四川省南充市英才學校高三數(shù)學理模擬試卷含解析

四川省南充市英才學校高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在等差數(shù)列{an}中，若，則（

）A.6 B.9 C.12 D.18參考答案：C【分析】由得，然后再根據(jù)等差數(shù)列項的下標和的性質得到所求．【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則由得，整理得，所以．故選C．【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本運算和下標和的性質，運用下標和性質解題可簡化運算，提高解題的效率，屬于基礎題．2.下列四個結論：①若x＞0，則x＞sinx恒成立；②命題“若x﹣sinx=0則x=0”的逆命題為“若x≠0則x﹣sinx≠0”；③“命題p或q為真”是“命題p且q為真”的充分不必要條件；④命題“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正確結論的個數(shù)是(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】規(guī)律型；探究型；構造法；導數(shù)的概念及應用；簡易邏輯．【分析】令f（x）=x﹣sinx，利用導數(shù)分析其單調性，可判斷①；寫出原命題的逆命題，可判斷②；根據(jù)充要條件的定義，可判斷③；寫出原命題的否定，可判斷④．【解答】解：令f（x）=x﹣sinx，則f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，故f（x）=x﹣sinx在R上為增函數(shù)，故x＞0時，f（x）＞f（0）=0，即x＞sinx恒成立，故①正確；命題“若x﹣sinx=0，則x=0”的逆命題為“若x=0，則x﹣sinx=0”，故②錯誤；“命題p或q為真”時，“命題p且q為真”不一定成立，“命題p且q為真”時，“命題p或q為真”成立，故“命題p或q為真”是“命題p且q為真”的必要不充分條件，故③錯誤；④命題“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故正確．其中正確結論的個數(shù)是2個，故選：B【點評】本題考查的知識點是全稱命題的否定，四種命題，復合命題，函數(shù)的單調性，難度中檔．3.若全集，則集合的真子集共有

A．個

B．個

C．個

D．個參考答案：C略4.設a=，則二項式展開式中的x3項的系數(shù)為(

)A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．160參考答案：C【考點】二項式定理；微積分基本定理．【專題】計算題．【分析】計算定積分求得a的值，在二項式展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于3，求得r的值，即可求得展開式中的x3項的系數(shù)．解：由于a==（sinx+cosx）=﹣2，則二項式展開式的通項公式為Tr+1=?x12﹣2r?=（﹣2）r??x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，故展開式中的x3項的系數(shù)為﹣8×20=﹣160，故選C．【點評】本題主要考查求定積分，二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．5.已知拋物線的焦點為F，拋物線上一點P，若，則△POF的面積為（

）A．2

B．3

C.4

D．5參考答案：AF（1，0），K（﹣1，0），準線方程為x=﹣1，設P（x0，y0），則|PF|=x0+1=5，即x0=4，不妨設P在第一象限，則P（4，4），∴SPKF=×|FO|×|y0|=×1×4=2．

6.已知，則=（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A7.

設集合，，則=A.

B.

C.

D.U參考答案：A8.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A（8，0），以OA為直徑的圓與直線y=2x在第一象限的交點為B，則直線AB的方程為（）A. B.C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)OA為圓的直徑得OB⊥AB，故有，再根據(jù)點斜式可得直線方程．【詳解】根據(jù)OA為圓的直徑得OB⊥AB，∴由點斜式可得直線AB的方程為y-0=-（x-8），即x+2y-8=0．故選：A．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，屬中檔題．9.已知||=1，||=2，?（﹣）=0，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】由?（﹣）=0，得到，展開數(shù)量積公式，代入已知條件得答案．【解答】解：∵||=1，||=2，且?（﹣）=0，∴，即＜＞﹣1=0，∴1×2×cos＜＞=1，cos＜＞=，則向量與的夾角為．故選：C．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，是基礎的計算題．10.函數(shù)y=logmx+1（m＞0，m≠1）的圖象恒過定點M，若點M在直線ax+by=1（a＞0，b＞0）上，則+的最小值為(

)A．8 B．9 C．10 D．12參考答案：B【考點】對數(shù)函數(shù)的圖像與性質．【專題】函數(shù)的性質及應用．【分析】找到定點得：a+b=1，再代入+整理利用基本不等式就能求出．【解答】解；∵y=+1恒過定點（1，1），∴把M（1，1）代入ax+by=1得：a+b=1，∴+=（a+b）（+）=5++≥5+2=9，當且僅當=時等號成立，故答案選：B．【點評】本題主要考查直線過定點問題和基本不等式的運用．考查基礎知識的綜合運用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如題圖所示，過外一點作一條直線與交于兩點，切于，弦過的中點。已知，則

。參考答案：略12.（文）在等差數(shù)列中，若公差，且，，成等比數(shù)列，則公比________．參考答案：313.已知把向量a﹦(1,1)向右平移兩個單位，再向下平移一個單位得到向量b，則b的坐標為

參考答案：.(1,1)略14.已知F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,過F1的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A、B兩點.若ΔABF2是等邊三角形,則該雙曲線的離心率為

參考答案：略15.若函數(shù)在上可導，，則______；參考答案：因為，所以，所以，所以。16.集合，，則_________．參考答案：.,所以.17.已知△ABC，點O滿足=2，過點O的直線與線段AB及AC的延長線分別相交于點E，F(xiàn)，設=λ，=μ，則8λ+μ的最小值是_________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題共12分）如圖,四棱錐的底面是正方形,棱底面,,是的中點．(1)證明平面；(2)證明平面平面.參考答案：證明:(1)連結,設與交于點,連結.∵底面ABCD是正方形,∴為的中點,又為的中點,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)∵,是的中點,∴.∵底面,∴.又由于,,故底面,所以有.又由題意得,故.于是,由,,可得底面.故可得平面平面.略19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)R在點處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明：當N，且時，.參考答案：（1）解：∵，

∴.∵直線的斜率為，且過點，

……………1分∴即解得.

……………3分（2）解法1：由（1）得.當時，恒成立，即，等價于.

……………4分令，則.

……………5分令，則.ks5u當時，，函數(shù)在上單調遞增，故.

……………6分從而，當時，，即函數(shù)在上單調遞增，ks5u故.

……………7分因此，當時，恒成立，則.

……………8分∴所求的取值范圍是.

……………9分解法2：由（1）得.ks5u當時，恒成立，即恒成立.

……………4分令，則.方程（﹡）的判別式.（?。┊?，即時，則時，，得，故函數(shù)在上單調遞減.由于，則當時，，即，與題設矛盾.…………5分（ⅱ）當，即時，則時，.故函數(shù)在上單調遞減，則，符合題意.………6分(ⅲ)當，即時，方程（﹡）的兩根為，則時，，時，.故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，從而，函數(shù)在上的最大值為.………7分而，由（ⅱ）知，當時，，ks5u得，從而.故當時，，符合題意.

……………8分綜上所述，的取值范圍是.

……………9分（3）證明：由（2）得，當時，，可化為，…10分又，從而，.

……………11分把分別代入上面不等式，并相加得，ks5u

……………12分

……………13分.

……………14分20.（12分）已知函數(shù)f（x）=2xlnx﹣（x﹣a）2．（1）若f（x）在定義域上為單調遞減函數(shù)，求函數(shù)a的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)a，使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零點，若存在，求出滿足a∈（n，n+1），n∈Z的n的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；函數(shù)恒成立問題．【分析】（1）求導，由題意可知：f′（x）≤0恒成立，構造輔助函數(shù)，求導，利用函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，即可求得函數(shù)a的取值范圍；（2）求導，當a≤0時，f（x）在[1，+∞）單調遞減，則f（1）≤f（1）=﹣（x﹣a）2＜0無零點，當a＞0時，構造輔助函數(shù)，求導，利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系及函數(shù)零點的判斷，即可求得存在n=0即a∈（0，1），使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零點．【解答】解：（1）由已知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），求導f′（x）=2（lnx﹣x+1+a），則f（x）在定義域上單調遞減，則f′（x）≤0恒成立，則g（x）=f′（x）=2（lnx﹣x+1+a），則g′（x）=﹣2=，當x∈（0，1），g′（x）＞0，g（x）單調遞增，當x∈（1，+∞），g′（x）＜0，g（x）單調遞減，即f′（x）在（0，1）內單調遞增，在（1，+∞）單調遞減，∴f′（x）≤f′（1）≤0，則a≤0，函數(shù)a的取值范圍（﹣∞，0]；（2）當x∈（0，1），xlnx＜0，∴f（x）=2xlnx﹣（x﹣a）2＜0恒成立，當x∈（1，+∞），由（1）可知，f′（x）在[1，+∞）單調遞減，①當a≤0時，由（1）可知，f（x）在[1，+∞）單調遞減，則f（1）≤f（1）=﹣（x﹣a）2＜0，f（x）無零點，不符合題意；②當a＞0時，設p（x）=ex﹣2x，（x＞0），p′（x）=ex﹣2，則p（x）＞p（ln2）=2﹣lnx2＞0，∴f′（ea+1）=2（a+1）﹣ea+1＜0，由f′（1）＞0，∴存在x0∈（1，ea+1），使得f′（x0）=0，即a=x0﹣1﹣lnx0，①故當且僅當x∈（1，x0）時，f′（x0）＞0，當x∈（x0，+∞），f′（x0）＜0，∴f（x）在（1，x0）內單調遞增，在（x0，+∞）內單調遞減，由f（x）≤0恒成立，且f（x）有唯一的零點，∴f（x0）=2x0lnx0﹣（x0﹣a）2=0，②由①②可知：，③聯(lián)立2x0lnx0﹣（x0﹣a）2=2x0lnx0﹣[x0﹣（x0﹣1﹣lnx0）]2=2x0lnx0﹣（1+lnx0）2，設φ（x）=2xlnx﹣（1+lnx）2，則φ（1）=1＞0，φ（e）=2（2﹣e）＜0，當且x≥1時，φ′（x）=2（lnx+1）（1﹣）≥0，則φ（x）在（1，e）上有唯一零點x0，即滿足方程組③的x0唯一，且x0∈（1，e），設u（x）=x﹣1﹣lnx（x＞1），則u′（x）=1﹣≥0，則u（x）在（1，+∞）上單調遞增，則0=u（1）＜a=u（x0）＜u（e）=e﹣2＜1，即滿足方程組③的a∈（0，1），則n=0，綜上所述，存在n=0即a∈（0，1），使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零點．【點評】本題考查導數(shù)的綜合應用，導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系，函數(shù)零點的判斷，考查分類討論思想，考查計算能力，屬于難題．21.某皮革公司旗下有許多手工足球作坊為其生產足球，公司打算生產兩種不同類型的足球，一款叫“飛火流星”，另一款叫“團隊之星”．每生產一個“飛火流星”足球，需要橡膠100g，皮革300g；每生產一個“團隊之星”足球，需要橡膠50g，皮革400g．且一個“飛火流星”足球的利潤為40元，一個“團隊之星”足球的利潤為30元．現(xiàn)旗下某作坊有橡膠材料2.5kg，皮革12kg．（1）求該作坊可獲得的最大利潤；（2）若公司規(guī)定各作坊有兩種方案可供選擇，方案一：作坊自行出售足球，則所獲利潤需上繳10%方案二：作坊選擇由公司代售，則公司不分足球類型，一律按相同的價格回收，作坊每個球獲得30元的利潤．若作坊所生產的足球可全部售出，請問該作坊選擇哪種方案更劃算？請說明理由．參考答案：【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】（1）設該作坊生產“飛火流星”足球x個，“團隊之星”足球y個，作坊獲得的利潤為z元．則即，目標函數(shù)z=40x+30y，（x，y∈N