第五章-留數(shù)-復(fù)變函數(shù)課件

第五章留數(shù)理論及其應(yīng)用學(xué)習(xí)要點(diǎn)解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的分類留數(shù)定理以及其在積分計(jì)算上的應(yīng)用幅角原理、儒歇定理及其應(yīng)用第1節(jié)孤立奇點(diǎn)一.奇點(diǎn)的分類函數(shù)f(z)不解析的點(diǎn)為奇點(diǎn).如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析,但在z0的某一個(gè)去心鄰域0<|z-z0|<d內(nèi)處處解析,則z0稱為f(z)的孤立奇點(diǎn).2.極點(diǎn)

如果在洛朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)z-z0的負(fù)冪項(xiàng),且其中關(guān)于(z-z0)-1的最高冪為(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),則孤立奇點(diǎn)z0稱為函數(shù)f(z)的m級(jí)極點(diǎn).上式也可寫成

其中g(shù)(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,在|z-z0|<d內(nèi)是解析的函數(shù),且g(z0)0.定理2：z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是定理3如果z0為f(z)的極點(diǎn)的充要條件是例1對(duì)討論函數(shù)在處的性質(zhì)。3.本性奇點(diǎn)

如果在洛朗級(jí)數(shù)中含有無窮多z-z0的負(fù)冪項(xiàng),則孤立奇點(diǎn)z0稱為f(z)的本性奇點(diǎn).綜上所述：我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點(diǎn)的類型.練習(xí)：證明復(fù)函數(shù)情形下的羅比達(dá)法則。二.零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系

定義2:z0稱為f(z)的m級(jí)零點(diǎn).如f(z)在z0解析,且

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.例如：f(z)=z(z-1)3,z=0與z=1分別是是f(z)的一級(jí)與三級(jí)零點(diǎn).定理3：

z0是為f(z)的m級(jí)零點(diǎn)的充要條件是f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且

j(z0)0,

由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的鄰域內(nèi)不為零.這是因?yàn)閖(z)在z0解析,必在z0連續(xù),所以給定所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心鄰域內(nèi)不為零,即不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.(零點(diǎn)孤立原則)定理4

如果z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn),則z0就是的m級(jí)零點(diǎn).該定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡單的方法.例3

第2節(jié)留數(shù)定理一.留數(shù)的概念

定義1.設(shè)f(z)在區(qū)域0<|z-z0|<R內(nèi)解析，稱積分為f(z)在孤立奇點(diǎn)z0處的留數(shù),記作Res[f(z),z0],這里積分是反時(shí)針方向取的.當(dāng)f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0<|z-z0|<R兩端沿C逐項(xiàng)積分:2.留數(shù)的計(jì)算規(guī)則

規(guī)則1

如果z0為f(z)的一級(jí)極點(diǎn),則規(guī)則2

如果z0為f(z)的m級(jí)極點(diǎn),則假設(shè)

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,

(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令兩端zz0,右端的極限是(m-1)!c-1,兩端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得規(guī)則2,當(dāng)m=1時(shí)就是規(guī)則1.定理一(留數(shù)定理)

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,...,zn外處處解析.C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線,則Dz1z2z3znC1C2C3CnC[證]把在C內(nèi)的孤立奇點(diǎn)zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向簡單閉曲線Ck圍繞起來,則根據(jù)復(fù)合閉路定理有注.定理中的條件必須要認(rèn)真驗(yàn)證，例如不能應(yīng)用留數(shù)定理。例5解：所以原式=例4解：z=0為一級(jí)極點(diǎn)。

留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)的定理，若要在實(shí)變函數(shù)定積分中應(yīng)用，必須將實(shí)變函數(shù)變?yōu)閺?fù)變函數(shù)，將定積分變?yōu)榛芈贩e分中的一部分?！?利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分1.形如的積分,其中R(cosq,sinq)為cosq與sinq的有理函數(shù).令z=eiq,則其中f(z)是z的有理函數(shù),且在單位圓周|z|=1上分母不為零,zk(k=1,2,...,n)為單位圓|z|=1內(nèi)的f(z)的孤立奇點(diǎn).例1計(jì)算的值.解：由于0<p<1,被積函數(shù)的分母在0q2p內(nèi)不為零,因而積分是有意義的.由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此

f(z)的三個(gè)極點(diǎn)z=0,p,1/p中，有前兩個(gè)在圓周|z|=1內(nèi),其中z=0為二級(jí)極點(diǎn),z=p為一級(jí)極點(diǎn).例2計(jì)算積分解：令

.被積函數(shù)在

，于是所求積分z1z2z3yCR-RROx解釋：此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變.例3計(jì)算積分

解：由于分母的次數(shù)比分子的次數(shù)高二次，且被積函數(shù)在實(shí)數(shù)軸上沒有0點(diǎn)，因此廣義積分存在。例4解：3.計(jì)算形如的積分

當(dāng)R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次,且R(x)在實(shí)數(shù)軸上沒有奇點(diǎn)時(shí),積分是存在的.

象1中處理的一樣,由于m-n1,故對(duì)充分大的|z|有z1z2z3yCR-RROxyqOpy=sinq1可以證明,在半徑R充分大的CR上,有也可寫為例5計(jì)算.解：這里R(x)在實(shí)軸上連續(xù)，且分母次數(shù)比分子高一次,因而積分是存在的.R(z)在上半平面內(nèi)有一級(jí)極點(diǎn)bi,例6計(jì)算積分.解：

因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以在上半平面內(nèi)解析，為了使積分路線不通過原點(diǎn),取