離散型隨機(jī)變量及其概率分布

離散型隨機(jī)變量及其概率分布第1頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、離散型隨機(jī)變量的概率分布

從中任取3個(gè)球，取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每個(gè)值的概率為引例這樣，我們就掌握了X這個(gè)隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.且第2頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、離散型隨機(jī)變量的概率分布研究離散型隨機(jī)變量概率分布，即尋找隨機(jī)變量所有可能的取值以及取每個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率。1、離散型隨機(jī)變量的定義分布函數(shù)可以研究離散型隨機(jī)變量的概率分布，除此之外，針對(duì)離散型特點(diǎn)，我們引入研究離散型隨機(jī)變量的重要工具——概率分布律（列）第3頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、離散型隨機(jī)變量的概率分布2、離散型隨機(jī)變量的概率分布

定義：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機(jī)變量X的分布律.概率分布列概率分布陣第4頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、離散型隨機(jī)變量的概率分布3、性質(zhì)用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是分布律注意：只有離散型才有概率分布列。思考：下列兩個(gè)等式一樣么？第5頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解:依據(jù)分布律的性質(zhì)P(X=k)≥0,

a≥0,從中解得即例1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.一、離散型隨機(jī)變量的概率分布第6頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2

某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解：X可取值為0,1,2

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81一、離散型隨機(jī)變量的概率分布即第7頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、離散型隨機(jī)變量的概率分布例3

設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為求：常數(shù)a，P(X<1)，P(-2<X≤0)，P(X≥2).解：由歸一性得P(X<1)P(-2<X≤0)=P(X=-2)+P(X=-1)+P(X=0)=5/8=P(X=-1)+P(X=0)=1/2P(X≥2)=P(X=2)=1/4第8頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、離散型隨機(jī)變量的概率分布小結(jié)：即：離散型隨機(jī)變量落入任何區(qū)間內(nèi)的概率，等于該區(qū)間內(nèi)所有正概率點(diǎn)對(duì)應(yīng)概率之和。第9頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)1

某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求射擊發(fā)數(shù)X的分布律.解:X可能取的值是1,2,…，

P{X=1}=P(A1)=p,為計(jì)算

P{X=k}，

k=1,2,…，Ak

={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設(shè)于是一、離散型隨機(jī)變量的概率分布分布律為第10頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)同樣可以描述隨機(jī)變量落入任意區(qū)間的概率，那么分布函數(shù)與離散型分布列有什么關(guān)系呢？第11頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)當(dāng)

x<0時(shí)，{X

x}=，故

F(x)=0例4設(shè)隨機(jī)變量X

的分布律為當(dāng)

0x<1時(shí)，

F(x)=P{X

x}=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解X求X

的分布函數(shù)F(x).第12頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)

1x<2時(shí)，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=當(dāng)

x2時(shí)，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)第13頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故特點(diǎn)：下面我們從圖形上來(lái)看一下.1.分段函數(shù)2.右連續(xù)3.X取值點(diǎn)為分界點(diǎn)4.分段區(qū)間左閉右開(kāi)二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)第14頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月的分布函數(shù)圖二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)特點(diǎn)：階梯曲線在xk

處有跳躍跳躍值為P{X=xk

}=pkX第15頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)總結(jié)：設(shè)離散型隨機(jī)變量

X

的分布律為P{X=xk

}=pk,

k=1,2,3,…

F(x)=P(X

x)=

即F(x)是X

取的諸值xk

的概率之和.則其分布函數(shù)為第16頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5

一個(gè)靶子是半徑為2m的圓盤(pán),設(shè)擊中靶上任一同心圓盤(pán)上的點(diǎn)的概率與該圓盤(pán)的面積成正比,并設(shè)射擊都能中靶,以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離.試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)第17頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月于是故X的分布函數(shù)為其圖形為一連續(xù)曲線二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)第18頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)練習(xí)2

設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為求：F(x).第19頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布1、單點(diǎn)分布（或退化分布）若隨機(jī)變量X的全部可能取值為常數(shù)c，即“X=c”是必然事件，其概率分布為P(X=c)=1則稱X服從單點(diǎn)分布(或退化分布).例如，從一批全是合格品的產(chǎn)品中，任取c件進(jìn)行合格性檢查，若以X表示所取到的合格品數(shù)，則“X=c”是必然事件，其概率分布為P(X=c)=1.第20頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布2、兩點(diǎn)分布（或0-1分布、伯努利分布）設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值,它的分布律為則稱X服從(0-1)

分布或兩點(diǎn)分布.第21頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布例如

200件產(chǎn)品中，有190件合格品,10件不合格品，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件，若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布.

兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.第22頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布3、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布（1）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)”抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”

設(shè)在一次試驗(yàn)E中只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果：A或這樣的試驗(yàn)E稱為貝努利試驗(yàn)

.（兩點(diǎn)分布）

將伯努利試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行n次,則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)

.“重復(fù)”是指這n

次試驗(yàn)中P(A)=p保持不變.“獨(dú)立”是指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響

.第23頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布例如：某射手獨(dú)立向目標(biāo)連續(xù)射擊4次，每次的命中率均為0.8，求其恰好命中3次的概率。分析：該實(shí)驗(yàn)為4重貝努利第24頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布

由此可見(jiàn)，n重貝努利試驗(yàn)中，所研究的事件在多次試驗(yàn)中“恰好發(fā)生k次”的概率，對(duì)于研究試驗(yàn)序列各種復(fù)雜的結(jié)果有著重要的意義。第25頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布

用X表示n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則且兩兩互不相容.共有（2）二項(xiàng)分布第26頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月稱這樣的分布為二項(xiàng)分布，記為三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布二項(xiàng)分布描述的是n重貝努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的分布律.第27頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6

已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率.解:

因?yàn)檫@是有放回地取3次，因此這3次試驗(yàn)的條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努利試驗(yàn).依題意，每次試驗(yàn)取到次品的概率為0.05.設(shè)X為所取的3個(gè)中的次品數(shù)，于是，所求概率為則X~B(3,0.05)，三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布第28頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若將本例中的“有放回”改為“無(wú)放回”,那么各次試驗(yàn)條件就不同了,此試驗(yàn)就不是伯努利試驗(yàn).此時(shí),只能用古典概型求解.注意：三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布第29頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分析

這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大,且抽查元件的數(shù)量相對(duì)于元件的總數(shù)來(lái)說(shuō)又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來(lái)處理.例7三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布把檢查一只元件是否為一級(jí)品看成是一次試驗(yàn)，檢查20只元件相當(dāng)于做20重貝努利試驗(yàn).第30頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布第31頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意：P(X=4)最大。三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布第32頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一般地，若在k0處，概率P{X=k}達(dá)到最大（稱k0為隨機(jī)變量X的最可能值），則k0應(yīng)滿足解上述不等式得(n+1)p-1≤k0≤(n+1)p

。因?yàn)閗0必須為整數(shù)，所以當(dāng)(n+1)p為整數(shù)，其它，本例中，n=20，p=0.2,所以，(n+1)p=4.2,故k0=4。三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布第33頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布的關(guān)系二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布1、2、第34頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布第35頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布

練習(xí)4

某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次擊中的概率為0.02，獨(dú)立射擊400次，求至少擊中兩次的概率是多少？

解：這是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型，設(shè)擊中的次數(shù)為X，則它服從參數(shù)為n=400，p=0.02的二項(xiàng)分布，即X～B(400，0.02)，其概率分布為第36頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布4、泊松分布泊松分布是1837年法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松（Poisson）作為二項(xiàng)分布的近似計(jì)算機(jī)引入的。近年來(lái)日益顯示其重要性，即它不僅是二項(xiàng)分面的泊松近似，它本身就是一種重要的分布。若隨機(jī)變量X全部可能取值為一切非負(fù)整數(shù)，且第37頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí),他們做了2608次觀察(每次時(shí)間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X

服從泊松分布.在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問(wèn)題中,泊松分布是常見(jiàn)的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.第38頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月,則對(duì)固定的

k，有設(shè)Possion定理:Poisson定理說(shuō)明，若X~b(n,p),當(dāng)n很大p很小時(shí)，

歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的.二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布二項(xiàng)分布

泊松分布第39頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布在本節(jié)練習(xí)3中，如果射手命中率是0.01，連續(xù)射擊400次，擊中至少兩次的概率為由于n=400較大，p=0.01較小，因此可用泊松分布近似計(jì)算，即于是第40頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布

例8

某商店出售某種貴重商品，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每月銷(xiāo)售量X服從參數(shù)λ=3的泊松分布，問(wèn)在月初進(jìn)貨時(shí)要庫(kù)存多少件此商品，才能以99％的概率充分滿足顧客的需要？解：設(shè)月初庫(kù)存k件，則即查表，得k+1=9，即k=8.第41頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)5

獨(dú)立射擊5000次,命中率為0.001,解

(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；命中次數(shù)不少于1次的概率.(至少命中1次的概率)三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布第42頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

(2)令X表示命中次數(shù),則X~B(5000,0.001)三、幾種常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布第43頁(yè)，課件共54頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解令X表示命中次數(shù),則

令

此結(jié)果與用二項(xiàng)分布算得的結(jié)果0.9934僅相差萬(wàn)分之一.利用Poisson定理再求練習(xí)