附錄Ⅰ-平面圖形的幾何性質(zhì)課件

平面圖形的幾何性質(zhì)選擇材料——與材料的機(jī)械性質(zhì)有關(guān)確定尺寸——與截面大小、形狀有關(guān)拉壓：應(yīng)力均布，僅需滿足， 不考慮形狀；扭轉(zhuǎn)：應(yīng)力不均布，出現(xiàn)， 在面積A相同，但形狀不同的情況下，應(yīng)力分布不同。任務(wù)靜矩：平面圖形面積對(duì)某軸的一次矩oyzdA

yz靜矩可正，可負(fù)，也可能等于零。yzo

dA

yzyCc幾何意義：形心位置與軸的距離大小。圖形對(duì)某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心。注：平面圖形靜矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸而言的，同一圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸，其靜矩也不同。量綱是長(zhǎng)度的三次方若某一軸通過平面圖形的形心，則圖形對(duì)該軸的靜矩等于零。

由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的截面稱為組合截面組合圖形對(duì)某一軸的靜矩等于各組成部分對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和注1：組合圖形形心計(jì)算公式也適用于負(fù)面積情況，但要記住面積為負(fù)號(hào)例Ⅰ-1

圖示拋物線的方程為,計(jì)算由拋物線、y軸和z軸所圍成的平面圖形對(duì)y軸和z軸的靜矩Sy和Sz，并確定圖形的形心c的坐標(biāo)。解：先求對(duì)z軸的靜矩Sz例I-2:

已知：截面尺寸如圖。求：該截面的形心位置。慣性矩Momentofinertia

：平面圖形對(duì)某一軸的二次矩慣性矩恒為正，量綱是長(zhǎng)度的四次方分別稱為圖形對(duì)軸y和對(duì)軸z的慣性半徑，其量綱為長(zhǎng)度。zyyzdA若以ρ表示微面積到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離,則——圖形對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O的極慣性矩，圖形對(duì)任意兩個(gè)互相垂直軸的慣性矩之和，等于它對(duì)該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。zyyzdAρ例Ⅰ-3

矩形的高為h，寬為b，試計(jì)算矩形對(duì)其對(duì)稱軸y和z的慣性矩的Iy

、Iz慣性積則可能為正值，負(fù)值，也可能等于零。圖形對(duì)y、z兩軸的慣性積zyyzdA在何種條件下，圖形對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零？圖形的對(duì)稱軸，若坐標(biāo)軸中有一個(gè)為則圖形對(duì)該對(duì)坐標(biāo)軸慣性積一定等于零yz若則該對(duì)坐標(biāo)軸稱為主慣性軸（主軸）。對(duì)稱軸一定是主軸，主軸主軸不一定是對(duì)稱軸zy對(duì)形心主慣性軸的矩。主慣性軸：圖形對(duì)一對(duì)正交的坐標(biāo)軸的慣性積等于零;主慣性矩：對(duì)主慣性軸的慣性矩。形心主慣性軸：通過圖形形心的主慣性軸。形心主慣性矩：幾個(gè)常用概念★例Ⅰ-3求圖示圓形截面的Iy

，Iz，IP

。由于圓截面對(duì)稱的原因，則有實(shí)心圓截面空心圓截面工程問題的許多截面（工字、丁字、槽形等）是簡(jiǎn)單截面（如矩形）的組合，總慣性矩=分慣性矩之和，而分慣性矩在各自的形心坐標(biāo)系中計(jì)算.

將分慣性矩轉(zhuǎn)換到總形心坐標(biāo)系時(shí)，要考慮坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的影響,分坐標(biāo)系與總形心坐標(biāo)系通常是平行關(guān)系，于是就抽象出慣性矩計(jì)算的平行移軸

問題圖形對(duì)形心軸yC、zC的慣性矩和慣性積：則圖形對(duì)坐標(biāo)軸y的慣性矩為：zyzcycdAbayczcCyzzyzcycdAbayczcCyz同理得到：慣性積——慣性矩和慣性積的平行移軸公式結(jié)論：同一平面內(nèi)對(duì)相互平行軸的慣性矩，形心軸的最小。組合截面的慣性矩慣性積實(shí)質(zhì)——1、數(shù)學(xué)，不是力學(xué)

2、顛倒了學(xué)科發(fā)展順序（歷史是：彎曲內(nèi)力—彎曲應(yīng)力—慣性矩）目的——1、翦除彎曲前面的攔路虎之一（慣性矩)

2、從更高的觀點(diǎn)，統(tǒng)一截面幾何性質(zhì)

20cm3173例1：T字形截面,求其對(duì)形心軸的慣矩。(1)求形心zyC任選參考坐標(biāo)系,(2)求20cm3173zyCIII轉(zhuǎn)軸公式

逆時(shí)針轉(zhuǎn)取為+號(hào)，zyy１z1dAαy1z1yzα同理改寫為并且主軸的方位主慣性矩計(jì)算主慣性矩的第一組公式求慣性矩的極值00+從而確定了一對(duì)坐標(biāo)軸yo和zo00+的方位上慣性積Iy1z1=0該對(duì)坐標(biāo)軸是圖形的主軸慣性矩的極值方位就是主軸方位★圖形對(duì)主軸y0z0

的主慣性矩計(jì)算圖形對(duì)主軸的慣性矩幾個(gè)結(jié)論1圖形對(duì)過一點(diǎn)的任意一對(duì)正交軸的慣性矩之和保持常量；2在過同一點(diǎn)的所有正交軸中，圖形對(duì)主軸的慣性矩另一個(gè)為最小值；一個(gè)為最大值，3此公式適用于水平軸為y軸

1確定形心的位置2

選擇一對(duì)通過形心且便于計(jì)算慣性矩（積）的坐標(biāo)軸yc

，zc,求形心主慣性矩的步驟計(jì)算圖形對(duì)形心軸的慣性矩

Iy,Iz

和慣性積

Iyz

3確定主慣性軸的位置00+4

計(jì)算形心主慣性矩5

方位與形心主慣性矩的對(duì)應(yīng)關(guān)系如果00+中，絕對(duì)值較小者對(duì)應(yīng)慣性矩的最大值確定圖形的形心主軸位置，并計(jì)算形心主慣性矩7070160111111（1）首先確定圖形的形心。(2)利用平行移軸公式分別求出各矩形對(duì)y軸和z軸的慣性矩和慣性積

矩形I7070160111111yz矩形Ⅱ：矩形Ⅲ：7070160111111yz整個(gè)圖形對(duì)軸和軸的慣性矩和慣性積為（3）形心主軸方位逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)7070160111111yzy1z1（4）00+90的兩個(gè)值分別確定了形心主軸位置7070160