2=4，在Rt△FMG中，由勾股定理得：FG=√FM2+MG2=2√5，∴③正確；當(dāng)E在A點(diǎn)時(shí)，P為正方形中心當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，P運(yùn)動(dòng)到P'，∵△ABM∽△MGB（已證），AM/AB=BM/MG=1/2，∵P為MQ的中點(diǎn)，P′為MG中點(diǎn)，∴PP′∥BC，∴∠MPP′=∠MQG=90°=∠BMG，∠MP′P=∠MGB，∴△MPP'∽△BMG，∴MP/PP′=MB/MG=1/2，∴PP'=2MP=2，∴④正確；即正確的有3個(gè)．故選C．10.(2014咸寧)如圖1，P（m，n）是拋物線y=﹣1上任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)（0，﹣2）且與x軸平行的直線，過(guò)點(diǎn)P作直線PH⊥l，垂足為H．【探究】（1）填空：當(dāng)m=0時(shí)，OP=，PH=；當(dāng)m=4時(shí)，OP=，PH=；【證明】（2）對(duì)任意m，n，猜想OP與PH的大小關(guān)系，并證明你的猜想．【應(yīng)用】（3）如圖2，已知線段AB=6，端點(diǎn)A，B在拋物線y=﹣1上滑動(dòng)，求A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值．解答： （1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5．如圖1，記PH與x軸交點(diǎn)為Q，當(dāng)m=0時(shí)，P（0，﹣1）．此時(shí)OP=1，PH=1．當(dāng)m=4時(shí)，P（4，3）．此時(shí)PQ=3，OQ=4，∴OP==5，PH=yP﹣（﹣2）=3﹣（﹣2）=5．（2）猜想：OP=PH．證明：過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于Q，∵P在二次函數(shù)y=﹣1上，∴設(shè)P（m，﹣1），則PQ=|﹣1|，OQ=|m|，∵△OPQ為直角三角形，∴OP=====，PH=yP﹣（﹣2）=（﹣1）﹣（﹣2）=，∴OP=PH．（3）解：如圖2，連接OA，OB，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥l于C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥l于D，此時(shí)AC即為A點(diǎn)到l的距離，BD即為B點(diǎn)到l的距離．則有OB=BD，OA=AC，在△AOB中，∵OB+OA＞AB，∴BD+AC＞AB．當(dāng)AB過(guò)O點(diǎn)時(shí)，∵OB+OA=AB，∴BD+AC=AB．綜上所述，BD+AC≥AB，∵AB=6，∴BD+AC≥6，即A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值為6．11.（2016大連）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+與y軸相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱（1）填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)是；（2）過(guò)點(diǎn)B的直線y=kx+b（其中k＜0）與x軸相交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作直線l平行于y軸，P是直線l上一點(diǎn)，且PB=PC，求線段PB的長(zhǎng)（用含k的式子表示），并判斷點(diǎn)P是否在拋物線上，說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)C關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)C′恰好落在該拋物線的對(duì)稱軸上，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）由拋物線解析式可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，再利用對(duì)稱可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）可先用k表示出C點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)B作BD⊥l于點(diǎn)D，條件可知P點(diǎn)在x軸上方，設(shè)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為y，可表示出PD、PB的長(zhǎng)，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，則可求出PB的長(zhǎng)，此時(shí)可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可判斷P點(diǎn)在拋物線上；（3）利用平行線和軸對(duì)稱的性質(zhì)可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，則可求得OC的長(zhǎng)，代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y=x2+與y軸相交于點(diǎn)A，∴A（0，），∵點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，∴BA=OA=，∴OB=，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），故答案為：（0，）；（2）∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），∴直線解析式為y=kx+，令y=0可得kx+=0，解得x=﹣，∴OC=﹣，∵PB=PC，∴點(diǎn)P只能在x軸上方，如圖1，過(guò)B作BD⊥l于點(diǎn)D，設(shè)PB=PC=m，則BD=OC=﹣，CD=OB=，∴PD=PC﹣CD=m﹣，在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，即m2=（m﹣）2+（﹣）2，解得m=+，∴PB+