二章數(shù)學(xué)模型概述課件

第二章數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)(I)2.1數(shù)學(xué)模型的定義和分類2.2模型的建立2.3模型參數(shù)的估值方法2.4模型的驗(yàn)證與誤差分析2.5靈敏度分析2.1數(shù)學(xué)模型的定義和分類一、數(shù)學(xué)模型的定義和特征定義：2.特征：抽象性多變量模擬；方便考察;

節(jié)省費(fèi)用、研究周期短；局限性

人的認(rèn)識能力有限；求解計算過程中的累積誤差；系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與參數(shù)的不確定性（------適用區(qū)間）

建立和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的重要原則——尊重客觀、尊重實(shí)際數(shù)學(xué)模型=公式+算法——簡潔明晰；——抽象和簡化——失真二、數(shù)學(xué)模型的分類從不同的角度可以對模型作各種形式的分類：按變量與時間的關(guān)系：動態(tài)模型和靜態(tài)模型按變量之間的關(guān)系：線性模型和非線性模型按變量的變化規(guī)律：確定性模型和隨機(jī)模型按模型的用途：模擬模型和管理模型按模型參數(shù)的性質(zhì)：集中參數(shù)模型和分布參數(shù)模型一、基本方法與思想

1.演繹法

--------對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的認(rèn)識和理解

2.歸納法

---------對系統(tǒng)的輸入和輸出的觀測數(shù)據(jù)2.2模型的建立機(jī)理模型經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ投?建立模型的基本要求1.真實(shí)可靠

理論推導(dǎo)-----嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)據(jù)資料-----可靠（質(zhì)量保證）檢驗(yàn)合格2.精確易解

考慮主要變量，分析主要問題；改變變量的性質(zhì)：不重要的變量--------常量

連續(xù)變量--------線性離散變量--------連續(xù)變量改變變量的函數(shù)關(guān)系；注意特征尺度。3.模型中應(yīng)有可控變量（可操縱變量）

應(yīng)該有一個或多個可控變量，否則不能付諸實(shí)用精確復(fù)雜易解簡單數(shù)據(jù)的收集與分析模型結(jié)構(gòu)的選擇

白箱模型（機(jī)理模型）——質(zhì)量平衡建立微分方程灰箱模型（半機(jī)理模型）黑箱模型（輸入-輸出模型，純經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停┕こ虒?shí)際中，應(yīng)用較多的是灰箱模型模型參數(shù)的估計模型的檢驗(yàn)和修正二、建立模型的過程觀測數(shù)據(jù)組Ⅰ觀測數(shù)據(jù)組Ⅱ模型結(jié)構(gòu)選擇參數(shù)估計檢驗(yàn)和驗(yàn)證模型應(yīng)用三.建模的幾種方法1.圖解建模法2.質(zhì)量平衡法3.因次分析法4.概率統(tǒng)計法5.數(shù)量化理論預(yù)測法6.灰色系統(tǒng)建模法1.圖解建模法管道鋪設(shè)情況關(guān)鍵路法(CriticalPathMethod---CPM)3.因次分析法①自然界物理現(xiàn)象的規(guī)律，可以用完整的物理公式來表示；②完整的物理公式不隨所采用的單位不同而改變公式的形式；③完整的物理公式必須符合因次和諧的條件；④因次和諧的條件為各個變量積的基本因此指數(shù)彼此相等。因次分析的主要作用（1）幫助認(rèn)識物理現(xiàn)象之內(nèi)在規(guī)律，有助于判斷模型定律之選擇；（2）指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)方向，減少分析實(shí)驗(yàn)資料的變量數(shù)目；（3）校核公式。4.概率統(tǒng)計法1）回歸分析①一元線性回歸②多元線性回歸③非線性回歸2）時間序列預(yù)測①滑動平均法②加權(quán)滑動平均法③指數(shù)平均法5.數(shù)量化理論預(yù)測法6.灰色系統(tǒng)建模法2.3模型參數(shù)的估值方法圖解法最小二乘法網(wǎng)格法(窮舉法）最優(yōu)化方法經(jīng)驗(yàn)公式計算法一.圖解法估參二.最小二乘法估參三.網(wǎng)格法（窮舉法）估參四.最優(yōu)化方法(梯度法)估參2.4模型的驗(yàn)證與誤差分析圖形表示法：相關(guān)系數(shù)法：

r相對誤差法

模型驗(yàn)證所用的數(shù)據(jù)對于參數(shù)估值來說應(yīng)該是獨(dú)立的。一個模型是否滿足使用要求，以模型的計算結(jié)果和實(shí)際觀測數(shù)據(jù)之間的吻合程度——誤差來判斷。一、靈敏度分析的意義模型的穩(wěn)健性-------Robustness（魯棒性）觀測值存在的誤差與波動所估參數(shù)存在的誤差與波動模擬計算的誤差與波動

有助于設(shè)計低靈敏度系統(tǒng)；有助于確定合理的設(shè)計裕量。2.5靈敏度分析

——系統(tǒng)的狀態(tài)向量，由描述系統(tǒng)的各種狀態(tài)組成，如河流中的

BOD、大氣中的SO2濃度等；——系統(tǒng)的決策向量，由系統(tǒng)中的可以控制的變量組成，如污染源排放的SO2、TSP的量；——系統(tǒng)的參數(shù)向量，由系統(tǒng)中的各種參數(shù)組成，如污染物的衰減速度常數(shù)、河流的彌散系數(shù)Dy、Dz等；在環(huán)境系統(tǒng)的模擬、控制中，靈敏度的研究主要包括兩個方面:一是狀態(tài)與目標(biāo)對參數(shù)的靈敏度,即參數(shù)的估計誤差一定會對狀態(tài)和目標(biāo)產(chǎn)生影響，這種影響有多大?如何確定參數(shù)估計的必要精度?另一個是目標(biāo)對決策的靈敏度在污染控制規(guī)劃中，決策變量（如水質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)的選擇)的變化對目標(biāo)（如費(fèi)用）有很大的影響，如何確定這種影響的大小？如何確定合理的決策變量？――約束函數(shù)，符號S.t表示系統(tǒng)的約束條件。定義：在某取值點(diǎn)附近，狀態(tài)或目標(biāo)的變化率與參數(shù)變化率的比值研究內(nèi)容：⑴根據(jù)參數(shù)的變化范圍估計目標(biāo)或狀態(tài)的靈敏度⑵目標(biāo)對狀態(tài)的靈敏度二.狀態(tài)與目標(biāo)對參數(shù)的靈敏度⑶考慮合理的設(shè)計容量⑷為設(shè)計合理的靈敏度系統(tǒng)提供依據(jù)1.單變量時的靈敏度一個最優(yōu)化模型通常由狀態(tài)方程和目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成,狀態(tài)方程表達(dá)周圍環(huán)境條件的約束:當(dāng)狀態(tài)變量和參數(shù)的數(shù)目都為1,