附錄Ⅰ-平面圖形的幾何性質(zhì)課件

平面圖形的幾何性質(zhì)選擇材料——與材料的機(jī)械性質(zhì)有關(guān)確定尺寸——與截面大小、形狀有關(guān)拉壓：應(yīng)力均布，僅需滿足， 不考慮形狀；扭轉(zhuǎn)：應(yīng)力不均布，出現(xiàn)， 在面積A相同，但形狀不同的情況下，應(yīng)力分布不同。任務(wù)靜矩：平面圖形面積對某軸的一次矩oyzdA

yz靜矩可正，可負(fù)，也可能等于零。yzo

dA

yzyCc幾何意義：形心位置與軸的距離大小。圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心。注：平面圖形靜矩是對某一坐標(biāo)軸而言的，同一圖形對不同的坐標(biāo)軸，其靜矩也不同。量綱是長度的三次方若某一軸通過平面圖形的形心，則圖形對該軸的靜矩等于零。

由幾個簡單圖形組成的截面稱為組合截面組合圖形對某一軸的靜矩等于各組成部分對同一軸靜矩的代數(shù)和注1：組合圖形形心計算公式也適用于負(fù)面積情況，但要記住面積為負(fù)號例Ⅰ-1

圖示拋物線的方程為,計算由拋物線、y軸和z軸所圍成的平面圖形對y軸和z軸的靜矩Sy和Sz，并確定圖形的形心c的坐標(biāo)。解：先求對z軸的靜矩Sz例I-2:

已知：截面尺寸如圖。求：該截面的形心位置。慣性矩Momentofinertia

：平面圖形對某一軸的二次矩慣性矩恒為正，量綱是長度的四次方分別稱為圖形對軸y和對軸z的慣性半徑，其量綱為長度。zyyzdA若以ρ表示微面積到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離,則——圖形對坐標(biāo)原點(diǎn)O的極慣性矩，圖形對任意兩個互相垂直軸的慣性矩之和，等于它對該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。zyyzdAρ例Ⅰ-3

矩形的高為h，寬為b，試計算矩形對其對稱軸y和z的慣性矩的Iy

、Iz慣性積則可能為正值，負(fù)值，也可能等于零。圖形對y、z兩軸的慣性積zyyzdA在何種條件下，圖形對坐標(biāo)軸的慣性積為零？圖形的對稱軸，若坐標(biāo)軸中有一個為則圖形對該對坐標(biāo)軸慣性積一定等于零yz若則該對坐標(biāo)軸稱為主慣性軸（主軸）。對稱軸一定是主軸，主軸主軸不一定是對稱軸zy對形心主慣性軸的矩。主慣性軸：圖形對一對正交的坐標(biāo)軸的慣性積等于零;主慣性矩：對主慣性軸的慣性矩。形心主慣性軸：通過圖形形心的主慣性軸。形心主慣性矩：幾個常用概念★例Ⅰ-3求圖示圓形截面的Iy

，Iz，IP

。由于圓截面對稱的原因，則有實(shí)心圓截面空心圓截面工程問題的許多截面（工字、丁字、槽形等）是簡單截面（如矩形）的組合，總慣性矩=分慣性矩之和，而分慣性矩在各自的形心坐標(biāo)系中計算.

將分慣性矩轉(zhuǎn)換到總形心坐標(biāo)系時，要考慮坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的影響,分坐標(biāo)系與總形心坐標(biāo)系通常是平行關(guān)系，于是就抽象出慣性矩計算的平行移軸

問題圖形對形心軸yC、zC的慣性矩和慣性積：則圖形對坐標(biāo)軸y的慣性矩為：zyzcycdAbayczcCyzzyzcycdAbayczcCyz同理得到：慣性積——慣性矩和慣性積的平行移軸公式結(jié)論：同一平面內(nèi)對相互平行軸的慣性矩，形心軸的最小。組合截面的慣性矩慣性積實(shí)質(zhì)——1、數(shù)學(xué)，不是力學(xué)

2、顛倒了學(xué)科發(fā)展順序（歷史是：彎曲內(nèi)力—彎曲應(yīng)力—慣性矩）目的——1、翦除彎曲前面的攔路虎之一（慣性矩)

2、從更高的觀點(diǎn)，統(tǒng)一截面幾何性質(zhì)

20cm3173例1：T字形截面,求其對形心軸的慣矩。(1)求形心zyC任選參考坐標(biāo)系,(2)求20cm3173zyCIII轉(zhuǎn)軸公式

逆時針轉(zhuǎn)取為+號，zyy１z1dAαy1z1yzα同理改寫為并且主軸的方位主慣性矩計算主慣性矩的第一組公式求慣性矩的極值00+從而確定了一對坐標(biāo)軸yo和zo00+的方位上慣性積Iy1z1=0該對坐標(biāo)軸是圖形的主軸慣性矩的極值方位就是主軸方位★圖形對主軸y0z0

的主慣性矩計算圖形對主軸的慣性矩幾個結(jié)論1圖形對過一點(diǎn)的任意一對正交軸的慣性矩之和保持常量；2在過同一點(diǎn)的所有正交軸中，圖形對主軸的慣性矩另一個為最小值；一個為最大值，3此公式適用于水平軸為y軸

1確定形心的位置2

選擇一對通過形心且便于計算慣性矩（積）的坐標(biāo)軸yc

，zc,求形心主慣性矩的步驟計算圖形對形心軸的慣性矩

Iy,Iz

和慣性積

Iyz

3確定主慣性軸的位置00+4

計算形心主慣性矩5

方位與形心主慣性矩的對應(yīng)關(guān)系如果00+中，絕對值較小者對應(yīng)慣性矩的最大值確定圖形的形心主軸位置，并計算形心主慣性矩7070160111111（1）首先確定圖形的形心。(2)利用平行移軸公式分別求出各矩形對y軸和z軸的慣性矩和慣性積

矩形I7070160111111yz矩形Ⅱ：矩形Ⅲ：7070160111111yz整個圖形對軸和軸的慣性矩和慣性積為（3）形心主軸方位逆時針旋轉(zhuǎn)7070160111111yzy1z1（4）00+90的兩個值分別確定了形心主軸位置7070160