人教A版高中數(shù)學選擇性必修空間向量及其線性運算

1.1.1空間向量及其線性運算激趣誘思知識點撥一天,梭子魚、蝦和天鵝發(fā)現(xiàn)路上有一輛車裝滿了好吃的東西,于是就想把車子從路上拖下來,三個家伙一齊鉚足了勁,使出了平生的力氣一起拖車,可是,無論它們怎樣用力,小車還是在老地方一步也不動.原來,天鵝使勁往天上提,蝦一步步向后倒拖,梭子魚又朝著池塘拉去.同學們,你知道為什么車會一動不動嗎?激趣誘思知識點撥一、空間向量的定義及相關概念1.定義在空間,我們把具有

和

的量叫做空間向量,空間向量的大小叫做空間向量的

.

2.空間向量及其模的表示方法空間向量用字母a,b,c,…表示.若向量a的起點是A,終點是B,則向量a也可以記作

,其模記大小

方向

長度或模

激趣誘思知識點撥3.空間向量的相關概念

平行或重合

激趣誘思知識點撥名師點析1.空間向量只有大小和方向,同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量,即向量可以在空間中平移.2.我們規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量a,都有0∥a.激趣誘思知識點撥微思考涉及空間兩個向量的問題,平面向量中的有關結(jié)論是否仍然適用?提示:適用.激趣誘思知識點撥微練習(多選題)下列命題正確的是(

)A.若向量a與b的方向相反,則稱向量a與b為相反向量B.零向量沒有方向C.若a是單位向量,則|a|=1D.若向量m,n,p滿足m=n,n=p,則一定有m=p答案:CD

解析:單位向量是指模等于1的向量,所以若a是單位向量,則必有|a|=1,即選項C正確;由向量相等的定義,知m與p方向相同,模相等,故一定有m=p,選項D正確.激趣誘思知識點撥二、空間向量的線性運算

激趣誘思知識點撥微練習1已知空間四邊形ABCD中,A.a+b-c

B.c-a-bC.c+a-b D.c+a+b答案:B激趣誘思知識點撥微練習2已知空間四邊形ABCD,M,G分別是BC,CD的中點,連接AM,AG,MG,答案:A激趣誘思知識點撥三、共線向量與共面向量1.互相平行或重合

同一個平面

a=λbp=xa+yb激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥2.如圖,O是直線l上一點,在直線l上取非零向量a,則對于直線l上任意一點P,由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知,存在實數(shù)λ,使得

=λa.我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的

.這樣,直線l上任意一點都可以由直線l上的一點和它的方向向量表示,也就是說,直線可以由其上一點和它的方向向量確定.

方向向量

激趣誘思知識點撥名師點析共線向量的特點及三點共線的充要條件(1)共線向量不具有傳遞性因為零向量0=0·a,所以零向量和空間任一向量a是共線(平行)向量,這一性質(zhì)使共線向量不具有傳遞性,即若a∥b,b∥c,則a∥c不一定成立.因為當b=0時,a∥0,0∥c,但a與c不一定共線.(2)空間三點共線的充要條件激趣誘思知識點撥微練習1滿足下列條件,能說明空間不重合的A,B,C三點共線的是(

)答案:C激趣誘思知識點撥微練習2對于空間的任意三個向量a,b,2a-b,它們一定是(

)A.共面向量B.共線向量C.不共面向量D.既不共線也不共面的向量答案:A解析:因為2a-b=2·a+(-1)·b,激趣誘思知識點撥微判斷判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若a與b共線,b與c共線,則a與c共線.(

)(2)若向量a,b,c共面,即表示這三個向量的有向線段所在的直線共面.(

)(3)若a∥b,則存在唯一的實數(shù)λ,使a=λb.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間向量及相關概念的理解

解析:①錯誤,在同一條直線上的單位向量,方向可能相同,也可能相反,故它們不一定相等;②正確,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;②③

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟空間向量概念的辨析(1)向量的兩個要素是大小與方向,兩者缺一不可;(2)單位向量的方向雖然不一定相同,但長度一定為1;(3)兩個向量的模相等,即它們的長度相等,但方向不確定,即兩個向量(非零向量)的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件;(4)由于方向不能比較大小,因此“大于”“小于”對向量來說是沒有意義的,但向量的模是可以比較大小的.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1下列說法正確的是(

)A.若|a|=|b|,則a,b的長度相同,方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量,則|a|=|b|C.兩個向量相等,若它們的起點相同,則其終點不一定相同D.若|a|>|b|,|b|>|c|,則a>c答案:B

解析:兩個向量是相反向量時,它們的模必相等,故選項B正確.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間向量的線性運算

思路分析根據(jù)數(shù)乘向量及三角形法則,平行四邊形法則求解.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟空間向量線性運算的技巧和思路(1)空間向量加法、減法運算的兩個技巧①巧用相反向量:向量加減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法運算的關鍵,靈活應用相反向量可使有關向量首尾相接,從而便于運算.②巧用平移:利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量的加法、減法運算時,務必要注意和向量、差向量的方向,必要時可采用空間向量的自由平移獲得更準確的結(jié)果.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(2)化簡空間向量的常用思路①分組:合理分組,以便靈活運用三角形法則、平行四邊形法則進行化簡.②多邊形法則:在空間向量的加法運算中,若是多個向量求和,還可利用多邊形法則,若干個向量的和可以將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和.③走邊路:靈活運用空間向量的加法、減法法則,盡量走邊路(即沿幾何體的邊選擇途徑).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間共線向量定理及其應用

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟利用空間向量共線定理可解決的主要問題1.判斷兩向量是否共線:判斷兩向量a,b(b≠0)是否共線,即判斷是否存在實數(shù)λ,使a=λb.2.求解參數(shù):已知兩非零向量共線,可求其中參數(shù)的值,即利用“若a∥b,則a=λb(λ∈R)”.3.判斷或證明空間中的三點(如P,A,B)是否共線:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:∵M,N分別是AC,BF的中點,且四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測空間共面向量定理及其應用

(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi).

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟證明共面問題的基本方法(1)證明兩個空間向量共面時,可以利用共面向量的充要條件,也可直接利用共面向量的定義,通過線面平行、直線在平面內(nèi)等進行證明.(2)證明空間四點P,M,A,B共面時,可以通過以下幾種條件進行證明.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練4已知A,B,C三點不共線,點O是平面ABC外的任意一點,若點P分別滿足下列關系:試判斷點P是否與點A,B,C共面.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測一題多變——空間向量的加法、減法運算

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)根據(jù)六棱柱的性質(zhì)知四邊形BB1C1C,DD1E1E都是平行四邊形,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測方法總結(jié)在進行減法運算時,可將減去一個向量轉(zhuǎn)化為加上這個向量的相反向量,而在進行加法運算時,首先考慮這兩個向量在哪個平面內(nèi),然后與平面向量求和一樣,運用向量運算的平行四邊形法則、三角形法則及多邊形法則來求.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測1.“兩個非零空間向量的模相等”是“兩個空間向量相等”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件2.在平行六面體ABCD-A‘B’C‘D’中,與向量

相等的向量共有(

)A.1個

B.2個

C.3個

D.4個答案:B

解析:兩個向量相等是指兩個向量的模相等并且方向相同,因此“兩個非零向量的模相等”是“兩個向量相等”的必要不充分條件.答案:C

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測3.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,點M為A1C1與B1D1的交答案:B

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測4.下列條件使點M與點A,B,C一定共面的是(

)

答案:D