數(shù)建模培訓(xùn)最優(yōu)化

數(shù)建模培訓(xùn)最優(yōu)化第1頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月提要12幾類典型優(yōu)化問題及其軟件解法3舉例4最優(yōu)化概論MATLAB優(yōu)化工具箱簡(jiǎn)介第2頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)化概論當(dāng)今，“優(yōu)化”無疑是一個(gè)熱門詞。做宏觀經(jīng)濟(jì)規(guī)劃要優(yōu)化資源配置，搞企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理要優(yōu)化生產(chǎn)計(jì)劃，作新產(chǎn)品設(shè)計(jì)要優(yōu)化性能成本比。就是在人們的日常生活中，優(yōu)化的要求也比比皆是，消費(fèi)時(shí)，如何花盡可能少的錢辦盡可能多的事，出行時(shí)，如何走最短的路程到達(dá)目的地，等等?？偠灾诮?jīng)濟(jì)如此發(fā)展，競(jìng)爭(zhēng)如此劇烈，資源日漸緊張的今天，人們做任何事，無不望求事半功倍之術(shù)，以求或提效、或增收、或節(jié)約等等之目標(biāo)。第3頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月一、最優(yōu)化概念所有類似的這種課題統(tǒng)稱為最優(yōu)化問題，研究解決這些問題的科學(xué)一般就總稱之為最優(yōu)化理論和方法。另外也可用學(xué)術(shù)味更濃的名稱：“運(yùn)籌學(xué)”。由于最優(yōu)化問題背景十分廣泛，涉及的知識(shí)不盡相同，學(xué)科分枝很多，因此這個(gè)學(xué)科名下到底包含哪些分枝，其說法也不一致。比較公認(rèn)的是：“規(guī)劃論”（包括線性和非線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃和隨機(jī)規(guī)劃等），“組合最優(yōu)化”，“對(duì)策論”及“最優(yōu)控制”等等。第4頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的優(yōu)化問題2000B鋼管訂購(gòu)和運(yùn)輸問題—二次規(guī)劃2001B公交車優(yōu)化調(diào)度2001C基金使用的最優(yōu)策略-----線性規(guī)劃2002B彩票中的數(shù)學(xué)2003B露天礦生產(chǎn)的車輛安排問題

2004A奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)問題

2004D公務(wù)員招聘工作中錄用方案—多目標(biāo)規(guī)劃2005BDVD在線租賃2006A出版社的資源配置問題

2007A乘公交，看奧運(yùn)

2008B高等教育學(xué)費(fèi)探討2009B眼科病床的合理安排

第5頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中的優(yōu)化問題2002B，彩票中的數(shù)學(xué)—約束非線性規(guī)劃第6頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月從數(shù)學(xué)上來看，所謂最優(yōu)化問題可以概括為這樣一種數(shù)學(xué)模型：給定一個(gè)“函數(shù)”，F(xiàn)(X)，以及“自變量”X應(yīng)滿足的一定條件，求X為怎樣的值時(shí)，F(xiàn)(X)取得其最大值或最小值。通常，稱F(X)為“目標(biāo)函數(shù)”，X應(yīng)滿足的條件為“約束條件”。約束條件一般用一個(gè)集合D表示為：X∈D。求目標(biāo)函數(shù)F(X)在約束條件X∈D下的最小值或最大值問題，就是一般最優(yōu)問題的數(shù)學(xué)模型．第7頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月無約束最優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)二、最優(yōu)化問題的一般形式約束最優(yōu)化問題約束函數(shù)最優(yōu)解；最優(yōu)值第8頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月三、最優(yōu)化問題分類分類1：無約束最優(yōu)化約束最優(yōu)化

非線性規(guī)劃：目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)中至少有一個(gè)是變量x的非線性函數(shù)；

線性規(guī)劃：目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)均為線性函數(shù)；分類2：線性規(guī)劃非線性規(guī)劃第9頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月三、最優(yōu)化問題分類(續(xù)）分類3（根據(jù)決策變量、目標(biāo)函數(shù)和要求不同）整數(shù)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃隨機(jī)規(guī)劃幾何規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃第10頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月三、最優(yōu)化問題分類(續(xù)）函數(shù)最優(yōu)化組合最優(yōu)化分類４函數(shù)最優(yōu)化：決策變量是一定區(qū)間內(nèi)的連續(xù)變量．組合最優(yōu)化：決策變量是離散狀態(tài)，同時(shí)可行域是由有限個(gè)點(diǎn)組成的集合典型組合優(yōu)化問題：旅行商問題；加工調(diào)度問題；0-1背包問題；圖著色問題第11頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月四、求解最優(yōu)化問題的方法（1）傳統(tǒng)優(yōu)化方法-----基于導(dǎo)數(shù)的優(yōu)化方法

無約束規(guī)劃：梯度法、共軛梯度法、擬牛頓法

約束規(guī)劃：序列二次規(guī)劃法，罰函數(shù)法

線性規(guī)劃：?jiǎn)渭冃畏椒ǖ龋?）現(xiàn)代優(yōu)化方法-----智能優(yōu)化方法

遺傳算法，模擬退火法，蟻群算法，粒子群算法神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，禁忌搜索算法等

為了使系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)的目標(biāo)所提出的各種求解方法稱為最優(yōu)化方法。第12頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)化方法通常采用迭代法求最優(yōu)解，過程是：五、構(gòu)造數(shù)值優(yōu)化算法的一般過程或迭代公式第13頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月六、最優(yōu)化方法的基本結(jié)構(gòu)第14頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月七、搜索算法結(jié)構(gòu)框圖線性搜索求，使x(k+1)∈S初始x(1)∈S,k=1對(duì)x(k)點(diǎn)選擇下降可行方向d(k)是否滿足停機(jī)條件？停k=k+1YesNo第15頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月八、最優(yōu)化方法解決問題的步驟（1）確定變量，寫出目標(biāo)函數(shù)和有關(guān)約束條件，建立數(shù)學(xué)模型。（2）分析模型，搞清它屬于運(yùn)籌學(xué)哪一分枝，選擇合適的最優(yōu)化方法；（3）編程求解；盡量利用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)軟件或最優(yōu)化軟件，比如Matlab，Mathematica，Lindo，Lingo等，來計(jì)算。（4）最優(yōu)解的驗(yàn)證和實(shí)施。第16頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月九、MATLAB優(yōu)化工具箱簡(jiǎn)介

1.功能（1）求解無約束條件非線性極小值；（2）求解約束條件下非線性極小值，包括目標(biāo)逼近問題、極大-極小值問題和半無限極小值問題；（3）求解二次規(guī)劃和線性規(guī)劃問題；（4）非線性最小二乘逼近和曲線擬合；（5）非線性系統(tǒng)的方程求解；（6）約束條件下的線性最小二乘優(yōu)化；（7）求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)的大規(guī)模優(yōu)化問題。第17頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月2.常用函數(shù)：

一元函數(shù)極小值X=fminbnd(‘F’,x1,x2,

options)無約束極小值X=fminunc(‘F’,X0,

options)X=fminsearch(‘F’,X0,

options)線性規(guī)劃

X=linprog(c,A,b,

options)0-1整數(shù)規(guī)劃X=bintprog(F,

options)二次規(guī)劃X=quadprog(H,c,A,b,

options)約束非線性規(guī)劃極小值X=fmincon(‘FG’,X0,

options)非線性最小二乘X=lsqnonlin(F,X0,

options)目標(biāo)達(dá)到問題X=fgoalattain(‘F’,x,goal,w)極小極大問題X=fminimax(‘FG’,x0)第18頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月3.Options選項(xiàng)說明輸入?yún)?shù)中可以用options，用于所有函數(shù)，其中包括有一下參數(shù)。（1）Display：結(jié)果顯示方式，off不顯示，iter顯示每次迭代的信息，final為最終結(jié)果，notify只有當(dāng)求解不收斂的時(shí)候才顯示結(jié)果。（2）MaxFunEvals：允許函數(shù)計(jì)算的最大次數(shù)，取值為正整數(shù)。（3）MaxIter：允許迭代的最大次數(shù)，正整數(shù)。（4）TolFun：函數(shù)值（計(jì)算結(jié)果）精度，正整數(shù)。（5）TolX：自變量的精度，正整數(shù)。而且可以用函數(shù)optimset創(chuàng)建和修改。第19頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月4.輸出變量說明變量描述調(diào)用函數(shù)x由優(yōu)化函數(shù)求得的值.若exitflag>0,則x為解;否則,x不是最終解,它只是迭代制止時(shí)優(yōu)化過程的值所有優(yōu)化函數(shù)fval解x處的目標(biāo)函數(shù)值linprog,quadprog,fgoalattain,fmincon,fminimax,lsqcurvefit,lsqnonlin,fminbndexitflag描述退出條件:exitflag>0,表目標(biāo)函數(shù)收斂于解x處exitflag=0,表已達(dá)到函數(shù)評(píng)價(jià)或迭代的最大次數(shù)exitflag<0,表目標(biāo)函數(shù)不收斂output包含優(yōu)化結(jié)果信息的輸出結(jié)構(gòu).Iterations:迭代次數(shù)Algorithm:所采用的算法FuncCount:函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)所有優(yōu)化函數(shù)第20頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月2014數(shù)模競(jìng)賽培訓(xùn)幾類典型最優(yōu)化問題及軟件解法第21頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月線性規(guī)劃問題及其MATLAB解法1.線性規(guī)劃的一般形式或第22頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月線性規(guī)劃問題及其MATLAB解法2.線性規(guī)劃的matlab解法問題形式1：minz=CTxS.t.Ax≤b指令：（x，z）=linprog(f,A,b)問題形式2：minz=CTxS.t.Ax≤bAeqx=beq指令：（x，z）=linprog(f,A,b,Aeq,beq)第23頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月線性規(guī)劃問題及其MATLAB解法問題形式3：minz=CTxS.t.Ax≤bAeqx=beqlb≤x≤ub指令：（x，z）=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)注：

若沒有不等式約束,可用[]替代A和b,

若沒有等式約束,可用[]替代Aeq和beq,

若某個(gè)xi下無界或上無界,可設(shè)定-inf或inf；第24頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月x1+x2

5,-6

x1

10,

-1

x24;例:minZ=4x1

+3x2s.t.解：程序如下c=[4,3];a=[1,1];b=[5];vlb=[-6;-1];

%lowerboundofvector

x%vub=[10;4];%upperboundofvectorx%[X,z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub)第25頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月1.整數(shù)線性規(guī)劃一般形式依照決策變量取整要求的不同，整數(shù)規(guī)劃可分為純整數(shù)規(guī)劃、混合整數(shù)規(guī)劃、0－1整數(shù)規(guī)劃。整數(shù)線性規(guī)劃(ILP)及其lindo解法部分或者全部為整數(shù)第26頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月2、整數(shù)規(guī)劃的計(jì)算機(jī)求解方法

目前，求解整數(shù)規(guī)劃模型的現(xiàn)成數(shù)學(xué)軟件有：Lindo,Lingo和Matlab,其中Lindo和Lingo是專業(yè)的優(yōu)化軟件.

LINDO公司軟件產(chǎn)品是美國(guó)芝加哥(Chicago)大學(xué)的LinusSchrage教授于1980年前后開發(fā),后來成立LINDO系統(tǒng)公司（LINDOSystemsInc.）。網(wǎng)址：

第27頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月LP問題的Lindo輸入范例MAX3x1+2x2ST2)X1<43)X2<34)2x1+3x2<12END注：Lindo中已規(guī)定所有決策變量均非負(fù)，故非負(fù)約束不用輸入；乘號(hào)省略，式中不能有括號(hào)，右邊不能有數(shù)學(xué)符號(hào)；<=，>=與<，>等效；2），3），4）是為了便于從結(jié)果中查找信息和進(jìn)行靈敏性分析；程序以end結(jié)束。第28頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月ILP問題的Lindo輸入范例之一MAX3x1+2x2ST2)X1<43)X2<34)2x1+3x2<12ENDGIN2(!表示前兩個(gè)變量為一般整數(shù))第29頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月ILP問題的Lindo輸入范例之二MAX3x1+2x2ST2)X1<43)X2<34)2x1+3x2<12ENDINT2(!表示前兩個(gè)變量為0-1整數(shù))第30頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月ILP問題的Lingo輸入范例一MAX=3*x1+2*x2;STX1<4;X2<3;2*x1+3*x2<12;@GIN(X1);@GIN(X2);第31頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月ILP問題的Lingo輸入范例之二max3x1+2x2s.t.X1<4X2<32x1+3x2<12@bin(x1);@bin(x2);

(!x1,x2為0-1變量)第32頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月使用LINDO的一些注意事項(xiàng)“>”（或“<”）號(hào)與“>=”（或“<=”）功能相同變量與系數(shù)間可有空格(甚至回車),但無運(yùn)算符變量名以字母開頭，不能超過8個(gè)字符變量名不區(qū)分大小寫（包括LINDO中的關(guān)鍵字）目標(biāo)函數(shù)所在行是第一行，第二行起為約束條件行號(hào)(行名)自動(dòng)產(chǎn)生或人為定義。行名以“）”結(jié)束行中注有“!”符號(hào)的后面部分為注釋。如:

!It’sComment.在模型的任何地方都可以用“TITLE”對(duì)模型命名（最多72個(gè)字符），如：

TITLEThisModelisonlyanExample第33頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月變量不能出現(xiàn)在一個(gè)約束條件的右端表達(dá)式中不接受括號(hào)“()”和逗號(hào)“,”等任何符號(hào),例:400(X1+X2)需寫為400X1+400X2表達(dá)式應(yīng)化簡(jiǎn)，如2X1+3X2-4X1應(yīng)寫成-2X1+3X2缺省假定所有變量非負(fù)；可在模型的“END”語句后用“FREEname”將變量name的非負(fù)假定取消可在“END”后用“SUB”或“SLB”設(shè)定變量上下界例如：“subx110”的作用等價(jià)于“x1<=10”

但用“SUB”和“SLB”表示的上下界約束不計(jì)入模型的約束，也不能給出其松緊判斷和敏感性分析。14.“END”后對(duì)0-1變量說明：INTn

或INTname15.“END”后對(duì)整數(shù)變量說明：GINn

或GINname使用LINDO的一些注意事項(xiàng)第34頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月二次規(guī)劃及其MATLAB求解方法二次規(guī)劃形如當(dāng)A為半正定矩陣時(shí)，（QP）為凸二次規(guī)劃；當(dāng)A為正定矩陣時(shí)，（QP）為嚴(yán)格凸二次規(guī)劃。（QP）第35頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月用MATLAB優(yōu)化工具包求解二次規(guī)劃時(shí)必須先化為如下形式：(QP)求解二次規(guī)劃的MATLAB指令求解程序名為quadprog。最簡(jiǎn)單的調(diào)用格式為：x=quadprog(H,c,A1,b1)

（用于不含有等式約束和上下解約束的問題）；最復(fù)雜的調(diào)用格式為：[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,c,A1,b1,A2,b2,v1,v2,x0,options)第36頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月多目標(biāo)規(guī)劃及其求解方法多目標(biāo)規(guī)劃的一般形式則稱為線性多目標(biāo)規(guī)劃。其中x=(x1,x2,…,xn)為一個(gè)n維向量；fi(x)為目標(biāo)函數(shù)，hj(x)

gi(x)為約束函數(shù)。第37頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月求解多目標(biāo)規(guī)劃的方法1、降維法，即把多目標(biāo)化為比較容易求解的單目標(biāo)或雙目標(biāo)，如主要目標(biāo)法、線性加權(quán)法、極大極小法、理想點(diǎn)法等；2、分層序列法，即把目標(biāo)按其重要性給出一個(gè)序列，每次都在前一目標(biāo)最優(yōu)解集內(nèi)求下一個(gè)目標(biāo)最優(yōu)解，直到求出共同的最優(yōu)解。3、層次分析法，是由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家沙旦于70年代提出的，這是一種定性與定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策與分析方法，對(duì)于目標(biāo)結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)的情況更為實(shí)用。第38頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月主要目標(biāo)法

其基本思想是：在多目標(biāo)問題中，根據(jù)問題的實(shí)際情況，確定一個(gè)目標(biāo)為主要目標(biāo)，而把其余目標(biāo)作為次要目標(biāo)，并且根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，選取一定的界限值。這樣就可以把次要目標(biāo)作為約束來處理，于是就將原來的多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)在新的約束下的單目標(biāo)最優(yōu)化問題。

第39頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月線性加權(quán)法

其基本思想是：按照多目標(biāo)fi(x)(i=1,2,…,m)的重要程度，分別乘以一組權(quán)系數(shù)λj(j=1,2,…,m)然后相加作為目標(biāo)函數(shù)而構(gòu)成單目標(biāo)規(guī)劃問題。即其中第40頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月極大極小法

其基本思想是：對(duì)于極小化的多目標(biāo)規(guī)劃，讓其中最大的目標(biāo)函數(shù)值盡可能地小.為此，對(duì)每個(gè)x∈R，我們先求諸目標(biāo)函數(shù)值fi(x)的最大值，然后再求這些最大值中的最小值。即構(gòu)造單目標(biāo)規(guī)劃：第41頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月為權(quán)值系數(shù)向量。于是多目標(biāo)規(guī)劃問題化為：

理想點(diǎn)法

對(duì)于多目標(biāo)規(guī)劃：s.tgj(x)≤0j=1,2,…,n先設(shè)計(jì)與目標(biāo)函數(shù)相應(yīng)的一組目標(biāo)值理想化向量

再設(shè)γ為一松弛因子標(biāo)量。設(shè)

第42頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月在Matlab的優(yōu)化工具箱中，fgoalattain函數(shù)用于解決此類問題。其數(shù)學(xué)模型形式為：

minγ F(x)-weight·γ≤goal c(x)≤0非線性不等式約束

ceq(x)=0非線性等式約束

Ax≤b線性不等式約束

Aeqx=beq線性等式約束

lb≤x≤ub

其中，x,weight,goal,b,beq,lb和ub為向量，A和Aeq為矩陣，c(x),ceq(x)和F(x)為函數(shù)第43頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月調(diào)用格式：x=fgoalattain(F,x0,goal,weight)[x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda]=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)說明：F為目標(biāo)函數(shù)；x0為初值；goal為F達(dá)到的指定目標(biāo)；weight為參數(shù)指定權(quán)重；A、b為線性不等式約束的矩陣與向量；Aeq、beq為等式約束的矩陣與向量；lb、ub為變量x的上、下界向量；nonlcon為定義非線性不等式約束函數(shù)c(x)和等式約束函數(shù)ceq(x)；options中設(shè)置優(yōu)化參數(shù)。x返回最優(yōu)解；fval返回解x處的目標(biāo)函數(shù)值；attainfactor返回解x處的目標(biāo)達(dá)到因子；exitflag描述計(jì)算的退出條件；output返回包含優(yōu)化信息的輸出參數(shù)；lambda返回包含拉格朗日乘子的參數(shù)。第44頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：投資組合模型市場(chǎng)上有n種資產(chǎn)Si(i=1,2,…,n)可以選擇，現(xiàn)用數(shù)額為M的相當(dāng)大的資金作一個(gè)時(shí)期的投資。財(cái)務(wù)人員分析估算出這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買Si的平均收益率為ri,風(fēng)險(xiǎn)損失率為qi,在多項(xiàng)投資組合中，總體風(fēng)險(xiǎn)可用投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量。購(gòu)買Si時(shí)要付交易費(fèi)，費(fèi)率pi(不買無須付費(fèi)).當(dāng)購(gòu)買額不超過給定值ui時(shí)，交易費(fèi)按購(gòu)買ui計(jì)算.另外，假定同期銀行存款利率是r0,既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。(r0=5%)第45頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月SiriqipiuiS1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定達(dá)到資金M,有選擇地購(gòu)買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，使總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。已知n=4時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:第46頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月基本假設(shè)1.投資數(shù)額M相當(dāng)大,為了便于計(jì)算，假設(shè)M=1;2.投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越??；3.總體風(fēng)險(xiǎn)Si用投資項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量；4.n種資產(chǎn)Si之間是相互獨(dú)立的；5.在投資的這一時(shí)期內(nèi),ri,pi,qi,r0為定值，不受意外因素影響；6.凈收益和總體風(fēng)險(xiǎn)只受ri,pi,qi影響，不受其他因素干擾。第47頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月符號(hào)規(guī)定Si——第i種投資項(xiàng)目，如股票，債券ri,pi,qi——分別為Si的平均收益率,風(fēng)險(xiǎn)損失率，交易費(fèi)率ui——Si的交易定額,r0——同期銀行利率xi——投資項(xiàng)目Si的資金,a

——投資風(fēng)險(xiǎn)度Q——總體收益,?Q——總體收益的增量第48頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月

模型的建立與分析1.總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來衡量,即max{qixi|i=1，2,…n}2．購(gòu)買Si所付交易費(fèi)是一個(gè)分段函數(shù),即

pixixi>ui

交易費(fèi)=piuixi≤ui而題目所給定的定值ui(單位:元)相對(duì)總投資M很小,piui更小,可以忽略不計(jì),這樣購(gòu)買Si的凈收益為(ri-pi)xi第49頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月凈收益盡可能大建立模型總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小多目標(biāo)規(guī)劃問題第50頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月采用主要目標(biāo)法化為單目標(biāo)規(guī)劃

方法一.

固定風(fēng)險(xiǎn)水平，優(yōu)化收益

在實(shí)際投資中，投資者承受風(fēng)險(xiǎn)的程度不一樣，若給定風(fēng)險(xiǎn)一個(gè)界限a，使最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)qixi/M≤a，可找到相應(yīng)的投資方案。

模型一線性規(guī)劃模型第51頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月若投資者希望總盈利至少達(dá)到水平k以上，在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下尋找相應(yīng)的投資組合。

模型二線性規(guī)劃模型方法二：固定盈利水平，極小化風(fēng)險(xiǎn)第52頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月采用線性加權(quán)法化為單目標(biāo)規(guī)劃

投資者在權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益兩方面時(shí)，希望選擇一個(gè)令自己滿意的投資組合。因此對(duì)風(fēng)險(xiǎn)、收益賦予權(quán)重s（0＜s≤1)，s稱為投資偏好系數(shù).

模型三線性規(guī)劃模型第53頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月模型一的求解

將具體數(shù)據(jù)代入,模型一如下:

由于a是任意給定的風(fēng)險(xiǎn)度，到底怎樣給定沒有一個(gè)準(zhǔn)則，不同的投資者有不同的風(fēng)險(xiǎn)度。我們從a=0開始，以步長(zhǎng)△a=0.001進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：第54頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月a=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')，axis([00.100.5])，holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')第55頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算結(jié)果：風(fēng)險(xiǎn)大，收益也大。曲線上的任一點(diǎn)表示該風(fēng)險(xiǎn)水平的最大可能收益。對(duì)于不同風(fēng)險(xiǎn)的承受能力，選擇該風(fēng)險(xiǎn)水平下的最優(yōu)投資組合。第56頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月在a=0.006附近有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在這一點(diǎn)左邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很少時(shí)，利潤(rùn)增長(zhǎng)很快。在這一點(diǎn)右邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很大時(shí)，利潤(rùn)增長(zhǎng)很緩慢，所以對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇曲線的拐點(diǎn)作為最優(yōu)投資組合，大約是：a*=0.6%，Q*=20%。

此時(shí)所對(duì)應(yīng)投資方案為:

風(fēng)險(xiǎn)度=0.0060；收益=0.2019；

x0=0，x1=0.2400，x2=0.4000，x3=0.1091，x4=0.2212第57頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月約束非線性規(guī)劃一般形式：

其中，f(x)為多元實(shí)值函數(shù);g(x)，ceq(x)為向量函數(shù),并且f(x),g(x),ceq(x)中至少有一個(gè)函數(shù)是非線性函數(shù)（否則成為線性規(guī)劃問題）。第58頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月x=fmincon(‘fun’,x0,A,b)x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq)x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fmincon(‘fun’,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)在Matlab優(yōu)化工具箱中，fmincon函數(shù)是用SQP算法來解決一般的約束非線性規(guī)劃的函數(shù)，它的命令格式為：上式中x為最優(yōu)點(diǎn)；若將左端的x換為[x,f],則返回最優(yōu)點(diǎn)x和最優(yōu)值f。第59頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月【例1】求解約束非線性規(guī)劃：

(初值為[1;1])解:首先建立一個(gè)m文件fun1.mfunctiony=fun1(x)y=-exp(x(1))*x(2)^2*(3-exp(x(1))-x(2)^2);存儲(chǔ)為fun1.m首先將問題轉(zhuǎn)化為matlab要求的格式;即求出fun,A,b,Aeq,Beq,X0,Lb,Ub第60頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月function[g,cep]=fun2(x)g=[];%g為非線性不等式,且為g<=0ceq=exp(x(1))+x(2)^2-3;%ceq為非線性等式然后存儲(chǔ)為fun2.m建立主程序：A=[];b=[];Aeq=[];Beq=[];Lb=[];Ub=[];[x,f]=fmincon(‘fun1’,[1;1],[],[],[],[],[],[],’fun2’)-f建立非線性約束m-文件fun2.m運(yùn)行結(jié)果為:x=0.88520.7592f=6.2043e-016最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)值第61頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月【例2】求解約束非線性規(guī)劃：

解：首先建立一個(gè)m文件

fun5.mfunctiony=fun5(x)y=(x(1)-1)^2+(x(2)-2)^2+(x(3)-3)^2+(x(4)-4)^2;存儲(chǔ)為fun5.m文件.第62頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月x0=[1;1;1;1];A=[1111;3321];B=[5;10];Aeq=[];Beq=[];Lb=[0;0;0;0];[x,g]=fmincon(‘fun5’,x0,A,B,Aeq,Beq,Lb)運(yùn)行結(jié)果為:x=0.00000.66671.66652.6668g=6.3333建立主程序第63頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)：用Matlab求解非線性規(guī)劃問題，基本步驟：1.首先建立M文件fun.m,定義目標(biāo)函數(shù)f（x）:functionf=fun(x);f=f（x）;2.若約束條件中有非線性約束:g(x)或Ceq(x)=0,則建立M文件nonlcon.m定義函數(shù)g(x)與Ceq(x):function[g,Ceq]=nonlcon(X)g=...Ceq=...3.建立主程序.并運(yùn)行。第64頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月s.t.例如：在對(duì)策論中：在最不利的條件下，尋求最有利的策略；在投資規(guī)劃中要確定最大風(fēng)險(xiǎn)的最低限度；

在城市規(guī)劃中，要確定急救中心的位置，使其到所有地點(diǎn)最大距離為最小。最大最小化問題第65頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月求解最大最小化問題的Matlab函數(shù)為fminimax.其調(diào)用格式如下：x=fminimax(F,x0,,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)或[x,fval,maxfval,exitflag,output]=fminimax(…)其中：x返回最優(yōu)解；fval返回解x處的目標(biāo)函數(shù)值；maxfval返回解x處的最大函數(shù)值；exitflag描述計(jì)算的退出條件；output返回包含優(yōu)化信息的輸出參數(shù)。

第66頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月例：求解下列最大最小化問題：

首先編寫一個(gè)M文件ff2.m，計(jì)算4個(gè)函數(shù)值。functionf=ff2(x)f(1)=3*x(1)^2+2*x(2)^2-12*x(1)+35;f(2)=5*x(1)*x(2)-4*x(2)+7;f(3)=x(1)^2+6*x(2);f(4)=4*x(1)^2+9*x(2)^2-12*x(1)*x(2)+20;第67頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月然后，輸入初值x0=(1,1)，并調(diào)用優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行計(jì)算 x0=[00];[x,fval]=fminimax(@ff2,x0)運(yùn)行結(jié)果如下：x= 1.76370.5317fval= 23.73319.56226.301023.7331第68頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題：設(shè)某城市有某種物品的10個(gè)需求點(diǎn)，第i個(gè)需求點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為(ai,bi),道路網(wǎng)與坐標(biāo)軸平行，彼此正交?，F(xiàn)打算建一個(gè)該物品的供應(yīng)中心，且由于受到城市某些條件的限制，該供應(yīng)中心只能設(shè)在x界于[5,8]，y界于[5,8]的范圍之內(nèi)。問該中心應(yīng)建在何處為好?（即供應(yīng)中心的位置到最遠(yuǎn)需求點(diǎn)的距離最小）

Pi點(diǎn)的坐標(biāo)為： ai1435912620178bi2108181451089第69頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月無約束最優(yōu)化問題求一元函數(shù)fun在區(qū)間(x1,x2)上的最小值X=fminbnd(fun,x1,x2)或[x,fval]=fminbnd(fun,x1,x2)求多元無約束函數(shù)fun的最小值[x,fval]==fminunc(fun,x0)

x0為初值[x,fval]=fminsearch(fun,x0)注意：fminunc不是解決平方相加函數(shù)優(yōu)化問題的最好方法

第70頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)lsqnonlin專門解決非線性最小二乘問題：調(diào)用格式：x=lsqnonlin(fun,x0)x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub)x=lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options)第71頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月線性最小二乘問題lsqlin函數(shù)：用于解決線性最小二乘問題：調(diào)用格式：x=lsqlin(C,d,A,b)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)第72頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月例.求解下面非線性最小二乘問題初始解向量為解：(1)建立函數(shù)文件example5.mfunctionF=example5(x)k=1:10;F=2+2*k-exp(k*x(1))-exp(k*x(2));x0=[0.30.4];[x,resnorm,residual]=lsqnonlin(@example5,x0)(2)調(diào)用優(yōu)化程序：第73頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)運(yùn)行結(jié)果為x=0.25780.2578resnorm=124.3622residual=Columns1through71.41182.65053.66544.39064.74084.60573.8428Columns8through102.2672-0.3600-4.3482residual為解x處向量f(x)的值最優(yōu)解最優(yōu)值第74頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月無約束優(yōu)化問題1、一元函數(shù)極小問題MinF（x）s.t.x1<x<x2

[x,fval]=fminbnd(‘F’,x1,x2)算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解。第75頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月2、無約束多元極小化問題MinF(X)[x,fval,exitflag,output]=fminunc(‘F’,X0,options

)[x,fval,exitflag,output]=minsearch(‘F’,X0,options)fminunc為無約束優(yōu)化提供了大型優(yōu)化和中型優(yōu)化算法。由options中的參數(shù)LargeScale控制：LargeScale=’on’,使用大型算法LargeScale=’off’,使用中型算法

第76頁，課件共86頁，創(chuàng)作于2023年2月fminunc為中型優(yōu)化算法的搜索方向提供了4種算法，由options中的參數(shù)HessUpdate控制：HessUpdate=’bfgs’（默認(rèn)值），擬牛頓法的BFGS公式；HessUpdate=’dfp’，擬牛頓法的DFP公式；HessUpdate=’s