四川省自貢市富順縣二中2022-2023學年數(shù)學高一第二學期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023學年高一下數(shù)學期末模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若a＜b＜0，則下列不等式關系中，不能成立的是（）A． B． C． D．2．已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為6，圓心角為的扇形，則圓錐的高為（）A． B． C． D．53．已知兩點,,若直線與線段相交,則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．4．已知函數(shù),若使得在區(qū)間上為增函數(shù)的整數(shù)有且僅有一個,則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．5．已知，，則（）A． B． C． D．6．函數(shù)的最小正周期是（）A． B． C． D．7．在中，角均為銳角，且，則的形狀是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形8．將函數(shù)y=2sinx+π3sinA．π6 B．π12 C．π9．《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，若三棱錐為鱉臑，平面，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（）A． B． C． D．10．函數(shù)的最小正周期是()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．甲、乙兩人要到某地參加活動，他們都隨機從火車、汽車、飛機三種交通工具中選擇一種，則他們選擇相同交通工具的概率為_________.12．一湖中有不在同一直線的三個小島A、B、C，前期為開發(fā)旅游資源在A、B、C三島之間已經建有索道供游客觀賞，經測量可知AB兩島之間距離為3公里，BC兩島之間距離為5公里，AC兩島之間距離為7公里，現(xiàn)調查后發(fā)現(xiàn)，游客對在同一圓周上三島A、B、C且位于（優(yōu)?。┮黄娘L景更加喜歡，但由于環(huán)保、安全等其他原因，沒辦法盡可能一次游覽更大面積的湖面風光，現(xiàn)決定在上選擇一個點D建立索道供游客游覽，經研究論證為使得游覽面積最大，只需使得△ADC面積最大即可.則當△ADC面積最大時建立索道AD的長為______公里.（注：索道兩端之間的長度視為線段）13．函數(shù)的零點個數(shù)為__________．14．已知直線與相互垂直，且垂足為，則的值為______.15．在空間直角坐標系中，三棱錐的各頂點都在一個半徑為的球面上，為球心，，，，，則球的體積與三棱錐的體積之比是_____.16．當時，不等式成立，則實數(shù)k的取值范圍是______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓：與圓：．（1）求兩圓的公共弦長；（2）過平面上一點向圓和圓各引一條切線，切點分別為，設，求證：平面上存在一定點使得到的距離為定值，并求出該定值．18．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點，且PA=AD．（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求證：平面PEC⊥平面PCD．19．如圖所示，在平面直角坐標系中，銳角、的終邊分別與單位圓交于，兩點，點.（1）若點，求的值：（2）若，求.20．如圖，已知四棱錐的側棱底面，且底面是直角梯形，，，，，，點在棱上，且.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.21．已知數(shù)列的首項，其前n項和為滿足.（1）數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和表達式.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據的單調性，可知成立，不成立；根據和的單調性，可知成立.【詳解】在上單調遞減，成立又，不成立在上單調遞增，成立在上單調遞減，成立故選：【點睛】本題考查利用函數(shù)單調性比較大小的問題，關鍵是能夠建立起合適的函數(shù)模型，根據自變量的大小關系，結合單調性得到結果.2、C【解析】

利用扇形的弧長為底面圓的周長求出后可求高.【詳解】因為側面展開圖是一個半徑為6，圓心角為的扇形，所以圓錐的母線長為6，設其底面半徑為，則，所以，所以圓錐的高為，選C【點睛】圓錐的側面展開圖是扇形，如果圓錐的母線長為，底面圓的半徑長為，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)為.3、D【解析】

找出直線與PQ相交的兩種臨界情況，求斜率即可.【詳解】因為直線恒過定點，根據題意，作圖如下：直線與線段PQ相交的臨界情況分別為直線MP和直線MQ，已知，，由圖可知：當直線繞著點M向軸旋轉時，其斜率范圍為：；當直線與軸重合時，沒有斜率；當直線繞著點M從軸至MP旋轉時，其斜率范圍為：綜上所述：，故選：D.【點睛】本題考查直線斜率的計算，直線斜率與傾斜角的關系，屬基礎題.4、A【解析】

根據在區(qū)間上為增函數(shù)的整數(shù)有且僅有一個,結合正弦函數(shù)的單調性,即可求得答案.【詳解】,使得在區(qū)間上為增函數(shù)可得當時，滿足整數(shù)至少有,舍去當時，，要使整數(shù)有且僅有一個,須,解得:實數(shù)的取值范圍是.故選:A．【點睛】本題主要考查了根據三角函數(shù)在某區(qū)間上單調求參數(shù)值,解題關鍵是掌握正弦型三角函數(shù)單調區(qū)間的解法和結合三角函數(shù)圖象求參數(shù)范圍,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.5、A【解析】

由，代入運算即可得解.【詳解】解：因為，，所以.故選：A.【點睛】本題考查了兩角差的正切公式，屬基礎題.6、C【解析】

將函數(shù)化為，再根據周期公式可得答案.【詳解】因為=，所以最小正周期.故選：C【點睛】本題考查了兩角和的正弦公式的逆用，考查了正弦型函數(shù)的周期公式，屬于基礎題.7、C【解析】，又角均為銳角，則，，且中，，的形狀是鈍角三角形，故選C.【方法點睛】本題主要考查利用誘導公式、正弦函數(shù)的單調性以及判斷三角形形狀，屬于中檔題.判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行判斷；（3）根據余弦定理確定一個內角為鈍角進而知其為鈍角三角形.8、B【解析】

由誘導公式將函數(shù)化簡成y=sin(2x+2π3)【詳解】∵(x+π∴sin∴y=2sinx+πy=sin∵平移后的函數(shù)恰為偶函數(shù)，∴x=0為其對稱軸，∴x=0時，y=±1，∴-2φ+2π3=kπ+∵φ>0,∴k=0時，φmin【點睛】通過恒等變換把函數(shù)變成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式，再研究三角函數(shù)的性質是三角函數(shù)題常見解題思路；三角函數(shù)若為偶函數(shù)，則該條件可轉化為直線x=0為其中一條對稱軸，從而在9、C【解析】由題意，PA⊥面ABC，則為直角三角形，PA=3,AB=4，所以PB=5，又△ABC是直角三角形，所以∠ABC=90°,AB=4，AC=5所以BC=3,因為為直角三角形，經分析只能，故，三棱錐的外接球的圓心為PC的中點，所以則球的表面積為.故選C.10、A【解析】

作出函數(shù)的圖象可得出該函數(shù)的最小正周期?！驹斀狻孔鞒龊瘮?shù)的圖象如下圖所示，由圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，故選：A?！军c睛】本題考查三角函數(shù)周期的求解，一般而言，三角函數(shù)最小正周期的求解方法有如下幾種：（1）定義法：即；（2）公式法：當時，函數(shù)或的最小正周期為，函數(shù)最小正周期為；（3）圖象法。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用古典概型的概率求解.【詳解】甲、乙兩人選擇交通工具總的選擇有種，他們選擇相同交通工具有3種情況，所以他們選擇相同交通工具的概率為．故答案為：．【點睛】本題考查古典概型，要用計數(shù)原理進行計數(shù)，屬于基礎題．12、【解析】

根據題意畫出草圖，根據余弦定理求出的值，設點到的距離為，可得，分析可知取最大時，取最大值，然后再對為中點和不是中點兩種情況分析，可得的最大值為，然后再根據圓的有關性質和正弦定理，即可求出結果．【詳解】根據題意可作出及其外接圓，連接，交于點，連接，如下圖：在中，由余弦定理,由為的內角，可知，所以.設的半徑為，點到的距離為，點到的距離為，則,故取最大時，取最大值.①當為中點時，由垂徑定理知，即，此時，故；②當不是中點時，不與垂直，設此時與所成角為，則，故；由垂線段最短知，此時;綜上，當為中點時，到的距離最大，最大值為；由圓周角定理可知，,由垂徑定理知，此時點為優(yōu)弧的中點，故，則，在中，由正弦定理得所以.所以當△ADC面積最大時建立索道AD的長為公里.故答案為：．【點評】本題考查了正弦定理、余弦定理在解決實際問題中的應用，屬于中檔題．13、3【解析】

運用三角函數(shù)的誘導公式先將函數(shù)化簡，再在同一直角坐標系中做出兩支函數(shù)的圖像，觀察其交點的個數(shù)即得解.【詳解】由三角函數(shù)的誘導公式得，所以令，求零點的個數(shù)轉化求方程根的個數(shù)，因此在同一直角坐標系分別做出和的圖象，觀察兩支圖象的交點的個數(shù)為個，注意在做的圖像時當時，,故得解.【點睛】本題考查三角函數(shù)的有界性和余弦函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的交點情況，屬于中檔題.14、【解析】

先由兩直線垂直，可求出的值，將垂足點代入直線的方程可求出的點，再將垂足點代入直線的方程可求出的值，由此可計算出的值.【詳解】，，解得，直線的方程為，即，由于點在直線上，，解得，將點的坐標代入直線的方程得，解得，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查了由兩直線垂直求參數(shù)，以及由兩直線的公共點求參數(shù)，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題.15、【解析】

首先根據坐標求出三棱錐的體積，再計算出球的體積即可.【詳解】有題知建立空間直角坐標系，如圖所示由圖知：平面，...故答案為：【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球，根據題意建立空間直角坐標系為解題的關鍵，屬于中檔題.16、k∈（﹣∞，1]【解析】

此題先把常數(shù)k分離出來，再構造成再利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，使其最小值大于等于k即可．【詳解】由題意知：∵當0≤x≤1時（1）當x＝0時，不等式恒成立k∈R（2）當0＜x≤1時，不等式可化為要使不等式恒成立，則k成立令f（x）x∈（0，1]即f'（x）再令g（x）g'（x）∵當0＜x≤1時，g'（x）＜0∴g（x）為單調遞減函數(shù)∴g（x）＜g（0）＝0∴f'（x）＜0即函數(shù)f（x）為單調遞減函數(shù)所以f（x）min＝f（1）＝1即k≤1綜上所述，由（1）（2）得k≤1故答案為：k∈（﹣∞，1]．【點睛】本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題型．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）把兩圓方程相減得到公共弦所在直線方程，再根據點到直線距離公式與圓的垂徑定理求兩圓的公共弦長；（2）根據圓的切線長與半徑的關系代入化簡即可得到點的軌跡方程，進而求解.【詳解】解：（1）由，相減得兩圓的公共弦所在直線方程為：，設(0,0)到的距離為，則所以，公共弦長為所以，公共弦長為.（2）證明：由題設得：化簡得：配方得：所以，存在定點使得到的距離為定值，且該定值為.【點睛】本題主要考查圓的應用.求兩圓的公共弦關鍵在求公共弦所在直線方程；求動點與定點距離問題，首先要求出動點的軌跡方程.18、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）取PC的中點G，連結FG、EG，AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE，AF∥平面PCE；（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需證明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．【詳解】證明：（Ⅰ）取PC的中點G，連結FG、EG，∴FG為△CDP的中位線，F(xiàn)G∥CD，F(xiàn)G=CD．∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點，∴AE∥CD，AE=CD．∴FG=AE，F(xiàn)G∥AE，∴四邊形AEGF是平行四邊形，∴AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE，∴AF∥平面PCE；（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又因為CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC又EG?平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．【點睛】本題考查了空間線面平行、面面垂直的判定，屬于中檔題．19、(1)(2)【解析】

（1）根據計算，，代入公式得到答案.（2）根據,得到，根據計算得到答案.【詳解】解：（1）因為是銳角，且，在單位圓上，所以，，，∴（2）因為，所以，且，所以，，可得：，且，所以，.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的計算，意在考查學生對于三角函數(shù)定義的理解和應用.20、（1）見證明；（2）4【解析】

（1）取的三等分點，使，證四邊形為平行四邊形，運用線面平行判定定理證明.（2）三棱錐的體積可以用求出結果.【詳解】（1）證明：取的三等分點，使，連接，.因為，，所以，.因為，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）解：因為，，所以的面積為，因為底面，所以三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為.因為，所以三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為，故三棱錐的體積為.【點