第五章-留數(shù)-復變函數(shù)課件

第五章留數(shù)理論及其應用學習要點解析函數(shù)的孤立奇點的分類留數(shù)定理以及其在積分計算上的應用幅角原理、儒歇定理及其應用第1節(jié)孤立奇點一.奇點的分類函數(shù)f(z)不解析的點為奇點.如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析,但在z0的某一個去心鄰域0<|z-z0|<d內(nèi)處處解析,則z0稱為f(z)的孤立奇點.2.極點

如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個z-z0的負冪項,且其中關(guān)于(z-z0)-1的最高冪為(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),則孤立奇點z0稱為函數(shù)f(z)的m級極點.上式也可寫成

其中g(shù)(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,在|z-z0|<d內(nèi)是解析的函數(shù),且g(z0)0.定理2：z0是f(z)的m級極點的充要條件是定理3如果z0為f(z)的極點的充要條件是例1對討論函數(shù)在處的性質(zhì)。3.本性奇點

如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多z-z0的負冪項,則孤立奇點z0稱為f(z)的本性奇點.綜上所述：我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型.練習：證明復函數(shù)情形下的羅比達法則。二.零點與極點的關(guān)系

定義2:z0稱為f(z)的m級零點.如f(z)在z0解析,且

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.例如：f(z)=z(z-1)3,z=0與z=1分別是是f(z)的一級與三級零點.定理3：

z0是為f(z)的m級零點的充要條件是f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且

j(z0)0,

由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的鄰域內(nèi)不為零.這是因為j(z)在z0解析,必在z0連續(xù),所以給定所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心鄰域內(nèi)不為零,即不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的.(零點孤立原則)定理4

如果z0是f(z)的m級極點,則z0就是的m級零點.該定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡單的方法.例3

第2節(jié)留數(shù)定理一.留數(shù)的概念

定義1.設(shè)f(z)在區(qū)域0<|z-z0|<R內(nèi)解析，稱積分為f(z)在孤立奇點z0處的留數(shù),記作Res[f(z),z0],這里積分是反時針方向取的.當f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0<|z-z0|<R兩端沿C逐項積分:2.留數(shù)的計算規(guī)則

規(guī)則1

如果z0為f(z)的一級極點,則規(guī)則2

如果z0為f(z)的m級極點,則假設(shè)

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,

(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令兩端zz0,右端的極限是(m-1)!c-1,兩端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得規(guī)則2,當m=1時就是規(guī)則1.定理一(留數(shù)定理)

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點z1,z2,...,zn外處處解析.C是D內(nèi)包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,則Dz1z2z3znC1C2C3CnC[證]把在C內(nèi)的孤立奇點zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向簡單閉曲線Ck圍繞起來,則根據(jù)復合閉路定理有注.定理中的條件必須要認真驗證，例如不能應用留數(shù)定理。例5解：所以原式=例4解：z=0為一級極點。

留數(shù)定理是復變函數(shù)的定理，若要在實變函數(shù)定積分中應用，必須將實變函數(shù)變?yōu)閺妥兒瘮?shù)，將定積分變?yōu)榛芈贩e分中的一部分?！?利用留數(shù)定理計算實積分1.形如的積分,其中R(cosq,sinq)為cosq與sinq的有理函數(shù).令z=eiq,則其中f(z)是z的有理函數(shù),且在單位圓周|z|=1上分母不為零,zk(k=1,2,...,n)為單位圓|z|=1內(nèi)的f(z)的孤立奇點.例1計算的值.解：由于0<p<1,被積函數(shù)的分母在0q2p內(nèi)不為零,因而積分是有意義的.由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此

f(z)的三個極點z=0,p,1/p中，有前兩個在圓周|z|=1內(nèi),其中z=0為二級極點,z=p為一級極點.例2計算積分解：令

.被積函數(shù)在

，于是所求積分z1z2z3yCR-RROx解釋：此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變.例3計算積分

解：由于分母的次數(shù)比分子的次數(shù)高二次，且被積函數(shù)在實數(shù)軸上沒有0點，因此廣義積分存在。例4解：3.計算形如的積分

當R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次,且R(x)在實數(shù)軸上沒有奇點時,積分是存在的.

象1中處理的一樣,由于m-n1,故對充分大的|z|有z1z2z3yCR-RROxyqOpy=sinq1可以證明,在半徑R充分大的CR上,有也可寫為例5計算.解：這里R(x)在實軸上連續(xù)，且分母次數(shù)比分子高一次,因而積分是存在的.R(z)在上半平面內(nèi)有一級極點bi,例6計算積分.解：

因為是偶函數(shù),所以在上半平面內(nèi)解析，為了使積分路線不通過原點,取