初一幾何難題練習(xí)題含

初一幾何難題練習(xí)題含初一幾何難題練習(xí)題含初一幾何難題練習(xí)題含1、證明線段相等或角相等兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。好多其余問(wèn)題最后都可化歸為此類問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其余如線段中垂線的性質(zhì)、角均分線的性質(zhì)、等腰三角形的判斷與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例

1.

已知：如圖

1所示，

ABC中，

C90

，AC

BC，AD

DB，AE

CF

。求證：

DE＝DFAEDC

F

B圖1解析：由

ABC是等腰直角三角形可知，

AB45

，由

D

是AB

中點(diǎn)，可考慮連接

CD，易得

CD

AD，

DCF

45

。進(jìn)而不難發(fā)現(xiàn)

DCF

DAE證明：連接

CDACBCABACB90，ADDBCDBDAD，DCBBAAECF，ADCB，ADCDADECDFDEDF說(shuō)明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的協(xié)助線；在等腰三角形中，作頂角的均分線或底邊上的中線或高是常用的協(xié)助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)當(dāng)連接CD，因?yàn)镃D既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延伸ED到G，使DG＝DE，連BG，證EFG是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)沒(méi)關(guān)系一試。2.已知：如圖2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求證：∠E＝∠FEADBCF圖2證明：連接ACABC和CDA中，ABCD，BCAD，ACCAABCCDA(SSS)BDABCD，AECFBEDFBCE和DAF中，BEDFDBCDABCE

DAF(SAS)E

F說(shuō)明：利用三角形全等證明線段求角相等。

常須添協(xié)助線，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意：1）制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量；2）添協(xié)助線能夠直接獲取的兩個(gè)全等三角形。2、證明直線平行或垂直在兩條直線的地址關(guān)系中，平行與垂直是兩種特其余地址。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來(lái)證，也可經(jīng)過(guò)邊對(duì)應(yīng)成比率、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)變?yōu)樽C一個(gè)角等于90°，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來(lái)證。例3.如圖3所示，設(shè)BP、CQ是ABC的內(nèi)角均分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。求證：KH∥BCAQPKHBMNC圖3解析：由已知，BH均分∠ABC，又BH⊥AH，延伸AH＝HN。同理，延伸AK交BC于M，則CA＝CM，AK＝KM

BC于N，則BA＝BN，AH。進(jìn)而由三角形的中位線定理，KH∥BC。證明：延伸AH交BC于N，延伸AK交BC于MBH均分∠ABC∠ABH∠NBHBH⊥AHAHB∠NHB90BH＝BHABHNBH(ASA)BABN，AHHN同理，CA＝CM，AK＝KMKH是AMN的中位線KH//MNKH//BC說(shuō)明：當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角均分線、中線或高線重合時(shí)，則此三角形必為等腰三角形。我們也能夠理解成把一個(gè)直角三角形沿一條直角邊翻折（軸對(duì)稱）而成一個(gè)等腰三角形。例4.已知：如圖4所示，AB＝AC，∠A90，AEBF，BDDC。求證：FD⊥EDAEF231BDC圖4證明一：連接ADABAC，BDDC∠1∠290，∠DAE∠DABBAC90，BDDCBDADB∠DAB∠DAEADE和BDF中，AEBF，∠BADEBDF31

∠DAE，AD

BD290FDED說(shuō)明：有等腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角均分線是常用協(xié)助線。證明二：如圖5所示，延伸ED到M，使DM＝ED，連接FE，F(xiàn)M，BMAFEBDCM圖5BDDCBDMCDE，DMDEBDMCDECEBM，CCBMBM//ACA90ABM90AABAC，BFAEAFCEBMAEFBFMFEFMDMDEFDED說(shuō)明：證明兩直線垂直的方法以下：（1）第一解析條件，察看可否用供應(yīng)垂直的定理獲取，包括添常用協(xié)助線，見(jiàn)本題證二。2）找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個(gè)銳角互余。3）證明二直線的夾角等于90°。3、證明一線段和的問(wèn)題（一）在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長(zhǎng)法）例5.已知：如圖6所示在ABC中，B60，∠BAC、∠BCA的角均分線AD、CE訂交于O。求證：AC＝AE＋CDBEDO4235A6F圖6

C解析：在AC上截取AF＝AE。易知AEOAFO，12。由B60，知5660，160，23120。123460，得：FOCDOC，F(xiàn)CDC證明：在AC上截取AF＝AEBADCAD，AOAOAEOAFOSAS2B60660603120123460FOCDOC(AAS)FC

DCACAECD（二）延伸一較短線段，使延伸部分等于另一較短線段，

則兩較短線段成為一條線段，

證明該線段等于較長(zhǎng)線段。（補(bǔ)短法）例

6.

已知：如圖

7所示，正方形

ABCD

中，F(xiàn)在

DC

上，E在

BC

上，

EAF

45

。求證：EF＝BE＋DFA

D312FG

BE

C圖7解析：本題若模擬例

1，將會(huì)碰到困難，不易利用正方形這一條件。

沒(méi)關(guān)系延伸

CB

至G，使BG＝DF。證明：延伸CB至G，使BG＝DF在正方形ABCD中，ABGD90，ABADABGADF(SAS)AGAF，13EAF4523452145即∠GAE＝∠FAEGEEFEFBEDF4、中考題：如圖8所示，已知ABC為等邊三角形，延伸BC到D，延伸BA到E，并且使AE＝BD，連接CE、DE。求證：EC＝EDEFABCD圖8證明：作DF//AC交BE于FABC是正三角形BFD是正三角形AE＝BDAEFDBFBAAFEFEF＝ACAC//FDEACEFDEACDFE(SAS)ECED題型顯現(xiàn)：證明幾何不等式：例題：已知：如圖9所示，12，ABAC。求證：BDDCA12CBDE圖9證明一：延伸AC到E，使AE＝AB，連接DEADE和ADB中，AEAB，21，ADADADEADBBDDE，EBDCEBDCEEDEDC，BDDC證明二：如圖10所示，在AB上截取AF＝AC，連接DFA1234BDC10則易證ADFADC4，DFDCBFD3，4BBFDBBDDFBDDC說(shuō)明：在有角均分線條件時(shí)，常以角均分線為軸翻折結(jié)構(gòu)全等三角形，這是常用協(xié)助線?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】1.已知：如圖11所示，ABC中，C90，D是AB上一點(diǎn)，DE⊥CD于D，交BC12CEADB圖112.已知：如圖12所示，在ABC中，A2B，CD是∠C的均分線。求證：BC＝AC＋ADADBC圖123.已知：如圖13所示，過(guò)ABC的極點(diǎn)A，在∠A內(nèi)任引一射線，過(guò)B、C作此射線的垂線BP和CQ。設(shè)M為BC的中點(diǎn)。求證：MP＝MQAQBCMP134.ABC中，BAC90，ADBC于D，求證：AD1ABACBC4【試題答案】1.證明：取CD的中點(diǎn)F，連接AFC41F3EADBACADAFCDAFCCDE90又1490，13903ACCEACFCED(ASA)CFED1DECD2解析：本題從已知和圖形上看好象比較簡(jiǎn)單，但一時(shí)又不知怎樣下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時(shí)，我們經(jīng)常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的手法?！敖亻L(zhǎng)”立刻長(zhǎng)的線段截成兩部分，證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補(bǔ)短”立刻一條短線段延伸出另一條短線段之長(zhǎng)，證明其和等于長(zhǎng)的線段。EADBC證明：延伸CA至E，使CE＝C