高中數(shù)學(xué)人教A版余弦定理的推導(dǎo)

高一年級(jí)數(shù)學(xué)余弦定理的推導(dǎo)知識(shí)回顧C(jī)BA三角形中的元素三角形中的元素表示三角形中的元素表示在△ABC中三角形中的元素表示在△ABC中三個(gè)角A，B，C三條對(duì)邊a，b，c

三角形中的元素表示在△ABC中CBAabc三個(gè)角A，B，C三條對(duì)邊a，b，c三角形中的元素表示關(guān)系三角形中的元素表示關(guān)系邊的關(guān)系三角形中的元素表示關(guān)系兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊.邊的關(guān)系不等關(guān)系三角形中的元素表示關(guān)系

在Rt△ACB中

baACBc邊的關(guān)系不等關(guān)系勾股定理三角形中的元素表示關(guān)系邊的關(guān)系不等關(guān)系角的關(guān)系勾股定理三角形中的元素表示關(guān)系邊的關(guān)系不等關(guān)系角的關(guān)系內(nèi)角和勾股定理三角形中的元素表示關(guān)系邊的關(guān)系不等關(guān)系角的關(guān)系邊角關(guān)系內(nèi)角和勾股定理三角形中的元素表示邊的關(guān)系關(guān)系不等關(guān)系角的關(guān)系邊角關(guān)系內(nèi)角和對(duì)應(yīng)關(guān)系大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊.勾股定理三角形中的元素表示邊的關(guān)系關(guān)系不等關(guān)系角的關(guān)系邊角關(guān)系內(nèi)角和對(duì)應(yīng)關(guān)系勾股定理銳角三角函數(shù)

baACBc三角形中的元素表示邊的關(guān)系關(guān)系不等關(guān)系角的關(guān)系邊角關(guān)系內(nèi)角和對(duì)應(yīng)關(guān)系勾股定理銳角三角函數(shù)三角形之間的關(guān)系全等相似三角形之間的關(guān)系三角形之間的關(guān)系全等相似兩角分別相等判定三邊成比例兩邊成比例且夾角相等兩角分別相等三角形之間的關(guān)系判定全等相似三邊成比例兩邊成比例且夾角相等SASSSSASAAAS判定三角形之間的關(guān)系兩角分別相等判定全等相似三邊成比例兩邊成比例且夾角相等SASSSSASAAAS判定相似比等于1三角形之間的關(guān)系兩角分別相等判定全等相似三邊成比例兩邊成比例且夾角相等SASSSSASAAAS判定相似比等于1三角形之間的關(guān)系兩角分別相等判定全等相似三邊成比例兩邊成比例且夾角相等SASSSSASAAAS判定SAS

思考：

SAS定性兩個(gè)三角形全等

思考：

SAS定性兩個(gè)三角形全等三角形唯一確定

思考：

SAS定性兩個(gè)三角形全等三角形唯一確定其他元素確定

思考：

SAS定性兩個(gè)三角形全等三角形唯一確定其他元素確定

思考：

SAS定性兩個(gè)三角形全等三角形唯一確定其他元素確定？

思考：

定量？SAS定性兩個(gè)三角形全等三角形唯一確定其他元素確定

思考：

探究思考

探究：

在△ABC中，三個(gè)角A，B，C

所對(duì)的邊分別是a，b，c，

怎樣用a，b和C表示c？

CBAabc？？表示c在△ABC中，已知a，b，C

思路1：

表示c一般三角形在△ABC中，已知a，b，C？

思路1：

表示c一般三角形直角三角形？在△ABC中，已知a，b，C

思路1：

表示c一般三角形直角三角形轉(zhuǎn)化在△ABC中，已知a，b，C？

思路1：

表示c一般三角形直角三角形表示邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化在△ABC中，已知a，b，C？

思路1：

表示c一般三角形直角三角形轉(zhuǎn)化在△ABC中，已知a，b，C？表示邊長(zhǎng)作高

思路1：

在△ABC中，已知a，b，C表示c一般三角形直角三角形勾股定理作高轉(zhuǎn)化？表示邊長(zhǎng)

思路1：

一般三角形直角三角形表示邊長(zhǎng)勾股定理作高

思路1：

一般三角形直角三角形CBAabcDFE表示邊長(zhǎng)勾股定理作高

思路1：

一般三角形直角三角形CBAabcDFE表示邊長(zhǎng)勾股定理作高

思路1：

一般三角形直角三角形CBAabcD表示邊長(zhǎng)勾股定理作高

思路1：

勾股定理

一般三角形直角三角形CBAabcD表示邊長(zhǎng)作高

思路1：

baACBc一般三角形直角三角形CBAabcD表示邊長(zhǎng)勾股定理作高

思路1：

一般三角形直角三角形表示邊長(zhǎng)

baACBc

CBAabcD勾股定理作高

思路1：

一般三角形直角三角形

bAacCB

baACBc

CBAabcD表示邊長(zhǎng)勾股定理作高

思路1：

一般三角形直角三角形作高

baACBc

CBAabcD

bAacCBD表示邊長(zhǎng)勾股定理

思路1：

解法1：

(1)當(dāng)C為銳角時(shí)，

CBAbca？

解法1：

(1)當(dāng)C為銳角時(shí)，

CBAbcDa？

解法1：

(1)當(dāng)C為銳角時(shí)，

CBAbcDa？

解法1：

(1)當(dāng)C為銳角時(shí)，

CBAbcDa？

解法1：

(1)當(dāng)C為銳角時(shí)，

在Rt△ADC中，

bsinCCBAbcDa？

解法1：

(1)當(dāng)C為銳角時(shí)，

在Rt△ADC中，

bcosCbsinCCBAbcDa？

解法1：

(1)當(dāng)C為銳角時(shí)，

在Rt△ADC中，

所以bcosCbsinCCBAbcDa？

解法1：

(1)當(dāng)C為銳角時(shí)，

在Rt△ADC中，

所以bcosCbsinCCBAbcDa？

解法1：

CBAbcDa？

解法1：

在Rt△ADB中，

CBAbcDa？

解法1：

在Rt△ADB中，

CBAbcDa？

解法1：

在Rt△ADB中，

CBAbcDa？

解法1：

在Rt△ADB中，

CBAbcDa？

解法1：

在Rt△ADB中，

CBAbcDa？

解法1：

在Rt△ADB中，

CBAbcDa？

解法1：

在Rt△ADB中，

所以CBAbcDa？

解法1：

在Rt△ADB中，

所以CBAbcDa？

解法1：

(2)當(dāng)C為直角時(shí)，

baACBc？

解法1：

(2)當(dāng)C為直角時(shí)，

由勾股定理，得

baACBc？問題：此時(shí)是否成立？

問題：此時(shí)是否成立？

依據(jù)：

問題：此時(shí)是否成立？

依據(jù)：當(dāng)C為直角時(shí)，可得

問題：此時(shí)是否成立？

依據(jù)：當(dāng)C為直角時(shí)，可得

因此

問題：此時(shí)是否成立？

依據(jù)：當(dāng)C為直角時(shí)，可得

因此

所以

問題：此時(shí)是否成立？

依據(jù)：當(dāng)C為直角時(shí)，可得

因此

所以

問題：此時(shí)是否成立？

依據(jù)：當(dāng)C為直角時(shí)，可得

因此

所以

問題：此時(shí)是否成立？

依據(jù)：當(dāng)C為直角時(shí)，可得

因此

所以

勾股定理問題：此時(shí)是否成立？

依據(jù)：當(dāng)C為直角時(shí)，可得

因此

所以

答案：成立.勾股定理

解法1：

(3)當(dāng)C為鈍角時(shí)，

AacCBb？

解法1：

(3)當(dāng)C為鈍角時(shí)，

作延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

DAacCBb？

解法1：

(3)當(dāng)C為鈍角時(shí)，

作延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

DAacCb？B

解法1：

(3)當(dāng)C為鈍角時(shí)，

作延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

DAacCb？B

解法1：

(3)當(dāng)C為鈍角時(shí)，

作延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

DAacCb？B

解法1：

(3)當(dāng)C為鈍角時(shí)，

作延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

在Rt△ADC中，

DAacCb？B

解法1：

(3)當(dāng)C為鈍角時(shí)，

作延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

在Rt△ADC中，

DAacCb？B

解法1：

(3)當(dāng)C為鈍角時(shí)，

作延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

在Rt△ADC中，

DAacCb？B

解法1：

(3)當(dāng)C為鈍角時(shí)，

作延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

在Rt△ADC中，

DAacCb？B

解法1：

(3)當(dāng)C為鈍角時(shí)，

作延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

在Rt△ADC中，

所以DAacCb？B

解法1：

(3)當(dāng)C為鈍角時(shí)，

作延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

在Rt△ADC中，

所以DAacCb？B

解法1：

在Rt△ADB中，

DAacCb？B

解法1：

在Rt△ADB中，

所以DAacCb？B

解法1：

在Rt△ADB中，

所以DAacCb？B

小結(jié)：

CBAabcD

小結(jié)：

baCBcCBAabcDA

小結(jié)：

baCBcCBAabcDA

小結(jié)：

baACBcCBAabcDbAacCBD

小結(jié)：

baCBcCBAabcDbAacCBDA

小結(jié)：

表示c在△ABC中，已知a，b，C

小結(jié)：

在△ABC中，已知a，b，C表示c勾股定理

小結(jié)：

表示c作高勾股定理在△ABC中，已知a，b，C

小結(jié)：

表示c分類討論作高勾股定理在△ABC中，已知a，b，C

小結(jié)：

表示c分類討論作高勾股定理在△ABC中，已知a，b，C

小結(jié)：

？表示c在△ABC中，已知a，b，C

思路2：

兩點(diǎn)之間的距離表示c在△ABC中，已知a，b，C

思路2：

表示c表示點(diǎn)的坐標(biāo)兩點(diǎn)之間的距離在△ABC中，已知a，b，C

思路2：

距離公式：表示c表示點(diǎn)的坐標(biāo)兩點(diǎn)之間的距離在△ABC中，已知a，b，C

思路2：

建立平面直角坐標(biāo)系距離公式：表示c表示點(diǎn)的坐標(biāo)兩點(diǎn)之間的距離在△ABC中，已知a，b，C

思路2：

CBAabc？

解法2：

yxCBAabc？

解法2：

解法2：

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，有向線段

CB的方向?yàn)閤軸正方向

建立平面直角坐標(biāo)系，

yxCBAabc？yxCBAabc？

解法2：

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，有向線段

CB的方向?yàn)閤軸正方向

建立平面直角坐標(biāo)系，

可得DyxCBAabc？

解法2：

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，有向線段

CB的方向?yàn)閤軸正方向

建立平面直角坐標(biāo)系，

可得bsinCbcosCDyxCBabc？A(bcosC

bsinC)

解法2：

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，有向線段

CB的方向?yàn)閤軸正方向

建立平面直角坐標(biāo)系，

可得bsinCbcosCDyxCBAabc？A(bcosC

bsinC).(bcosC

bsinC)

解法2：

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，有向線段

CB的方向?yàn)閤軸正方向

建立平面直角坐標(biāo)系，

可得

解法2：

因此

解法2：

因此

解法2：

因此

解法2：

因此

解法2：

因此

解法2：

將式兩邊同時(shí)平方，得

解法2：

將式兩邊同時(shí)平方，得

解法2：

將式兩邊同時(shí)平方，得

即

解法2：

將式兩邊同時(shí)平方，得

即

問題：

解法2是否需要根據(jù)角C的大小進(jìn)行分類討論？

問題：

CBAabcyxA(bcosC

bsinC)

B(a0)

問題：

yxbaACBcCBAabcyxA(bcosC

bsinC)

B(a0)

問題：

CBAabcyxyxbaACBcA(0

b)

B(a0)A(bcosC

bsinC)

B(a0)

問題：

CBAabcyxyxbaACBcA(0

b)

B(a0)A(bcosC

bsinC)

B(a0)A(bcosC

bsinC)

B(a0)

問題：

CBAabcyxyxbAacCByxbaACBcA(0

b)

B(a0)A(bcosC

bsinC)

B(a0)A(bcosC

bsinC)

B(a0)

問題：

CBAabcyxyxbAacCByxbaACBcA(0

b)

B(a0)A(bcosC

bsinC)

B(a0)A(bcosC

bsinC)

B(a0)A(bcosC

bsinC)

B(a0)

問題：

解法2是否需要根據(jù)角C的大小進(jìn)行分類討論？

依據(jù)：任意角的三角函數(shù).

問題：

解法2是否需要根據(jù)角C的大小進(jìn)行分類討論？

依據(jù)：任意角的三角函數(shù).

答：不需要.

在△ABC中，已知a，b，C表示c

小結(jié)：

在△ABC中，已知a，b，C兩點(diǎn)間距離公式表示c

小結(jié)：

在△ABC中，已知a，b，C端點(diǎn)的坐標(biāo)兩點(diǎn)間距離公式表示c

小結(jié)：

在△ABC中，已知a，b，C建立平面直角坐標(biāo)系端點(diǎn)的坐標(biāo)兩點(diǎn)間距離公式表示c

小結(jié)：

在△ABC中，已知a，b，C建立平面直角坐標(biāo)系端點(diǎn)的坐標(biāo)兩點(diǎn)間距離公式表示c

小結(jié)：

？在△ABC中，已知a，b，C表示c

思路3：

在△ABC中，已知a，b，C表示c向量

思路3：

CBAabc在△ABC中，已知a，b，C表示c向量

思路3：

向量的三角形法則在△ABC中，已知a，b，C表示c向量CBAabc

思路3：

向量的三角形法則在△ABC中，已知a，b，C表示c向量CBAacb

思路3：

向量的三角形法則在△ABC中，已知a，b，C表示c向量向量的數(shù)量積性質(zhì)CBAacb

思路3：

向量的三角形法則在△ABC中，已知a，b，C表示c向量向量的數(shù)量積性質(zhì)CBAacb

思路3：

向量的數(shù)量積性質(zhì)向量的三角形法則在△ABC中，已知a，b，C表示c向量CBAacb

思路3：

解法3：

如圖，設(shè)

CBAabc

解法3：

如圖，設(shè)

根據(jù)向量的三角形法則可知：

CBAabc

解法3：

如圖，設(shè)

根據(jù)向量的三角形法則可知：

CBAabc

解法3：

如圖，設(shè)

根據(jù)向量的三角形法則可知：

CBAabc

解法3：

由得：

CBAabc

解法3：

由得：

CBAabc

解法3：

由得：

CBAabc

解法3：

由得：

CBAabc

解法3：

因?yàn)?/p>

CBAabc

解法3：

因?yàn)?/p>

所以

CBAabc

解法3：

因?yàn)?/p>

所以

即CBAabc

解法3：

因?yàn)?/p>

所以

即CBAabc

問題：

解法3是否需要根據(jù)角C的大小進(jìn)行分類討論？

問題：

CBAabc

問題：

CBAabcbAacCBbaACBc

問題：

CBAacbbAacCBbaACBc

問題：

解法3是否需要根據(jù)角C的大小進(jìn)行分類討論？

依據(jù)：向量的三角形法則.

問題：

解法3是否需要根據(jù)角C的大小進(jìn)行分類討論？

依據(jù)：向量的三角形法則.

答：不需要.

在△ABC中，已知a，b，C表示c

小結(jié)：

向量的數(shù)量積性質(zhì)在△ABC中，已知a，b，C表示c

小結(jié)：

表示關(guān)系向量的數(shù)量積性質(zhì)在△ABC中，已知a，b，C表示c

小結(jié)：

構(gòu)造向量表示關(guān)系向量的數(shù)量積性質(zhì)在△ABC中，已知a，b，C表示c

小結(jié)：

構(gòu)造向量表示關(guān)系向量的數(shù)量積性質(zhì)在△ABC中，已知a，b，C表示c

小結(jié)：

總結(jié)：

表示c在△ABC中，已知a，b，C表示c勾股定理在△ABC中，已知a，b，C總結(jié)：

表示c勾股定理易聯(lián)想在△ABC中，已知a，b，C總結(jié)：

表示c勾股定理分類多易聯(lián)想在△ABC中，已知a，b，C總結(jié)：

表示c勾股定理兩點(diǎn)間距離公式分類多易聯(lián)想在△ABC中，已知a，b，C總結(jié)：

表示c勾股定理兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算較少分類多易聯(lián)想在△ABC中，已知a，b，C總結(jié)：

表示c勾股定理兩點(diǎn)間距離公式運(yùn)算較少分類多易聯(lián)想需建系在△ABC中，已知a，b，C總結(jié)：

表示c勾股定理兩點(diǎn)間距離公式向量的數(shù)量積性質(zhì)需建系運(yùn)算較少分類多易聯(lián)想在△ABC中，已知a，b，C總結(jié)：

表示c勾股定理兩點(diǎn)間距離公式向量的數(shù)量積性質(zhì)需建系運(yùn)算較少分類多易聯(lián)想運(yùn)算少在△ABC中，已知a，b，C總結(jié)：

表示c勾股定理兩點(diǎn)間距離公式向量的數(shù)量積性質(zhì)新知應(yīng)用需建系運(yùn)算較少分類多易聯(lián)想運(yùn)算少在△ABC中，已知a，b，C總結(jié)：

表示c勾股定理兩點(diǎn)間距離公式向量的數(shù)量積性質(zhì)在△ABC中，已知a，b，C總結(jié)：

余弦定理：

余弦定理：

余弦定理：

余弦定理是勾股定理的推廣，余弦定理：

余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.余弦定理：

余弦定理：

余弦定理：

余弦定理：

余弦定理：

余弦定理：

余弦定理：

同理可得:

余弦定理：