中北大學(xué)高數(shù)一總復(fù)習(xí)課件

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束試題不涉及內(nèi)容：（3）中值定理中關(guān)于（1）極限的定義證明問題；（2）n階導(dǎo)數(shù)的一般表達式；相關(guān)變換率；微分的近似計算；存在性的證明；泰勒公式；函數(shù)圖形的描繪；曲率；方程的近似解；（5）無界函數(shù)的廣義積分；（6）極坐標系下定積分的應(yīng)用；定積分的物理應(yīng)用；10-11-1高等數(shù)學(xué)期末考試復(fù)習(xí)大綱（7）伯努利方程（4）積分表的使用；注：凡是上課沒講的都不考試卷大體結(jié)構(gòu)一、單項選擇題(每小題3分,共15分)二、填空題(每小題3分,共15分)三、解答題(9-10個小題，共70分)考試注意事項1.書寫規(guī)范，卷面整潔2.寫出詳細的解題過程3.少犯原則性錯誤機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第一章一、函數(shù)的定義域，奇偶性，有界性1、函數(shù)的定義域是_______3、函數(shù)在定義域上是_______函數(shù)A.有界函數(shù)；B.周期函數(shù)；C.奇函數(shù);D.偶函數(shù)A2、函數(shù)的定義域是_______4、下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是_______A.B.C.D.B解:則

f(x)為奇函數(shù)則

f(x)為偶函數(shù)或5、函數(shù)A.奇函數(shù)；B.偶函數(shù)；C.非奇非偶函數(shù)；D.不確定.A是().解:6、函數(shù)A.奇函數(shù)；B.偶函數(shù)；C.非奇非偶函數(shù)；D.奇偶性決定于a的值.A是().解:7、設(shè)求及其定義域解：令則原式為：則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束8、設(shè)求及其定義域解：由得故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由得的定義域為9、設(shè)求由解:得:因此二.求極限1.兩個重要極限（注意和做區(qū)別）機動目錄上頁下頁返回結(jié)束～～～～～～～～～2.等價無窮小代換3.羅比塔法則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1、機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2、3、解:應(yīng)填：4、求極限解:原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:原式5、求極限機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:原式6、求極限機動目錄上頁下頁返回結(jié)束7、若則下式中成立的是().A.B.DC.D.三.連續(xù)和間斷函數(shù)在點連續(xù)

函數(shù)間斷點第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.①下列函數(shù)在連續(xù)的是().A.B.CC.D.②且設(shè)解:處連續(xù).使在即時f(x)在處連續(xù).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束存在所以又設(shè)則是的().③A.連續(xù)點;B.無窮間斷點;C.可去間斷點;D.跳躍間斷點.由于故應(yīng)選(C).所以是函數(shù)的可去間斷點,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束C是函數(shù)的間斷點,其類型為().A.無窮間斷點;B.跳躍間斷點;C.可去間斷點;D.振蕩間斷點.④所以是函數(shù)的可去間斷點,由于故應(yīng)選(C).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束C是的間斷點,其類型為().A.可去間斷點;B.跳躍間斷點;C.無窮間斷點;D.振蕩間斷點.5、所以是函數(shù)的無窮間斷點,由于故應(yīng)選(C).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束C四.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)零點定理：設(shè)且則至少有一點使得例4.設(shè)在上連續(xù)，且證明：在內(nèi)至少存在一點使證：設(shè)又所以由“零點定理”得知：則至少有一點使得即①機動目錄上頁下頁返回結(jié)束②證明方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個實根.設(shè)證:則在區(qū)間內(nèi)連續(xù).由于根據(jù)零點定理知在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點,即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個根.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二章一.導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義曲線在處切線方程和法線方程切線方程：法線方程：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:

應(yīng)填:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.①設(shè)則2、設(shè)求設(shè)求解:3、機動目錄上頁下頁返回結(jié)束③若為連續(xù)函數(shù),(A)(B)(C)(D)的值為().且已知則B應(yīng)選(B).解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束4、若為連續(xù)函數(shù),(A)(B)(C)(D)的值為().且已知則D應(yīng)選(D).解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束④求曲線方程和法線方程.解:在點

切線的斜率為:切線方程為:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

法線的斜率為:法線方程為:處的切線④試求過點且與曲線處的切線相垂直的直線方程.解:曲線在點處切線的斜率為:上的點方程兩邊對求導(dǎo)，視為的函數(shù)

所求直線的斜率為:所求直線的方程為:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo);隱函數(shù)求導(dǎo)；參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階,二階導(dǎo)數(shù);例6.①設(shè)函數(shù)由方程確定，求解:方程兩邊對求導(dǎo)，視為的函數(shù)由于把代入上式得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束②設(shè)則_______解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束③已知解:求機動目錄上頁下頁返回結(jié)束4、已知解:求確定了函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束④設(shè)解:求因為所以機動目錄上頁下頁返回結(jié)束①設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，求解:微分

:三.微分的計算例7.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)則解:2、機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)則解:3、4、設(shè)解:為可導(dǎo)函數(shù),求機動目錄上頁下頁返回結(jié)束可導(dǎo)連續(xù)四、關(guān)系

:可導(dǎo)可微例8.①已知在處可導(dǎo),則a,b

的值為().A.B.C.D.所以機動目錄上頁下頁返回結(jié)束又②已知在處可導(dǎo),則a,b

的值為().A.B.C.D.應(yīng)選(B).所以機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由于而所以又應(yīng)選(A).所以機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三章一.利用單調(diào)性證明不等式例9.1、證明當分析:時,當時,要證即證設(shè)由于機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:故為增函數(shù).即：即：2、證明當分析:時,即證設(shè)由于機動目錄上頁下頁返回結(jié)束所以當時,即當證畢.時,有因此當時,單調(diào)增.又由于證:3、若證明設(shè)證:由于所以單調(diào)增.時,即時,這表明當時,又由于機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二.利用單調(diào)性證明方程根的唯一性例10.①若則方程().A.無實根;B.有重實根;C.有無窮多個根;D.有且僅有一個根.設(shè)在由于判別式則上連續(xù).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束所以又由于因此曲線故方程有且僅有一個根,應(yīng)選(D).僅與x軸相交一次,因此在上單調(diào)增.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)由于因此曲線一個實根,應(yīng)選(B).僅與x軸相交一次,故方程有且僅有函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增,在區(qū)間A.無實根;C.有兩個實根;方程內(nèi)().BB.有唯一實根;D.有三個實根.②又由于機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)由于因此曲線一個實根,應(yīng)選(B).僅與x軸相交一次,故方程有且僅有函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減,在區(qū)間A.無實根;C.有兩個實根;方程內(nèi)().BB.有唯一實根;D.有三個實根.3、又由于機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)由于因此曲線一個實根,應(yīng)選(B).僅與x軸相交一次,故方程有且僅有函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增,在區(qū)間A.無實根;C.有兩個實根;方程內(nèi)().BB.有唯一實根;D.有三個實根.4、又由于機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值例11.①的單調(diào)減少區(qū)間是_______解：令得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2、的單調(diào)減少區(qū)間是_______解：令得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.解:令得極大值為極大值.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束4、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.解:令得極小值為極小值.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束5、求由方程確定的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解:方程兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得令得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增,內(nèi)單調(diào)減.函數(shù)在區(qū)間和6、設(shè)函數(shù)由方程所確定,試求的駐點,并判別它是否為極值點.方程兩邊對x求導(dǎo)數(shù):解:令得代入原方程得:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束即有:所以是唯一的駐點.又由于:而所以是極小值點.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束四.曲線的凹凸性和拐點例12.①曲線在().A.是凹的，在內(nèi)是凸的B.是凸的，在內(nèi)是凹的C.是凸的，在內(nèi)是凹的D.是凹的，在內(nèi)是凸的解：令得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束凸弧凹弧應(yīng)選(B).拐點②在區(qū)間上的凹凸性為_____曲線凹弧.解:應(yīng)填:凹弧.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束五、極值與最值.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1、在區(qū)間的極值與最值.求函數(shù)解:極小值極小值為令得比較得：最小值為-61，最大值為-29第四章一.不定積分的換元積分法和分部積分法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束按“反,對,冪,指,三”的順序,排前者取為u,

第一類換元法

第二類換元法(代換:)(注意常見的換元積分類型)

分部積分法求1、解：求2、解：u

v

求3、解：u

v

4、應(yīng)填:解:原式=5、已知的一個原函數(shù)為求解：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束6、已知的一個原函數(shù)為求解：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二.有理函數(shù)的積分例14.①解:設(shè)則有:原式比較系數(shù)可得：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五章一.變限積分函數(shù)的求導(dǎo)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例15.①設(shè)函數(shù)則B.C.D.CA.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2、求極限法1：法2：二.定積分的計算及對稱區(qū)間上“偶倍奇零”等技巧的應(yīng)用例16.①求解：湊微分不換限②計算解:原式=令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束③定積分(A)設(shè)函數(shù)的值等于().(B)(C)(D)由于被積函數(shù)為奇函數(shù),積分區(qū)間關(guān)于原點對稱,A根據(jù)定積分的性質(zhì),此積分值為零,故應(yīng)選(A).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束④5、計算定積分解:原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三.證明積分等式例16.①設(shè)函數(shù)在上連續(xù),試證明并求證:令移項后可得:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例.若試證明例.設(shè)是以l為周期的連續(xù)函數(shù),試證明四.無窮區(qū)間的反常積分例17.①解:例.

證明

n

為偶數(shù)

n

為奇數(shù)②求解：=1機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第六章一.直角坐標系中平面圖形的面積的求法注1：當由曲線（與大小關(guān)系不定)，以及直線所圍成的圖形的面積為注2：當由曲線（與大小關(guān)系不定)，以及直線所圍成圖形的面積為1、當考慮由連續(xù)曲線段周所圍成的立體,2、當考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,二、旋轉(zhuǎn)體體積的求法旋轉(zhuǎn)一三、平面曲線的弧長1.曲線弧由直角坐標方程給出:2.曲線弧由參數(shù)方程給出:例18.①求上點處切線與拋物線圍成的平面的平面圖形的面積解：曲線在點處的切線方程為為確定積分限,解方程組交點為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2、求及其在點處的法線所圍成的圖機動目錄上頁下頁返回結(jié)束形的面積3、求及直線所圍成的圖形繞x軸機動目錄上頁下頁返回結(jié)束旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積解：②設(shè)直線與拋物線的面積為且它們與直線所圍成的面積為(1)試確定a的值,使得并求出最小值;(2)求該最小值所對應(yīng)的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.所圍成達到最小,解:(1)依題意畫如下:為確定積分限,解方程組解得:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令解得(唯一駐點)面積的最小值為:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)機動目錄上頁下頁