第二節(jié)二重積分的計(jì)算法

第二節(jié)二重積分的計(jì)算法第1頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月【復(fù)習(xí)與回顧】(2)回顧一元函數(shù)定積分的應(yīng)用平行截面面積為已知的立體的體積的求法體積元素體積為

在點(diǎn)x處的平行截面的面積為

(1)上節(jié)思考題代替？不能用第2頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分(1)［X－型域］【X—型區(qū)域的特點(diǎn)】

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).1.【預(yù)備知識】第3頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)［Y－型域］【Y—型區(qū)域的特點(diǎn)】穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).第4頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)［既非X－型域也非Y－型域］如圖在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別都是X－型域(或Y—型域)則必須分割.由二重積分積分區(qū)域的可加性得第5頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月(1).若積分區(qū)域?yàn)閄－型域：2.【二重積分公式推導(dǎo)】【方法】根據(jù)二重積分的幾何意義以及計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法來求.第6頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月即得公式1第7頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月3.【二重積分的計(jì)算步驟可歸結(jié)為】①畫出積分域的圖形，標(biāo)出邊界線方程；②根據(jù)積分域特征，確定積分次序；③根據(jù)上述結(jié)果，化二重積分為二次積分并計(jì)算。公式2第8頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月【說明】(1)使用公式1必須是X－型域，公式2必須是(2)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,

為計(jì)算方便,可選擇積分次序,必要時(shí)還可交換積分次序.則有(3)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域.Y－型域.第9頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月4.【例題部分】【例1】【解Ⅰ】看作X－型域12oxy

y=xy=1Dx第10頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月【解Ⅱ】看作Y－型域12oxyx=yx=2Dy12第11頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月【例2】【解】D既是X—型域又是—Y型域［法1］－111xoy=xDxy第12頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月［法2］注意到先對x的積分較繁，故應(yīng)用法1較方便－111yoy=xD－1xy注意兩種積分次序的計(jì)算效果！第13頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月【例3】【解】D既是X—型域又是Y—型域先求交點(diǎn)第14頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月［法1］［法2］視為X—型域計(jì)算較繁本題進(jìn)一步說明兩種積分次序的不同計(jì)算效果！第15頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月【小結(jié)】以上三例說明，在化二重積分為二次積分時(shí)，為簡便見需恰當(dāng)選擇積分次序；既要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性(易積)第16頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月5.【簡單應(yīng)用】【例4】求兩個(gè)底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積V.【解】設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為第17頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月【例5】【解】據(jù)二重積分的性質(zhì)4（幾何意義）交點(diǎn)第18頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月6.【補(bǔ)充】改變二次積分的積分次序例題【補(bǔ)例1】交換下列積分順序【解】積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則第19頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月【解】第20頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月【補(bǔ)例3】【解】當(dāng)被積函數(shù)中有絕對值時(shí)，要考慮積分域中不同范圍脫去絕對值符號。［分析］第21頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月二、極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算第22頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月從而得極坐標(biāo)系下的面積元素為又由點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系，故在極坐標(biāo)下，二重積分化為第23頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月則二重積分極坐標(biāo)表達(dá)式【注意】極坐標(biāo)系下的面積元素為直角坐標(biāo)系下的面積元素為區(qū)別第24頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月2.二重積分化為二次積分的公式區(qū)域特征如圖（1）極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界曲線之外時(shí)第25頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月若區(qū)域特征如圖特別地第26頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）極點(diǎn)O恰在區(qū)域D的邊界曲線之上時(shí)區(qū)域特征如圖（1）的特例第27頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月3.極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積區(qū)域特征如圖（3）極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界曲線之內(nèi)時(shí)（2）的特例第28頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月【解】第29頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月【解】xyo的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法【注】1.由于用直角坐標(biāo)計(jì)算.第30頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月【注】2.利用例2可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中以及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,當(dāng)D為R2時(shí),利用例2的結(jié)果,得①故①式成立.第31頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月【解】第32頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中要正確選擇積分次序）三、小結(jié)［Y－型］［X－型］【練習(xí)】課本P95習(xí)題9-2第33頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月【思考題】【提示】交換積分順序后,x,y互換第34頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月【思考題解答】第35頁，課件共39頁，創(chuàng)作于2023年2月