20101106幾種不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型

函數(shù)模型及其應(yīng)用幾種不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型澳大利亞兔子數(shù)“爆炸”有一大群喝水、嬉戲的兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋．1859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒(méi)有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領(lǐng)了整個(gè)澳大利亞，數(shù)量達(dá)到75億只．可愛(ài)的兔子變得可惡起來(lái)，75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口．這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣．例題：例1、假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多 回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前 一天翻一番。請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案呢？思考投資方案選擇原則：投入資金相同，回報(bào)量多者為優(yōu)比較三種方案每天回報(bào)量(2)比較三種方案一段時(shí)間內(nèi)的總回報(bào)量

哪個(gè)方案在某段時(shí)間內(nèi)的總回報(bào)量最多，我們就在那段時(shí)間選擇該方案。分析我們可以先建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過(guò)比較它們的增長(zhǎng)情況，為選擇投資方案提供依據(jù)。解：設(shè)第x天所得回報(bào)為y元，則方案一：每天回報(bào)40元；y=40(x∈N*)方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回 報(bào)10元； y=10x(x∈N*)方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。

y=0.4×2x-1(x∈N*)x/天方案一方案二方案三y/元增長(zhǎng)量/元y/元增長(zhǎng)量/元y/元增長(zhǎng)量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.2…………………3040030010214748364.8107374182.4下面利用圖象從整體上把握不同函數(shù)模型的增長(zhǎng)：

我們看到，底為2的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長(zhǎng)速度要快得多。從中體會(huì)“指數(shù)爆炸”的含義。4080120160y２４６８1012xoy=40y=10x累積回報(bào)表天數(shù)方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8結(jié)論投資1~6天，應(yīng)選擇第一種投資方案；投資7天，應(yīng)選擇第一或二種投資方案；投資8~10天，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇第三種投資方案。

例題的啟示解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：實(shí)際問(wèn)題讀懂問(wèn)題抽象概括數(shù)學(xué)問(wèn)題演算推理數(shù)學(xué)問(wèn)題的解還原說(shuō)明實(shí)際問(wèn)題的解例2、某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門(mén)的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨著銷售利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，但資金數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%?，F(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求呢？我們不妨先作出函數(shù)圖象：通過(guò)觀察函數(shù)圖象得到初步結(jié)論：按對(duì)數(shù)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)符合公司的要求。400600800100020012345678xyo對(duì)數(shù)增長(zhǎng)模型比較適合于描述增長(zhǎng)速度平緩的變化規(guī)律。y=5y=0.25x(1)、由函數(shù)圖象可以看出，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x=1000時(shí)，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎(jiǎng)金不超過(guò)5萬(wàn)元的要求。模型y=log7x+1(2)、再計(jì)算按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25%，即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，是否有成立。令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000].利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此f(x)<f(10)≈-0.3167<0,即log7x+1<0.25x所以，當(dāng)x∈[10,1000]，探究

我們知道，對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)在區(qū)間上都是增函數(shù)。從上述兩個(gè)例子可以看到，這三類函數(shù)的增長(zhǎng)是有差異的。那么，這種差異的具體情況到底怎樣呢？

下面，我們不妨先以函數(shù)為例進(jìn)行探究。表3-5

但是,當(dāng)自變量要越來(lái)越大時(shí)，可以看到，的圖象就像與軸垂直一樣，的值快速增長(zhǎng)，比起來(lái)，幾乎有些微不足道，如圖3.2-6和表3-7所示。結(jié)論1：一般地，對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)，通過(guò)探索可以發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間(0,+∞)上，無(wú)論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)，ax會(huì)小xn，但由于ax的增長(zhǎng)快于xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就會(huì)有ax>xn.結(jié)論2：一般地，對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)，通過(guò)探索可以發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間(0,+∞)上，隨著x的增大，logax增大得越來(lái)越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣。盡管在x的一定范圍內(nèi)，logax可能會(huì)小xn，但由于logax的增長(zhǎng)慢于xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就會(huì)有l(wèi)ogax<xn.綜上所述：(1)、在區(qū)間(0,+∞)上，y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù)。(2)、隨著x的增大，y=ax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n>0)的增長(zhǎng)速度。(3)、隨著x的增大，y=logax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，