高考研討會(huì)圓錐曲線的備考總結(jié)與說明

圓錐曲線的備考總結(jié)與說明一．近三年來全國題的回顧二．圓錐曲線中的范圍問題ADADBCxyO例1.已知點(diǎn)其中是曲線上的兩點(diǎn)，兩點(diǎn)在軸上的射影分別為點(diǎn),且.（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求直線的斜率；（Ⅱ）記的面積為，梯形的面積為，求的取值范圍.A1FB1ExyO例2.如圖,橢圓的離心率是,點(diǎn)在橢圓上,設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),過點(diǎn)引橢圓的兩條弦、.A1FB1ExyO（1）求橢圓的方程；（2）若直線與的斜率是互為相反數(shù).①直線的斜率是否為定值？若是求出該定值,若不是,說明理由；②設(shè)、的面積分別為和,求的取值范圍.2.利用圓錐曲線的有界性FWExyO例1.已知橢圓與直線相交于、兩不同點(diǎn)，且直線與圓相切于點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn)).FWExyO（1）證明：；（2）設(shè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.FAFABxyO例1.已知雙曲線上有一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，且，設(shè)，求雙曲線離心率e的范圍。APBxyO例2.已知雙曲線C的方程為APBxyO(1)求雙曲線C的方程；(2)如圖，P是雙曲線C上一點(diǎn)，A,B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上,且分別位于第一，二象限.若求△AOB面積的取值范圍.F2F2PxyOF1例1.已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0.若雙曲線上存在點(diǎn)SKIPIF1<0使SKIPIF1<0,則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.F2PxyOF1例2.已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，且兩條曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則F2PxyOF1A．B．C．D．【點(diǎn)評(píng)】圓錐曲線常包含一些基本性質(zhì)，如橢圓中，焦點(diǎn)三角形面積的最大值為，雙曲線中（以右支上的點(diǎn)P為例），有些不等關(guān)系隱含較深，如：三角形兩邊之和大于第三邊等一些平面幾何性質(zhì)。三．圓錐曲線中的最值問題ABABxyOFCN例1.已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過軸正半軸上一點(diǎn)N作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且=2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為C，則四邊形面積的最小值為()（A）3(B)(C)2(D)2.代數(shù)方法點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.五.定線問題PQOAxyB例2.PQOAxyB（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上問題的再探究：PQABl定理如圖，設(shè)點(diǎn)（圓錐曲線外）關(guān)于圓錐曲線：的極線為，過點(diǎn)任作一割線交于，交于，則①；反之，若有①成立，則稱點(diǎn)調(diào)和分割線段，或稱點(diǎn)與關(guān)于曲線調(diào)和共軛，或稱點(diǎn)(或點(diǎn))關(guān)于圓錐曲線PQABl的調(diào)和共軛點(diǎn)為點(diǎn)(或點(diǎn)).點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)是一條直線，這條直線就是點(diǎn)的極線.推論如圖，設(shè)點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的調(diào)和共軛點(diǎn)為點(diǎn)，則有②；反之，若有②成立，則點(diǎn)與關(guān)于調(diào)和共軛.事實(shí)上，由①有.方法2：由條件可有，點(diǎn)調(diào)和分割線段，說明點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線調(diào)和共軛，根據(jù)定理2，點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線，即，化簡(jiǎn)得.故點(diǎn)總在定直線上.例3.（2013安徽）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上.（1）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；PQOF1xyF2（2）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交軸與點(diǎn)，并且，證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)在某定直線上。PQOF1xyF2六.定點(diǎn)定值定線問題中一些常見的結(jié)論結(jié)論1.為原點(diǎn)，設(shè)是拋物線上不同兩點(diǎn)，則的充要條件是直線恒過定點(diǎn)結(jié)論2.圓錐曲線的焦點(diǎn)弦兩個(gè)焦半徑倒數(shù)之和為常數(shù)（為相應(yīng)焦點(diǎn)和準(zhǔn)線間的距離，為離心率）ABABCOFxyD已知橢圓，為其左焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使恒成立，并由此求的最小值.結(jié)論3：圓錐曲線相互垂直的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)倒數(shù)之和為常數(shù).ABCOF1xyF2如圖：為過焦點(diǎn)ABCOF1xyF2結(jié)論4：過圓錐曲線上任意點(diǎn)A作兩焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦即，則說明：由于拋物線的開放性，焦點(diǎn)只有一個(gè)，故準(zhǔn)線相應(yīng)替換了焦點(diǎn)，BMFOAxy過拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)M作直線交拋物線于兩點(diǎn)，已知，BMFOAxy問題探究Oyx1lF.如圖，已知，直線，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，且．Oyx1lF（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．（1）已知，，求的值；（2）求的最小值．ABQONxy結(jié)論5.（1）過橢圓長(zhǎng)軸上任意一點(diǎn)的一條弦端點(diǎn)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)ABQONxy（2）過雙曲線實(shí)軸上任意一點(diǎn)的一條弦端點(diǎn)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線所成角被實(shí)軸所在直線平分。（3）過拋物線對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)的一條弦AB端點(diǎn)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所成角被x軸平分。證明：橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱，故在C上有關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，ABMOP(m,y0)xy若均重合，則一定有，若不重合，由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于橢圓調(diào)和共軛，故為內(nèi)接四邊形對(duì)邊的交點(diǎn)，故必在上，關(guān)于x軸對(duì)稱，故有.ABMOP(m,y0)xy結(jié)論6：（1）設(shè)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為，定點(diǎn)則三點(diǎn)共線。（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為，定點(diǎn)則三點(diǎn)共線。（3）設(shè)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)P作拋物線的兩條切線切點(diǎn)為，定點(diǎn)則三點(diǎn)共線.例.（2008江西理21）如右圖所示，設(shè)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)P作雙曲線的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，定點(diǎn).（1）過點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為N，試求的重心G所在的曲線方程；（2）求證：A、M、B三點(diǎn)共線. 七.探索性問題例.（2015全國新課標(biāo)2）已知橢圓直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．(Ⅰ)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（Ⅱ）若過點(diǎn)，延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說明理由．八．圓錐曲線基本量的運(yùn)算（2012年全國新課標(biāo)20題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)。（Ⅰ）若，的面積為，求的值及圓的方程；（Ⅱ）若三點(diǎn)在同一直線上，直線與平行，且與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到，距離的比值。九．備考建議1.重視利用圓錐曲線的定義和圖形的平面幾何特征