性質(zhì)與不等式

第二章

一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1

等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群3500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，永不過期核心知識目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.能用不等式(組)表示實(shí)際問題的不等關(guān)系.2.初步學(xué)會(huì)作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.3.掌握等式的基本性質(zhì)和不等式的基本性質(zhì).4.運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)解決有關(guān)問題.1.通過用不等式(組)表示實(shí)際問題,

培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

2.通過作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3.通過等式的基本性質(zhì)和不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用,增強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).知識探究·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育知識探究·素養(yǎng)啟迪知識探究1.不等關(guān)系與不等式實(shí)例在日常生活中,我們經(jīng)常看到下列標(biāo)志:[問題1-1]你知道各圖中的標(biāo)志有何作用?其含義是什么嗎?提示:①限制高度:裝載高度h不得超過3.5

m;②最低限速:限制行駛時(shí)速v不得低于50

km/h;③限制質(zhì)量:裝載總質(zhì)量M不得超過10

t;④時(shí)間范圍:t∈[7.5,10];⑤最高限速:限制行駛時(shí)速v不得高于60

km/h.[問題1-2]你能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示上述關(guān)系嗎?提示:①h≤3.5;②v≥50;③M≤10;④7.5≤t≤10;⑤v≤60.梳理1 不等關(guān)系與不等式我們經(jīng)常用

不等式

來研究含有不等關(guān)系的問題,常用的不等號有

>,<,≤,≥,≠

.2.兩實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)[問題2]對于兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,其大小關(guān)系有哪幾種可能?提示:兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,其大小關(guān)系有三種可能,即a>b,a=b,a<b.梳理2 兩實(shí)數(shù)的大小關(guān)系的基本事實(shí)對于任意的實(shí)數(shù)a,b,有以下基本事實(shí):a>b?

a-b>0

;a=b?

a-b=0

;a<b?

a-b<0

.3.重要不等式[問題3](a-b)2與0的大小關(guān)系如何?提示:(a-b)2≥0.梳理3 重要不等式一般地,?a,b∈R,有a2+b2

≥

2ab,當(dāng)且僅當(dāng)

a=b

時(shí),等號成立.4.等式的性質(zhì)[問題4]在解方程2x-1=3時(shí),移項(xiàng)得2x=4的理論依據(jù)是什么?把x的系數(shù)化為1得x=2的理論依據(jù)是什么?提示:等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)仍是等式.等式兩邊都乘上(或除以)同一個(gè)不等于零的數(shù)仍是等式.梳理4 等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1 如果a=b,那么b=a.性質(zhì)2 如果a=b,b=c,那么a=c.性質(zhì)3 如果a=b,那么a±c=b±c.性質(zhì)4 如果a=b,那么ac=bc.性質(zhì)5??

??如果a=b,c≠0,那么??=??.5.不等式的性質(zhì)[問題5-1]在解不等式x-1>2時(shí),通過移項(xiàng)得x>3,其理論依據(jù)是什么?提示:不等式兩邊同加上一個(gè)數(shù)不等號方向不變.[問題5-2]已知3>2,若兩邊同乘2,不等式成立嗎?若兩邊同乘c(c為常數(shù)),不等式成立嗎?提示:同乘2,不等式成立.兩邊同乘c,不等式不一定成立,當(dāng)c=0時(shí),3c=2c;當(dāng)c>0時(shí),3c>2c;當(dāng)c<0時(shí),3c<2c.梳理5 不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?

b<a-2傳遞性a>b,b>c?

a>c?3可加性a>b?a+c

>

b+c-4可乘性??

>

????ac

>

bc??

>

0c的符號??

>

????ac

<

bc??

<

05同向可加性??

>

????a+c

>

b+d??

>

???6同向同正可乘性??

>

??

>

0??ac

>

bd??

>

??

>

0?7可乘方性a>b>0?

an>bn(n∈N,n≥2)同正AC)小試身手1.(多選題)下列命題中正確的是(

(A)若a>b,則a+c>b+c

(B)若a>b,則ac>bc

(C)若ac2>bc2,則a>b

(D)若a>b,則a2>b2解析:B中當(dāng)c<0時(shí)不成立,D中當(dāng)b<a<0時(shí)不成立,選AC.A2.若x∈R,y∈R,則(

)(A)x2+y2>2xy-1

(B)x2+y2=2xy-1(C)x2+y2<2xy-1

(D)x2+y2≤2xy-1解析:因?yàn)閤2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy-1,故選A.??3.已知

5<a<10,2<b<8,則??的范圍是

,a-b

的范圍是

.解析:因?yàn)?<a<10,2<b<8,所以??<??<??,所以??<??<????,??

??

??

??

??

????

??即??<??<5.又因?yàn)?8<-b<-2,所以-3<a-b<8.答案:??<??<5 -3<a-b<8??

????+????

??4.若

x∈R,則

??

與??的大小關(guān)系為

.解析:

??-

=

=??

??

????-??-????

-(??-??)????

????+??

?? ??(??+??

)

??(??+??

)≤0,??+????

??所以

??

≤??.答案:

??

≤????+????

??課堂探究·素養(yǎng)培育解:設(shè)購買A型汽車和B型汽車分別為x輛,y輛,則???????

+

??????

≤

??

??????,??

≥

??,??

≥

??,??,??∈??*.探究點(diǎn)一用不等式(組)表示不等關(guān)系[例1]某汽車公司因發(fā)展需要,需購進(jìn)一批汽車,計(jì)劃使用不超過1000萬元的資金購買單價(jià)分別為40萬元、90萬元的A型汽車和B型汽車,根據(jù)需要,A型汽車至少買5輛,B型汽車至少買6輛,寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式(組).即時(shí)訓(xùn)練1-1:某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品,甲、乙產(chǎn)品都需要在A,B兩臺(tái)設(shè)備上加工,在A,B設(shè)備上加工一件甲產(chǎn)品所需工時(shí)分別為1小時(shí)、2小時(shí),加工一件乙產(chǎn)品所需工時(shí)分別為2小時(shí)、1小時(shí),A,B兩臺(tái)設(shè)備每月有效使用時(shí)數(shù)分別為400和500.寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式(組).解:設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x件,y件,由題意可知,??

+

????

≤

??????,????

+

??

≤

??????,?

??

≥

??,??∈??,??

≥

??,??∈??.方法總結(jié)用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟:(1)審清題意,明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語:大于、小于、不大于、不小于、至多、至少等;(2)適當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)表示變量;

(3)用不等號表示關(guān)鍵詞語,并連接變量得不等式.易錯(cuò)警示

(1)用不等式(組)表示不等關(guān)系應(yīng)正確找出題中的顯性不等關(guān)系和隱性不等關(guān)系;(2)當(dāng)問題中同時(shí)滿足幾個(gè)不等關(guān)系,則應(yīng)用不等式組來表示它們之間的不等關(guān)系,另外若問題中有幾個(gè)變量,就選用幾個(gè)字母分別表示這些變量即可.探究點(diǎn)二 作差比較法比較代數(shù)式大小[例2]

已知x>1,比較x3-1與2x2-2x的大小.解:x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)[(x-??)2+??].??

??因?yàn)閤>1,所以x-1>0.又(x-??)2+??>0,所以(x-1)[(x-??)2+??]>0.所以x3-1>2x2-2x.??

??

??

????-??即時(shí)訓(xùn)練2-1:已知a≠1且a∈R,試比較

??

與1+a的大小.解:作差得

??

-(1+a)=????

.??-?? ??-??當(dāng)a=0時(shí),因?yàn)????

=0,所以

??

=1+a.??-?? ??-??當(dāng)a<1,且a≠0時(shí),因?yàn)????

>0,所以

??

>1+a.??-?? ??-??當(dāng)a>1時(shí),因?yàn)????

<0,所以

??

<1+a.??-?? ??-??方法總結(jié)作差比較法比較兩式大小的步驟

(1)作差:對要比較大小的兩個(gè)式子作差;

(2)變形:對差式通過通分、因式分解、配方等手段進(jìn)行變形;

(3)判斷符號:對變形后的結(jié)果結(jié)合題設(shè)條件判斷出差的符號;

(4)作出結(jié)論.特別提醒使用作差比較法比較大小時(shí),若待比較的兩式是無理式(數(shù)),這時(shí)可以先將待比較的式子變形為有理式后再用作差法比較大小,但是要注意變形的等價(jià)性.探究點(diǎn)三不等式基本性質(zhì)及應(yīng)用探究角度1 利用不等式基本性質(zhì)判斷不等式的真假??

??

??+??

??+??[例

3]

若

a>b>0,m>0,n>0,則??,??,??+??,??+??按由小到大的順序排列為(

)(A)??<??+??<??+??<??

(B)??<??+??<??+??<????

??+??

??+??

??

??

??+??

??+??

??(C)??<??+??<??<??+??

(D)??<??<??+??<??+????

??+??

??

??+??

??

??

??+??

??+??解析:??-??+??=????+????-????-????=??(??+??)(??-??)??

.??

??+??

??(??+??)因?yàn)閍>b>0,m>0,n>0,所以(??-??)??

<0,所以??<??+??.??(??+??)

??

??+??因?yàn)??+??-??+??=(??+??)(??-??)+(??-??)(??+??).??+??

??+??

(??+??)(??+??)因?yàn)閍>b>0,m>0,n>0,所以(??+??)(??-??)+(??-??)(??+??)(??+??)(??+??)<0,所以??+??-??+??<0,??+??

??+??所以??+??<??+??.??+??

??+????+??-??=????+????-????-????

(??-??)????+??

??

??(??+??)

??(??+??)=

.因?yàn)閍>b>0,n>0,所以??+??-??<0,所以??+??<??.??+??

??

??+??

????

??+??

??+??

??綜上可知,??<??+??<??+??<??.故選A.方法總結(jié)不等式的性質(zhì)常與比較大小結(jié)合考查,此類問題一般結(jié)合不等式的性質(zhì),利用作差法或作商法求解,也可以用特殊值求解.即時(shí)訓(xùn)練

3-1:(多選題)已知

a,b,c

滿足

c<b<a

且

ac<0,則下列選項(xiàng)中恒成立的是(

)??

??(A)??>??

(B)??-????>0(C)

>????

??????

??(D)??-??????<0??

??

??解析:因?yàn)閏<b<a,且ac<0,所以c<0,a>0,所以??-??=??-??>0.??

??故??>??,所以選項(xiàng)A恒成立.因?yàn)閎-a<0,c<0,所以??-????>0,所以選項(xiàng)B恒成立.因?yàn)閏<0,c<a,所以a-c>0,所以??-??????<0,所以選項(xiàng)D恒成立.2

2????

??????

??但

b

與

a

的關(guān)系不確定,故

>

不一定成立,即選項(xiàng)

C

不一定成立.故應(yīng)選ABD.探究角度2 利用不等式基本性質(zhì)證明不等式[例4]已知a>b>0,c<d<0,e<0,求證:

????-?? ??-??>

??

.證明:法一

因?yàn)?/p>

c<d<0,所以-c>-d>0.因?yàn)閍>b>0,所以a-c>b-d>0,??-?? ??-??所以0<

??

<

??

.又因?yàn)閑<0,所以

????-?? ??-??>

??

.法二=

??

-

?? ??[(??-??)-(??-??)]=??[(??-??)+(??-??)].??-?? ??-??

(??-??)(??-??) (??-??)(??-??)因?yàn)閍>b>0,c<d<0,所以-c>-d>0,所以a-c>0,b-d>0,b-a<0,c-d<0,又e<0,所以??[(??-??)+(??-??)](??-??)(??-??)>0,所以

??

>

??

.??-?? ??-??[變式訓(xùn)練

4-1]

題目中條件不變,求證改為

??

>??(??-??)??

(??-??)??,請證明.證明:因?yàn)閏<d<0,所以-c>-d>0.又因?yàn)閍>b>0,所以a-c>b-d>0.??-??

??-??所以0<

??

<

??

,所以

??

<

??

.(??-??)??

(??-??)??又因?yàn)閑<0,所以

??

>

??

.(??-??)??

(??-??)????-?? ??-??

(??-??)·(??-??) (??-??)·(??-??)證明:

??

-

??

=??(??-??)-??(??-??)=

(??-??)·??

.因?yàn)閏>a>b>0,所以a-b>0,c>0,c-a>0,c-b>0,所以

(??-??)·??

??

??>0,即

>

.(??-??)·(??-??)

??-?? ??-??即時(shí)訓(xùn)練4-1:已知c>a>b>0,求證:

????-?? ??-??>

??

.方法總結(jié)利用不等式性質(zhì)對不等式的證明其實(shí)質(zhì)就是利用性質(zhì)對不等式進(jìn)行變形,變形要等價(jià),要善于尋找欲證不等式的已知條件,利用相應(yīng)的不等式性質(zhì)證明,利用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)適用的前提條件.探究角度3 利用不等式基本性質(zhì)求取值范圍??-????[例

5]

已知

30<x<42,16<y<24,分別求

x+y,x-3y

及

??

的范圍.解:因?yàn)?0<x<42,16<y<24,所以30+16<x+y<42+24.所以46<x+y<66.因?yàn)?6<y<24,所以48<3y<72.所以-72<-3y<-48.所以-42<x-3y<-6.所以-??<

??

<-

??

.??

??-????

????又因?yàn)?/p>

30<x<42,所以-????<

??

<-????.所以-7<

??

<-??.??

??-????

????

??-????

??綜上可知,46<x+y<66,-42<x-3y<-6,-7<

??

<-??.??-????

??即時(shí)訓(xùn)練5-1:已知-2<a≤3,1≤b<2,試求下列代數(shù)式的取值范圍.

(1)a+b;(2)2a-3b.解:(1)由-2<a≤3,1≤b<2,得-1<a+b<5.(2)由-2<a≤3得-4<2a≤6,①由1≤b<2得-6<-3b≤-3,②由①+②得,-10<2a-3b≤3.方法總結(jié)(1)根據(jù)不等式性質(zhì)求范圍問題,首先要明確同向不等式具有可加性及正的同向不等式具有可乘性,但是不等式不能相減,要求a-b的范圍,只能先求-b的范圍,再與a的范圍相加.同理,不等式也不能相除,欲求??的范圍,只能先求出??的??

??范圍后再與a的范圍相乘.(2)不等式兩邊同乘一個(gè)正數(shù),不等號方向不變,同乘一個(gè)負(fù)數(shù)不等號變?yōu)橄喾吹姆较?因此在不等式兩邊同乘一個(gè)數(shù)時(shí),要明確所乘數(shù)的正負(fù).備用例題[例1]已知a,b為正數(shù),且a≠b,比較a3+b3與a2b+ab2.解:(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),因?yàn)閍>0,b>0且a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0.所以(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.[例2]已知a>b>0,c<d<0,求證:?????<?????.??

????

??證明:因?yàn)閏<d<0,所以-c>-d>0,所以0<-??<-??.??

??又因?yàn)閍>b>0,所以-??>-??>0.????所以?-??>?-??????,即-?????>-?????.??

??兩邊同乘以-1,得?????<?????.??

????

??[例3](1)a<b<0,求證:??<??;??

??(2)已知a>b,??<??,求證:ab>0.證明:(1)由于??-??=????-????=(??+??)(??-??),??

??

????

????因?yàn)閍<b<0,所以b+a<0,b-a>0,ab>0.所以(??+??)(??-??)<0.故??<??.????

??

????

????

????

????

??(2)因?yàn)?lt;,所以-<0,即??-??????<0,而a>b,所以b-a<0,所以ab>0.解:設(shè)4a-2b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,??

+

??

=

??,??

=

??,所以???-??=-??,解得???=??