【浙江專版】2022高考數(shù)學(xué)二輪三維專題數(shù)學(xué)思想方法與答題模板建構(gòu) 全省一等獎

活用數(shù)學(xué)思想追求高效解題巧用答題模板建立答題規(guī)范第4講數(shù)學(xué)思想方法與答題模板建構(gòu)空間幾何體在高考命題中涉及的常見數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想及化歸與轉(zhuǎn)化思想．1．函數(shù)與方程思想(1)在空間幾何體的表面積體積計算中，常根據(jù)條件分析列出方程，利用方程確定未知量．(2)在用空間向量的運算解決空間線線、線面、面面的平行、垂直問題或求空間角時運用的主要思想就是通過列方程(組)求出未知量，得到直線的方向向量和平面的法向量，然后進行計算．(3)涉及空間幾何體中的最值問題常用到函數(shù)思想．[例1]

(2011·四川高考)如圖，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是________．[解析]法一：圓柱的軸截面如圖所示，設(shè)球的半徑與圓柱的高所成的角為α，則圓柱底面半徑為4sinα，高為8cosα，∴S圓柱側(cè)＝2π·4sinα·8cosα＝32πsin2α.當(dāng)sin2α＝1時，S圓柱側(cè)最大為32π.此時S球表－S圓柱側(cè)＝4π·42－32π＝32π.[答案]

32π[點評]

本題綜合考查了圓柱的側(cè)面積公式、球的表面積公式．運用了函數(shù)與方程的思想，考查了學(xué)生分析問題，解決問題的能力．[例2]

(2011·江西高考)已知α1，α2，α3是三個相互平行的平面，平面α1，α2之間的距離為d1，平面α2，α3之間的距離為d2.直線l與α1，α2，α3分別相交于P1，P2，P3，那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的 (

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]

C[點評]

本題借助平行平面的性質(zhì)定理，考查了邏輯推理及空間問題平面化的解題思想．著重考查了空間想象能力及數(shù)形結(jié)合思想的運用．[命題角度分析]空間幾何體在解答題中是每年必考大題之一．常見的命題形式一般有2～3問．前兩問多為證明空間線、面位置關(guān)系(平行、垂直)，后一問多為計算問題(求面積、體積或空間角)．題型上有時會出現(xiàn)探索存在性問題．[答題模板構(gòu)建](ⅰ)若直線PB與平面PCD所成的角為30°，求線段AB的長；(ⅱ)在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P、B、C、D的距離都相等？說明理由．[解]法一：(1)因為PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD.┄┄┄(2分)又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.┄┄┄┄(3分)(2)以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz(如圖)．(4分)在平面ABCD內(nèi)，作CE∥AB交AD于點E，則CE⊥AD.在Rt△CDE中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.設(shè)AB＝AP＝t，則B(t,0,0)，P(0,0，t)．由AB＋AD＝4得AD＝4－t，所以E(0,3－t,0)，C(1,3－t,0)，D(0,4－t,0)，＝(－1,1,0)，＝(0,4－t，－t)．(6分)由于方程③沒有實數(shù)根，所以在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P、C、D的距離都相等．從而，在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P、B、C、D的距離都相等．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)?第一步根據(jù)條件分析得出所需垂直關(guān)系?第二步證明垂直關(guān)系?第三步建立適當(dāng)坐標(biāo)系，并寫出相關(guān)點坐標(biāo)?第四步求法向量并建立所需關(guān)系式

?第五步化簡關(guān)系式確定是否有解?第六步得結(jié)論[答題模板構(gòu)建]法二：(1)同法一┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(3分)(2)(i)同法一．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(9分)(ii)假設(shè)在線段AD上存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等．由GC＝GD，得∠GCD＝∠GDC＝45°，從而∠CGD＝90°，即CG⊥AD，所以GD＝CD·cos45°＝1.┄┄┄┄┄┄┄(10分)設(shè)AB＝λ，則AD＝4－λ，AG＝AD－GD＝3－λ，根據(jù)條件分析得出所需垂直關(guān)系?第二步證明垂直關(guān)系

?第三步建立坐標(biāo)系，求法向量后建立方程求解

?第四步假設(shè)存在并分析條件

?第五步列出關(guān)系式分析，得出矛盾，求解得結(jié)論[答題模板構(gòu)建][解]

(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，所以PA⊥CE.(2分)因為AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.┄┄┄┄┄┄┄┄(3分)又PA∩AD＝A，所以CE⊥平面PAD.┄┄┄┄┄┄┄┄(5分)(2)由(1)可知CE⊥AD.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)在Rt△ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.又因為AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四邊形ABCE為矩形．(8分)?第一步根據(jù)條件分析所需垂直關(guān)系?第二步證明垂直關(guān)系

?第三步判斷四邊形形狀并求面積?第四步確定幾何體的高度?第五步