高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)第十二章-概率與統(tǒng)計

高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)第十二章概率與統(tǒng)計考試內(nèi)容：抽樣方法總體分布的估計.總體期望值和方差的估計.考試要求：()了解隨機(jī)抽樣了解分層抽樣的意義，會用它們對簡單實(shí)際問題進(jìn)行抽樣.()會用樣本頻率分布估計總體分布.()會用樣本估計總體期望值和方差.§ 概率與統(tǒng)計知識要點(diǎn)―、隨機(jī)變量隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的試驗(yàn)如果滿足下述條件：試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個;③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪一個結(jié)果它就被稱為一個隨機(jī)試驗(yàn)離散型隨機(jī)變量：如果對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量若E是一個隨機(jī)變量，,是常數(shù)則n=a,€b也是一個隨機(jī)變量一般地，若E是隨機(jī)變量，f(x)是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則f(,)也是隨機(jī)變量也就是說,隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量￡可能取的值為：X，X，€,X,€1 2 i￡取每一個值X(i=1,2,€)的概率P(,=x)=p，則表稱為隨機(jī)變量￡的概率分布，簡稱￡的分1 i i布列X1X2???Xi???p1p2???p.i???有性質(zhì)①p?0,i=1，2,…；②p€p€ €p€ =11 1 2 i注意：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量例如：淞［0,5］即g可以取~之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù)⑴二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是，那么在 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件恰好發(fā)生次的概率是：p(g=k)二Ckpkqn，k其中k=0,1,€,n,q=1,pn于是得到隨機(jī)變量E的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量E服從二項(xiàng)分布,記作g-()，其中,為參數(shù)，并記CkPkqn-k=b(k;n?p)n⑵二項(xiàng)分布的判斷與應(yīng)用二項(xiàng)分布，實(shí)際是對次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行 次獨(dú)立重復(fù)，且每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，此時可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求其分布列幾何分布：“g=k"表示在第 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時，事件第一次發(fā)生，如果把次試驗(yàn)時事件 發(fā)生記為A，事 不發(fā)生記為A,P(A)=q,那么P(g=k)=P(A「?.「A)根k k k 12 k-1k據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法分式：PG=k)=P(A)P(A)...P(A)P(A)=qk-ip(k=1,2,3,…)于是1 2 k-1 k ，，，得到隨機(jī)變量E的概率分布列g(shù)??????q2p???qk-ip???我們稱E服從幾何分布，并記g(k,p)=qk-1P，其中q=1-p.k=1,2,3…⑴超幾何分布：一批產(chǎn)品共有件,其中有( < )件次品,今抽取n(1…n…N)件，則其中的次品數(shù)E是一離散型隨機(jī)變量,分布列為p(g=k)=CM9時.(0…k…M,0…n-k…N-M)〔分子是從 件次品中取件，從 件正CnN品中取 件的取法數(shù)，如果規(guī)定m<r時Cr=0，則的范圍可以寫為 ,，…，〕m⑵超幾何分布的另一種形式:一批產(chǎn)品由件次品、件正品組成今抽?。?<<bk€0,1,,n.則次品數(shù)E的分布列為pg€k)k€0,1,,n.Cna,b⑶超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系設(shè)一批產(chǎn)品由件次品、件正品組成,不放回抽取件時,其中次品數(shù)E服從超幾何分布若放回式抽取，則其中次品數(shù)?的分布列可如下求得：把a(bǔ)+b個產(chǎn)品編號，則抽取次共有(a,b)n個可能結(jié)果,等可能：(n=k)含Ckakbn-k個結(jié)果/故nP(n=k)=Cnakbn「k=Ck(a)k(l——^)n—k,k=0,1??,n2，即?~B(n-)我們先為個次品(a+b)nna+b a+b a+b選定位置，共Ck種選法；然后每個次品位置有種選法，每個正品位置有種選法可以n證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時，p(g=k)…p(n=k),因此二項(xiàng)分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣二、數(shù)學(xué)期望與方差期望的含義：一般地，若離散型隨機(jī)變量E的概率分布為gx1x2???xi???p1P2???p.???則稱E防xp，xp，…，xp，…為E的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值數(shù)學(xué)期望又簡稱期望數(shù)學(xué)11 2 2 nn期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平⑴隨機(jī)變量?=ag+b的數(shù)學(xué)期望：E?=E(ag,b)=aEg,b當(dāng)a=0時，E(b)=b，即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個常數(shù)本身當(dāng)a=1時，E(g,b)=Eg,b，即隨機(jī)變量E與常數(shù)之和的期望等于E的期望與這個常數(shù)的和當(dāng)b=0時，E(ag)=aEg,即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的期望等于這個常數(shù)與隨機(jī)變量期望的乘積

⑵單點(diǎn)分布：E,€cx1€c其分布列為：P(,€1)€c⑶兩點(diǎn)分布：E,€0xq+1Xp€p,其分布列為：()E⑷二項(xiàng)分布：e,€?k…n! pk.qn-k€np其分布列為,-B(n,p)(為發(fā)生,的概率)Ek!(n一k)!⑸幾何分布：E,€丄其分布列為,-q(k,p)(為發(fā)生,的概率)p方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機(jī)變量E的分布列為P(,€X)€p(k€1,2,)時，則稱k kD,€(x-E)2p+(x-E,)2p+€+(x-E,)2p+???為E的方差顯然D,>0，故€,Dg. 為E的根1 1 2 2 n n方差或標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量E的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量E取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度D,越小，穩(wěn)定性越高，波動越?、茊吸c(diǎn)分布：D,€0其分布列為p(,€1)€p⑶兩點(diǎn)分布：D,€pq其分布列為:( )E方差的性質(zhì)⑴隨機(jī)變量n€a,+b的方差D(H⑵單點(diǎn)分布：D,€0其分布列為p(,€1)€p⑶兩點(diǎn)分布：D,€pq其分布列為:( )E⑷二項(xiàng)分布：D,€npq⑸幾何分布：D,€qp2期望與方差的關(guān)系⑴如果e,和En都存在，則e(,±n)€e,土En⑵設(shè)E和n是互相獨(dú)立的兩個隨機(jī)變量，則E(,n)€een,D(,+n)=d，+dn⑶期望與方差的轉(zhuǎn)化:D,⑶期望與方差的轉(zhuǎn)化:D,€E,2—(E,)2⑷E(，—E,)€E(,)—E(E,)(因?yàn)镋,為一常數(shù))€E,—E,€0三、正態(tài)分布(基本不列入考試范圍)密度曲線與密度函數(shù)：對于連續(xù)型隨機(jī)變量E,位于軸上方，E落在任一區(qū)間［a,b)內(nèi)的

⑴正態(tài)分布與正態(tài)曲線如果隨機(jī)變量?的概率密度為：f(x)=丄eJ(x?R小,…2?！瓰槌?shù)，且…€0)'稱E服從參數(shù)為□，…的正態(tài)分布，用g~N(卩,…2)表示f(x)的表達(dá)式可簡記為N(卩,…2)，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線⑵正態(tài)分布的期望與方差：若g-N(卩…2)，則§的期望與方差分別為：Eg€|i,DgR2⑶正態(tài)曲線的性質(zhì)曲線在軸上方，與軸不相交曲線關(guān)于直線x二卩對稱當(dāng)X€卩時曲線處于最高點(diǎn),當(dāng)向左、向右遠(yuǎn)離時,曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出"中間高、兩邊低”的鐘形曲線當(dāng)X<卩時，曲線上升；當(dāng)X>卩時，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以軸為漸近線，向軸無限的靠近當(dāng)卩一定時，曲線的形狀由…確定,…越大,曲線越"矮胖”表示總體的分布越分散;…越小，曲線越"瘦高”，表示總體的分布越集中2⑴標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量§的概率函數(shù)為9(x)€丄e-；(-，YXY+，),則稱§服從2冗標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布即g-N(0,1)有9(x)=P(g<x),9(x)=1-9(-x)求出，而(<E<)的計算則是P(aYg<b)=9(b)-9(a)注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的①(x)的取時，有①(x)=0.5當(dāng)①(x)的€(x)€0.5比如€(乞5^)=0.0793Y0.5則05土必然小于，如圖O O⑵正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若…-N(?o2)貝吒的分布函數(shù)通常用F(x)表示，且有p(E<x)=F(x)=甲()O⑴“O”原則假設(shè)檢驗(yàn)是就正態(tài)總體而言的，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)可歸結(jié)為如下三步：①提出統(tǒng)計假設(shè)，統(tǒng)計假設(shè)里的變量服從正態(tài)分布n(?,o2)②確定一次試驗(yàn)中的取值a是否落入范圍(?-3o,?+3