高等代數(shù)第9章歐幾里得空間課件

第9章歐幾里得空間線性空間的概念是通常幾何空間從向量的加法、數(shù)乘運算上的推廣和抽象,但作為線性空間具體模型的幾何空間中有關(guān)向量的度量性質(zhì),如向量的長度、夾角在線性空間中未得到體現(xiàn).本章將在實數(shù)域上的線性空間中引入內(nèi)積概念,并討論這樣的線性空間中向量的度量性質(zhì),以及在內(nèi)積條件下線性空間的基和線性變換等問題.第9章歐幾里得空間定義與簡單性質(zhì)標準正交基同構(gòu)*正交變換子空間對稱矩陣的標準形向量到子空間的距離最小二乘法*§9.1定義與基本性質(zhì)引言幾何空間R3中向量與的內(nèi)積是指實數(shù)

(,)=||||cos=a1b1+

a2b2+a3b3||,||分別為向量與的模(長度),為與的夾角.利用內(nèi)積概念也可以表示向量的長度及兩個非零向量的夾角：顯然,

向量與正交(垂直)(,)=0,且具有以下性質(zhì)：(,)=(,)(k,)=k(,)(+,)=(,)+(,)(,)0,當且僅當=0時,(,)=0.由于幾何空間中的內(nèi)積是用向量的長度及夾角

表示的，因此不能將其進行形式上的推廣，而是用

公里化定義給出實數(shù)域R上線性空間內(nèi)積的概念1.內(nèi)積與歐幾里得空間(1)定義設(shè)V是實數(shù)域R上線性空間,稱V上滿足下述性質(zhì)的二元實函數(shù)(,)為內(nèi)積：(i)(,)=(,)(ii)(k,)=k(,)(iii)(+,)=(,)+(,)(iv)(,)0,當且僅當=0時,(,)=0.其中,,是V中任意向量，kR.而定義了內(nèi)積的實數(shù)域R上線性空間稱為歐幾里得空間，簡稱歐氏空間.按定義，幾何空間R3構(gòu)成歐氏空間.例1線性空間Rn中,任取=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,

bn)定義(,)=a1b1+

a2b2+…+

anbn則(,)是內(nèi)積,即Rn關(guān)于該內(nèi)積構(gòu)成一個n維歐氏空間.若在線性空間Rn中定義則(,)也是內(nèi)積.實數(shù)域R上的線性空間V可以定義多個內(nèi)積,從而V可以構(gòu)成不同的歐氏空間.標準內(nèi)積例2在閉區(qū)間[a,b]上所有實連續(xù)函數(shù)所成的線性空間C(a,b)中，任取f(x),g(x),定義則由定積分的性質(zhì)可知(f,g)是內(nèi)積,從而C(a,b)關(guān)于該內(nèi)積構(gòu)成一個歐氏空間.例3在實矩陣空間Rmn中，任取A、B,定義(A,B)=tr(ABT)則易知(A,B)是內(nèi)積,從而Rmn關(guān)于該內(nèi)積構(gòu)成一個mn維的歐氏空間.例4設(shè)V是n維的歐氏空間,1,2,…,n為V的一組基.若V,且(,i)=0,i=1,2,…,n,則=0.證依題意，可設(shè)=

k11+k22+…+knn,則故=0.(2)性質(zhì)設(shè)V是歐氏空間，則內(nèi)積有如下性質(zhì)(i)(,0)=(0,)=0(ii)(k,)=(,k)(iii)(,+)=(+,)(iv)(,)0.其中,,是V中任意向量，kR.對稱性非負性(1)向量的長度定義設(shè)是歐氏空間中的任意向量，非負實數(shù)稱之為向量的長度(范數(shù)).性質(zhì)(i)||0,當且僅當=0時,||=0(ii)|k|=|k|||(iii)|+|||+||(后證)證(ii)2.向量的長度與夾角(2)向量的夾角為合理引進兩個向量夾角的概念,首先證明歐氏空間中的柯西——布涅科夫斯基(Cauchy-Buniakowski)不等式.定理設(shè)V是歐氏空間，,V,有|(,)|||||當且僅當,線性相關(guān)時等號成立.證

(i)若,線性無關(guān),則0,t,tR.考慮向量=-t(0),由于(,)=(-t,-t)=(,)-2t(,)+t2(,)>0知|(,)|<||||.(ii)若,線性相關(guān),則當,至少有一為零向量時,等號顯然成立，否則可設(shè)

=k.由|(,)|=|(k,)|=|k(,)|=|k|||2=|k||||

|=||||

即等號成立；反之若等號成立，則為零向量時,,線性相關(guān)，若0,則取故

-k=0即,線性相關(guān).結(jié)合具體的歐氏空間，可得如下不等式.推論1空間Rn中,任取=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,

bn)，有推論3設(shè)V是歐氏空間,,V,有下列三角不等式

||-||

|+|||+||.推論2空間C(a,b)中，任取f(x),g(x),

有

柯西不等式許瓦爾茲不等式證由|+|2=(+,+)=(,)+2(,)+(,)||2+2||||+||2=(||+||)2故|+|||+||；又||=|(+)-||+|+|-|=

|

|+|+||從而||-||

|+|.||依據(jù)柯西——布涅科夫斯基不等式|(,)|||||可得從而有如下向量α與β的夾角的定義.定義設(shè)V是歐氏空間，對任意非零向量,V,稱與的夾角.(3)正交向量定義設(shè)V是歐氏空間，如果對,V，有(,)=0稱向量與正交或垂直，記為

.

當向量與正交時，有勾股定理

|+|2=||2+||2.兩兩正交：設(shè)i(i=1,2,…,m)V,若

(i,j)=0(ij)稱向量組i(i=1,2,…,m)為兩兩正交的向量組.定義設(shè)V是n維歐氏空間,1,2,…,n為V的一組基.稱為基1,2,…,n的度量矩陣.性質(zhì)(i)

AT=A(ii)對V中任意向量

=x11+x22+…+xnn

,=y11+y22+…+ynn

,有(,)=XTAY.3.度量矩陣基的度量矩陣完全確定了內(nèi)積！(iv)度量矩陣是正定的.事實上,對V中任意非零向量=x11+x22+…+xnn

,即(iii)設(shè)1,2,…,n及1,2,…,n為n維歐氏空間V的兩組基,對應(yīng)的度量矩陣分別為A與B.若

(1,2,…,n)=(1,2,…,n)C

則B=CTAC.即度量矩陣A是正定的.不同基的度量矩陣是合同的！§9.2標準正交基1.正交向量組定義歐氏空間V中一組兩兩正交的非零向量稱為V的一個正交向量組.為方便，單個的非零向量也看成正交向量組.定理正交向量組是線性無關(guān)的向量組.證兩邊同時與i作內(nèi)積,得n維歐氏空間的兩兩正交的非零向量的個數(shù)不能超過n個！解依題意3=（x1,x2,x3)T應(yīng)滿足例12.標準正交基的概念定義n維歐氏空間V中，由n個正交向量組成的正交向量組稱為V的一個正交基(orthogonal);由單位向量組成的正交基稱為V的一個標準正交基.依定義，若1,2,…,n是n維歐氏空間V中一個標準正交基，則反之亦然，因此有如下結(jié)論.定理n維歐氏空間V的一組基1,2,…,n是標準正交基為該基的度量矩陣A=((i,j))nn為單位矩陣.說明

①在標準正交基下,向量的坐標可以通過內(nèi)積簡單

地表示出來：即若1,2,…,n是歐氏空間V的一個標

準正交基，則V有=(,1)1+(,2)2+…+(,n)n

②在標準正交基下,內(nèi)積有特別簡單的表達式.設(shè)=x11+x22+…+xnn

,=y11+y22+…+ynn

,則(,)=x1y1+x2y2+…+xnyn=XTY.正是幾何空間中向量的內(nèi)積在直角坐標系坐標表達式的推廣！3.標準正交基的存在性及其求法定理1

n維歐氏空間V中任意一個正交向量組都能擴充成V的一組正交基.證設(shè)1,2,…,m是一正交向量組,對n-m作數(shù)學歸納法.當n-m=0時,1,2,…,m就是一組正交基.假設(shè)n-m=k時定理成立，即可找到向量1,

2,…,

k使

1,2,…,m,1,

2,…,

k成為一組正交基.以下考慮n-m=k+1的情形.因m<n,故必有向量不能被1,2,…,m線性表示，作向量m+1=-k11-

k22-

…-

kmm則適當選取ki(i=1,2,…,m)可使1,2,…,m,m+1為正交向量組.事實上，用i與m+1作內(nèi)積，得(i,m+1)=(,i)-ki

(i

,i

)(i=1,2,…,m)即1,2,…,m,m+1為正交向量組,由歸納法假設(shè),1,2,…,m,m+1可擴充成V的一組正交基.||定理2對于n維歐氏空間V中任意一組基1,2,…,n都可找到一組標準正交基1,2,…,n，使L(1,2,…,i)=L(1,2,…,i)(i=1,2,…,n)證

(1)正交化令1=1,若(1,2)=0,取2=2，否則令2=2-k1(k待定).為使(2,1)=0,有則(2,1)=0,即向量組1,2為正交向量組且與向量組1,2等價.假設(shè)已求出正交向量組1,2,…,i-1,再令i=i-k11-k22+

…-

ki-1i-1(kj待定)為使(i,j)=0(j=1,2,…,i-1),即

(i-k11-k22-

…-

ki-1i-1,

j)=(i,j

)-kj

(j

,j)=0得于是向量組1,2,…,i為正交向量組且與向量組1,2,…,i等價.

綜上所述,1,2,…,n為n維歐氏空間V的一組正交基且L(1,2,…,i)=L(1,2,…,i)(i=1,2,…,n)(2)單位化令則1,2,…,n為n維歐氏空間V的一組標準正交基，且L(1,2,…,i)=L(1,2,…,i)(i=1,2,…,n)||上述由基獲得標準正交基的方法通常稱為施密特

(Schimidt)正交化方法例2解(i)正交化令即(ii)單位化令4.正交矩陣定義若n級實方陣A滿足ATA=E(或AAT=E)稱A為正交矩陣.性質(zhì)(i)A為正交矩陣,則|A|=?1;(ii)

A為正交矩陣,則A–1=AT;(iii)A、B為正交矩陣，則AB為正交矩陣；(iv)A為正交矩陣A的n個行(列)向量都是Rn的標準正交基.證(iv)定理設(shè)1,2,…,n為n維歐氏空間V的一組標準正交

基,且(1,2,…,n)=(1,2,…,n)C，則1,2,…,n為V的標準正交基過渡矩陣C為正交矩陣.證()

1,2,…,n及1,2,…,n為n維歐氏空間V的標準正交基,故它們的度量矩陣A=E、B=E,又V的不同基的度量矩陣合同：B=CTAC知CTC=E即C為正交矩陣；()(i,j)=(c1i1+c2i2+…+cni

n,c1j1+c2j2+…+cnjn)即1,2,…,n為n維歐氏空間V的標準正交基.||1.將下列向量組正交化、單位化(1)(2,0),(1,1);(2)(2,0,0),(0,1,-1),(5,6,0).思考練習§9.4正交變換定義設(shè)是歐氏空間V的線性變換,若保持內(nèi)積不變，即,V，有(()

,())=(,)稱是V的正交變換.

定理設(shè)是n維歐氏空間V的線性變換,則有如下等價命題：①是正交變換；②保持向量長度不變，即V，有|()

|=||；③若1,2,…,n為V的一組標準正交基，則(1

),(2

),…,(n

)也是標準正交基；④在任一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣.

說明：

①由于在標準正交基下正交變換對應(yīng)于正交矩陣，

因此易知：

正交變換是可逆的；逆變換也是正交變換；

正交變換的乘積是正交變換.

②若在標準正交基下的正交矩陣為A，則當

|A|=1時，稱正交變換為旋轉(zhuǎn)，或第一類的；

|A|=-1時，稱正交變換為第二類的.§9.5子空間

——歐氏子空間的正交關(guān)系1.正交子空間與正交補的定義

設(shè)V1,

V2是歐氏空間V中兩個子空間,如果

V且

V1

,恒有(,)=0，稱與子空間V1正交，記為

V1

；

如果

V1和

V2

,恒有(,)=0，則稱V1,

V2為正交的，記為V1

V2；

如果V1

V2，且V=V1

+V2稱V2為V1

的正交補，記為V1

.2.正交子空間的有關(guān)結(jié)果定理①設(shè)V是歐氏空間，,

i,j

V,則L(1,

2,…,

t

)

j（j=1,2,…,

t）

L(1,2,…,s)L(1,

2,…,

t)

i

j

（i=1,2,…,

s;j=1,2,…,

t）

②若歐氏空間V的子空間V1，V2，…，Vs兩兩正交，則和V1+V2+…+Vs為直和；③n維歐氏空間V的每一個子空間V1都有唯一的正交補，且V1

恰由所有與

V1

正交的向量組成；④設(shè)V1是n維歐氏空間V的子空間，則維(V)=維(V1)+維(V1

)正交和與直和有無區(qū)別？正交和與直和有區(qū)別：V=V1+V1

稱為正交和，而V=V1V2稱為直和.正交和必為與直和；由教材P375定理5及定義11即得；直和不一定為正交和：例如V=R2（標準內(nèi)積），V1=L()，=(1,1),V2=L(),

=(1,2)

，則V=V1V2但兩(,)=30，故該和不是正交和§9.6實對稱矩陣的標準形利用對稱變換刻畫實對稱矩陣的有關(guān)特征.主要結(jié)果：若A為n級實對稱矩陣,則必存在正交矩陣T，使TT

AT=T–1

AT=Λ為對角陣，Λ的對角線上的元素為A的n個特征值.1.對稱變換定義設(shè)是歐氏空間V的線性變換,,V，有(()

,)=(,())稱是V的對稱變換.定理1V為n維歐氏空間,是V的對稱變換在V的標準正交基下的矩陣為實對稱矩陣.證明()設(shè)1,2,…,n為V的一組標準正交基,在1,2,…,n下的矩陣A=(aij)nn.由

(i)=a1i1+a2i2+…+ani

n(i=1,2,…,n)得aji=(a1i1+a2i2+…+anin,j)=((i),j)=(i,(j))=(i,a1j1+a2j2+…+anjn)=aij,

i,j=1,2,…,n

故A為對稱矩陣.()設(shè)在V的標準正交基1,2,…,n下的矩陣為實對稱矩陣.由(i)=a1i1+a2i2+…+ani

n(i=1,2,…,n)及((i),j)=aji=aij=

(i,(j))i,j=1,2,…,n

則=x11+x22+…+xnn

,=y11+y22+…+ynn

V有((),)=(x1(1)+…+xn(n),y11+y22+…+ynn

)=(,())故是V的對稱變換.

定理2歐氏空間V的對稱變換的屬于不同特征值的特征向量正交.證明是V的對稱變換,、為的兩個不同特征值，

,為對應(yīng)的特征向量，即()=

，()=由(()

,)=(,())得(

,)=(,)但故(,)=0即,正交.定理3設(shè)是V的對稱變換,V1是-不變子空間,則V1

也是-不變子空間.(證明略)V1中任一向量的像()仍在V1中.若V1V2,且V1+V2=V,稱V2為V1的正交補,記作V1

由于n維歐氏空間V的對稱變換在標準正交基下

的矩陣為實對稱矩陣,因此對實對稱矩陣有以下結(jié)論.2.實對稱矩陣定理4實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交.定理5實對稱矩陣的特征值都是實數(shù).證明設(shè)A為n級實對稱矩陣,是A的特征值,對應(yīng)的特征向量為則設(shè)A=.定理6對于任意n級實對稱矩陣A為,必存在n級正交矩

陣T，使TT

AT=T–1

AT=Λ

為對角陣,Λ的對角線上的元素為A的n個特征值.證明只須證V的對稱變換有n個特征向量做成V的標準正交基即可.對空間的維數(shù)n作