傳熱學-第四章-熱傳導問題的數(shù)值解法課件

作業(yè)：第四版：3-2，3-31，3-482023/7/221第四章

導熱問題的數(shù)值解法NumericalMethodforHeatConduction2023/7/223主要內(nèi)容（重點掌握）：導熱問題數(shù)值求解的基本思想內(nèi)外節(jié)點離散方程的建立非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法Saturday,July22,20234特點：

(1)分析法

a能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數(shù)值計算提供比較依據(jù)；

b分析解具有普遍性，各參數(shù)的物理意義及影響清晰

c局限性很大，對復雜的問題無法求解；前述2、3章對導熱問題的求解思路：導熱微分方程+邊界條件+初始條件穩(wěn)態(tài)問題：直接積分法非穩(wěn)態(tài)問題：分離變量法解析解（analyticalsolution）局限性：簡單幾何形狀及邊界條件工程實際中面臨的大部分問題幾何形狀和邊界條件要復雜的多，由于數(shù)學上的困難還不能給出解析解，導致目前解析解只能作為某些簡單問題的參照依據(jù)，不能解決實際問題。研究傳熱學問題的三種基本方法：(1)理論分析法；(2)實驗法；(3)數(shù)值計算法§4-0引言Saturday,July22,20235(2)實驗法:

是傳熱學的基本研究方法：a偏向于機理研究；b.受場地，燃料動力源等因素的影響，無法完全復現(xiàn)研究對象，具有時間、空間上的局限性c.費用昂貴(3)

數(shù)值方法數(shù)值方法：把原來在時間和空間連續(xù)的物理量的場，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，從而獲得離散點上被求物理量的值；并稱之為數(shù)值解a.在很大程度上彌補了分析法的缺點；適應性強，特別對于復雜問題更顯其優(yōu)越性；b.與實驗法相比成本低數(shù)值解法：

有限差分法（finite-difference）、

有限元法（finite-element）、

邊界元法（boundary-element）、

分子動力學模擬（MD）

Saturday,July22,20236§4-1導熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件確定節(jié)點（建立網(wǎng)格系統(tǒng)）針對所有節(jié)點建立某物理量的代數(shù)方程設立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程解的分析是改進初場否是否收斂步驟：Saturday,July22,20237研究對象：二維，穩(wěn)態(tài)，常物性，無內(nèi)熱源導熱問題1.建立控制方程，給出定解條件：

B.C.Saturday,July22,202382.區(qū)域離散化-建立網(wǎng)格系統(tǒng)相鄰節(jié)點之間的距離——步長（steplength）節(jié)點（node）：網(wǎng)格線的交點，是需要確定溫度值的點，是每個子區(qū)域的代表。網(wǎng)格線：一系列與坐標軸平行且相互交叉的網(wǎng)格線，將求解區(qū)域劃分成許多子區(qū)域元體（element）或控制容積（controlvolume）：相鄰兩節(jié)點中錘線構(gòu)成的區(qū)域。xyn=1mm=Mn=Nm=1(m,n)Saturday,July22,202393.建立物理量的代數(shù)方程

節(jié)點(m,n)上物理量的代數(shù)方程稱為離散方程（discretizationequation），是數(shù)值求解的重要環(huán)節(jié)。

4.設立迭代初場代數(shù)方程組的解法分為直接解法和迭代法，有限差分解法主要采用迭代法。其中每一個未知數(shù)都需要給定一個初值，其合集稱之為初場（initialfield）5.求解代數(shù)方程組

各項系數(shù)（l等）經(jīng)確定后，在求解過程中不發(fā)生變化線性問題r，c，l，e隨溫度變化各項系數(shù)在每次迭代中更新非線性問題6.解的分析獲得溫度場不是最終目的，根據(jù)傅里葉定律獲取界面處的熱流q，熱應力，熱變形等。若把矩形看成肋片，最終目的可能是求其肋效率等。Saturday,July22,202310建立離散方程的常用方法：(1)泰勒級數(shù)展開法；(2)多項式擬合法；(3)控制容積積分法；(4)控制容積平衡法(也稱為熱平衡法)§4-2內(nèi)節(jié)點離散方程的建立方法Saturday,July22,202311一.泰勒級數(shù)展開法

Saturday,July22,202312a，b相加得：

略去無窮小量有：Saturday,July22,202313同理，在y軸方向有：

這種使用被離散點本身、前后兩點作近似的差分方法稱為——中心差分傳熱學中常用到的一階二階導數(shù)的差分表達式如下表所示（均分網(wǎng)格）：Saturday,July22,202314

Saturday,July22,202315二.熱平衡法思路：類似于導熱微分方程的推導，利用傅里葉定律，直接寫出每個控制體的能量守恒方程。

均分網(wǎng)格：

直接將能量守恒原理與傅里葉定律應用于節(jié)點所代表的控制體。物理概念清晰，推導過程簡潔，應予以重點掌握！非均網(wǎng)格只需對界面面積做適當處理即可(m,n)Saturday,July22,202316§4-3邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解第一類邊界條件：已知全部邊界的溫度，作為已知值加入到內(nèi)節(jié)點的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。xyn=1mm=Mn=Nm=1wsen(m-1,n)(m,n-1)(m+1,n)(m,n+1)

封閉第二類邊界條件或第三類邊界條件：部分邊界溫度未知。

不封閉

(m,n)Saturday,July22,2023171.邊界節(jié)點離散方程的建立：qwxyqw(1)平直邊界上的節(jié)點

(m,n)(m,n-1)(m,n+1)(m-1,n)

Saturday,July22,202318(2)內(nèi)部角點xyqw

(m,n)(m,n-1)(m,n+1)(m-1,n)

(m+1,n)

Saturday,July22,202319(3)外部角點

xy

(m,n)(m,n-1)(m-1,n)

qw

Saturday,July22,202320

熱流邊界qw分為三種情況討論：

第三類邊界條件：

(3)輻射邊界條件：Saturday,July22,2023212.節(jié)點方程組的求解思路：寫出所有內(nèi)節(jié)點和邊界節(jié)點的離散方程；使得——未知節(jié)點個數(shù)=代數(shù)方程式個數(shù)代數(shù)方程組的求解方法：直接解法、迭代解法

迭代法：給出初場，在迭代中不斷改進，直至滿足收斂條件為止。直接求解：矩陣求逆，高斯消元法等經(jīng)過有限次運算獲得代數(shù)方程的精確解。Saturday,July22,202322直接解法：通過有限次運算獲得代數(shù)方程精確解;

矩陣求逆、高斯消元法迭代解法：先對要計算的場作出假設、在迭代計算過程中不斷予以改進、直到每兩次之間的迭代結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計算已經(jīng)收斂。缺點：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點溫度差分方程中的系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計算過程中要相應地不斷更新）迭代解法有多種：簡單迭代（Jacobi迭代）、高斯-賽德爾迭代、塊迭代、交替方向迭代等高斯-賽德爾迭代的特點：每次迭代時總是使用節(jié)點溫度的最新值Saturday,July22,202323在計算后面的節(jié)點溫度時應按下式（采用最新值）例如：第k次迭代完全結(jié)束后的節(jié)點溫度：

Saturday,July22,202324判斷迭代是否收斂的準則：當有溫度t接近于零的時，選此準則較好

迭代次數(shù)，表示第k次迭代表示第k次迭代所得計算域內(nèi)的最大值

Saturday,July22,202325例題：Saturday,July22,202326Saturday,July22,202327§4-4非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法

非穩(wěn)態(tài)導熱數(shù)值解法的特點：

（1）非穩(wěn)態(tài)導熱微分方程多了非穩(wěn)態(tài)項，因此單值性條件中增加了初始條件；

（2）除了對空間域進行離散外，還需要對時間域進行離散；

（3）利用熱平衡法導出節(jié)點溫度方程時需要考慮控制容積的熱力學能隨時間的變化；

（4）由于時間和空間同時離散，在有些情況下空間步長和時間步長不能任意選擇，否則會帶來節(jié)點溫度方程求解的穩(wěn)定性問題。Saturday,July22,202328第三類邊界條件下，常物性、無內(nèi)熱源無限大平壁的一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題為例。1)求解域的離散2)節(jié)點溫度差分方程的建立

運用熱平衡法可以建立非穩(wěn)態(tài)導熱物體內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點溫度差分方程。

1.

一維非穩(wěn)態(tài)導熱的數(shù)值求解：

Saturday,July22,202329內(nèi)部節(jié)點溫度差分方程內(nèi)部節(jié)點n所代表的控制容積在i時刻的熱平衡：時間項一階導數(shù)采用向前差分，擴散項采用當前（i）時層上的值來表示，熱平衡方程式可寫成

左側(cè)導入熱量右側(cè)導入熱量計算第i+1時層溫度值時，用第i時層的已知值

——內(nèi)部節(jié)點溫度方程的顯式差分格式Saturday,July22,202330兩點結(jié)論：

(a)

任意一個內(nèi)部節(jié)點n在(i+1)時刻的溫度都可以由該節(jié)點及其相鄰節(jié)點(n-1)

、(n+1)在i時刻的溫度由上式直接求出，不必聯(lián)立求解方程組，這是顯式差分格式的優(yōu)點。這樣就可以從初始溫度出發(fā)依次求出各時刻的節(jié)點溫度；(b)

必須滿足顯式差分格式的穩(wěn)定性條件，即

穩(wěn)定性條件說明，一旦空間步長x或時間步長的數(shù)值確定之后，另一個步長的數(shù)值的就不能任意選擇，必須滿足穩(wěn)定性條件。

物理意義:

Saturday,July22,202331隱式差分格式：

如果節(jié)點溫度取下一時層(i+1)的溫度值，內(nèi)部節(jié)點n所代表的控制容積的熱平衡方程式可寫成:

——內(nèi)部節(jié)點溫度方程的隱式差分格式Saturday,July22,202332隱式格式與顯式格式的區(qū)別：

Saturday,July22,202333(2)邊界節(jié)點溫度差分方程

邊界節(jié)點0所代表的控制容積在k時刻的熱平衡：

時間項一階導采用向前差分，擴散項采用前一時層（i）溫度（顯示格式），熱平衡方程式可寫成：上式寫成顯函數(shù)的形式

Saturday,July22,202334同內(nèi)部節(jié)點溫度方程的顯式差分格式的道理相同，需將上一時層的信息傳遞到下一時層去，因此必須滿足：

Saturday,July22,202335

第四章小結(jié)

（2）掌握有限差分法的原理;

重點掌握以下內(nèi)容：

（3）能夠根據(jù)導熱問題的特點，合理地進行求解域的離