2021-2022學年浙江省杭州市風帆中學高三數(shù)學理期末試卷含解析

2021-2022學年浙江省杭州市風帆中學高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好落在正方形與曲線圍成的區(qū)域內(nèi)（陰影部分）的概率為A．

B．

C．

D．參考答案：B2.若把函數(shù)的圖像向右平移m（m＞0）個單位長度后，所得到的圖像關于y軸對稱，則m的最小值是 （

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.已知，那么是的A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【解析】因為，所以或，所以是的必要不充分條件，選A.參考答案：因為，所以或，所以是的必要不充分條件，選A.【答案】A4.

函數(shù)的圖象大致是(

）參考答案：C5.已知正項等比數(shù)列{an}滿足：a7=a6+2a5，若存在兩項am、an，使得aman=16a12，則+的最小值為（）A. B. C. D.不存在參考答案：C【分析】利用等比數(shù)列的通項公式及條件，求出m，n的關系式，結合均值定理可得.【詳解】設正項等比數(shù)列{an}的公比為q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化簡得，q2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），因為aman=16a12，所以=16a12，則qm+n-2=16，解得m+n=6，所以.當且僅當時取等號，此時，解得，因為mn取整數(shù)，所以均值不等式等號條件取不到，則，驗證可得，當m=2、n=4時，取最小值為，故選：C．

6.已知F1、F2是橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點，若△ABF1是銳角三角形，則該橢圓離心率e的取值范圍是（）A．e＞﹣1 B．0＜e＜﹣1 C．﹣1＜e＜1 D．﹣1＜e＜+1參考答案：C【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由題意解出點A，B的坐標，從而求出＜1，從而求出該橢圓離心率．【解答】解：由題意，+=1，從而可得，y=；故A（c，），B（c，﹣）；故由△ABF1是銳角三角形知，＜1；故＜1；即e2+2e﹣1＞0；故﹣1＜e＜1；故選C．7.已知函數(shù)，若有3個零點，則k的取值范圍為(

)A.(，0) B.(，0) C.(0，) D.(0，)參考答案：C【分析】由函數(shù)在R上有3個零點，當時，令，可得和有兩個交點，當時，和有一個交點，求得，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，要使得函數(shù)在R上有3個零點，當時，令，可得，要使得有兩個實數(shù)解，即和有兩個交點，又由，令，可得，當時，，則單調(diào)遞增；當時，，則單調(diào)遞減，所以當時，，若直線和有兩個交點，則，當時，和有一個交點，則，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是，故選C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應用，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值的綜合應用，其中解答中把函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題，構造新函數(shù)求解是解答的關鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力，屬于基礎題.8.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1（﹣c，0）、F2（c，0），若離心率（e≈0.618），則稱橢圓C為“黃金橢圓”．則下列三個命題中正確命題的個數(shù)是（）①在黃金橢圓C中，a、b、c成等比數(shù)列；②在黃金橢圓C中，若上頂點、右頂點分別為E、B，則∠F1EB=90°；③在黃金橢圓C中，以A（﹣a，0）、B（a，0）、D（0，﹣b）、E（0，b）為頂點的菱形ADBE的內(nèi)切圓過焦點F1、F2．A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】對于①，由e=，可得e2+e﹣1=0，運用離心率公式和等比數(shù)列的中項的性質(zhì)，即可判斷；對于②，求出即有=（﹣c，﹣b），=（a，﹣b），運用向量的數(shù)量積的坐標表示，即可判斷；對于③，設內(nèi)切圓的半徑為r，由四邊形ADEB的面積可為四個三角形的面積，化簡整理計算可得半徑r=c，即可判斷．【解答】解：對于①，由e=，可得e2+e﹣1=0，由e=，a2﹣c2=b2，可得c2+ac﹣a2=0，即ac=b2，則a，b，c成等比數(shù)列，故①正確；對于②，在黃金橢圓C中，上頂點、右頂點分別為E（0，b）、B（a，0），即有=（﹣c，﹣b），=（a，﹣b），由①即有?=﹣ac+b2=0，則∠F1EB=90°，故②正確；對于③，設內(nèi)切圓的半徑為r，由四邊形ADEB的面積可為四個三角形的面積，可得?2a?2b=4?r?，解得r=====c，則內(nèi)切圓過焦點，故③正確．故選：D．【點評】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，注意運用離心率的公式，考查數(shù)量積的運用判斷直角，同時考查四邊形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．9.已知△ABC的三邊a、b、c成等比數(shù)列，a、b、c所對的角依次為A、B、C．則sinB+cosB的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】余弦定理．【分析】由△ABC的三邊長a、b、c成等比數(shù)列，可得b2=ac．可得cosB=，利用基本不等式的性質(zhì)可得B的取值范圍，進而可求B+的范圍，利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡可得sinB+cosB=sin（B+），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．【解答】解：∵△ABC的三邊長a、b、c成等比數(shù)列，∴b2=ac．∴cosB=≥=，當且僅當a=c時取等號．∴B∈（0，]．∴可得：B+∈（，]，∴sinB+cosB=sin（B+）∈（1，]，故選：C．【點評】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)求值，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．10.已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(，)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)是函數(shù)圖象上的任意不同兩點，給出以下結論：其中正確結論的序號是

①>

；②<③>；

④<.A．①② B．①③C．②④ D．②③參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，則______．參考答案：【分析】利用分段函數(shù)的解析式先求出，從而可得的值.【詳解】，且，，，故答案為.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式，屬于中檔題.對于分段函數(shù)解析式的考查是命題的動向之一，這類問題的特點是綜合性強，對抽象思維能力要求高，因此解決這類題一定要層次清楚，思路清晰.當出現(xiàn)的形式時，應從內(nèi)到外依次求值．12.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=3，點E為BC的中點，如果DF=2FC，那么的值是．參考答案：9【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】通過以A為原點，AB為x軸、AD為y軸建系，利用向量的坐標形式計算即可．利用向量的坐標形式計算即可．【解答】9；解：以A為原點，AB為x軸、AD為y軸建系如圖，∵AB=3，AD=3，∴A（0，0），B（3，0），C（3，3），D（0，3），∵點E為BC的中點，∴E（3，），∵點F在邊CD上，且DF=2FC，∴F（2，3），∴=（2，3），=（0，），∴=2×0+3×=9，故答案為：9．13.某高中三年級甲、乙兩班各選出7名學生參加高中數(shù)學競賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分140分）的莖葉圖如下，其中甲班學生成績中位數(shù)為81，乙班學生成績的平均數(shù)為86，則x+y=______.參考答案：5【分析】由中位數(shù)和平均數(shù)的定義可得x，y的值，計算可得結果．【詳解】甲班學生成績的中位數(shù)是80+x＝81，得x＝1；由莖葉圖可知乙班學生的總分為76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）＝598+y，乙班學生的平均分是86，且總分為86×7＝602，所以y＝4，∴x+y=5．故答案為：5．【點睛】本題考查了莖葉圖的應用及中位數(shù)和平均數(shù)的定義，屬于基礎題．14.（坐標系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標系中，圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則坐標原點到該圓的圓心的距離為

.參考答案：

【知識點】參數(shù)方程化成普通方程．N3解析：∵圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），∴，，所以1=sin2θ+cos2θ=，化簡得x2+（y﹣2）2=4，故C（0，2），所以OC==2，故答案為：2．【思路點撥】將圓C的參數(shù)方程化成普通方程后即得圓心坐標，從而可得結論．15.已知函數(shù)．若存在實數(shù)，，使得的解集恰為，則的取值范圍是

．參考答案：16.已知=(x,2),=(2,)，若(－)⊥，則|+2|=___________.參考答案：由得，由=（5,5）得.17.函數(shù)y=f(x)的圖像在點M(1,f(1))處的切線方程為，則=______參考答案：3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面平面，為的中點.(Ⅰ)求證：;(Ⅱ)在線段是是否存在點，使得//平面，若存在，說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.參考答案：略19.已知函數(shù)．（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當x≥1時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．參考答案：考點：實際問題中導數(shù)的意義；函數(shù)在某點取得極值的條件．專題：壓軸題；導數(shù)的綜合應用．分析：（1）因為，x＞0，x＞0，則，利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+）（其中a＞0）上存在極值，能求出實數(shù)a的取值范圍．（2）不等式，即為，構造函數(shù)，利用導數(shù)知識能求出實數(shù)k的取值范圍．解答： 解：（1）因為，x＞0，則，當0＜x＜1時，f'（x）＞0；當x＞1時，f'（x）＜0．所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值．因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+）（其中a＞0）上存在極值，所以解得．（2）不等式，即為，記，所以=令h（x）=x﹣lnx，則，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，從而g'（x）＞0，故g（x）在[1，+∞）上也單調(diào)遞增，所以[g（x）]min=g（1）=2，所以k≤2．點評：本題考查極值的應用，應用滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意構造法和分類討論法的合理運用．20.（本小題滿分13分）某學校實驗室有濃度為和的兩種溶液.在使用之前需要重新配制溶液，具體操作方法為取濃度為和的兩種溶液各分別裝入兩個容積都為的錐形瓶中，先從瓶中取出溶液放入瓶中，充分混合后，再從瓶中取出溶液放入瓶中，再充分混合.以上兩次混合過程完成后算完成一次操作.設在完成第次操作后，瓶中溶液濃度為，瓶中溶液濃度為.（1）請計算，并判定數(shù)列是否為等比數(shù)列？若是，求出其通項公式；若不是，請說明理由；（2）若要使得兩個瓶中的溶液濃度之差小于，則至少要經(jīng)過幾次？參考答案：（1）…………………3分

21.如果函數(shù)f(x)的定義域為{x|x>0}，且f(x)為增函數(shù)，f(x·y)＝f(x)＋f(y)．(1)求證：f()＝f(x)－f(y)；(2)已知f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求a的取值范圍．參考答案：(1)證明：∵f(x)＝f(·y)＝f()＋f(y)，∴f()＝f(x)－f(y)．(2)∵f(3)＝1，f(a)>f(a－1)＋2，∴f(a)－f(a－1)>2.∴f()>2＝f(