數(shù)學(xué)物理方法復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)

數(shù)學(xué)物理方法復(fù)變函數(shù)與解析函數(shù)第1頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月概述主干基礎(chǔ)課以高數(shù)和普物為基礎(chǔ)，為后續(xù)專業(yè)課做準(zhǔn)備承上啟下。課程的主要目的是，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表述物理問題的能力、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力，提高運算能力。課程的主要內(nèi)容有：復(fù)變函數(shù)論、積分變換及應(yīng)用、偏微分方程的定解問題、特殊函數(shù)、近似解法.第2頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月教材及指導(dǎo)書

一、教材：管平等編.《數(shù)學(xué)物理方法》，第二版，高等教育出版社，2010年4月

二、主要的參考書：梁昆淼編.《數(shù)學(xué)物理方法》，第三版，高等教育出版社，1998年6月。胡嗣柱、倪光炯編，《數(shù)學(xué)物理方法》，上海：復(fù)旦大學(xué)出版社郭敦仁編，《數(shù)學(xué)物理方法》，北京：人民教育出版社。陸全康編，《數(shù)學(xué)物理方法自學(xué)輔導(dǎo)》，上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社。第3頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月要求和考核基本要求：1、課前預(yù)習(xí)2、按時、準(zhǔn)時上課，不遲到、早退和缺席3、上課認(rèn)真聽講，做好筆記4、課后復(fù)習(xí)，整理筆記，獨立完成作業(yè)成績組成和考試方式：1、平時成績（出勤、聽課、作業(yè)、筆記)占20%，考試占80%2、考試方式：閉卷筆試第4頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第一章復(fù)變函數(shù)主要內(nèi)容:§1.1復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)§1.2復(fù)變函數(shù)的積分§1.3復(fù)變函數(shù)的級數(shù)§1.4留數(shù)及其應(yīng)用§1.5分式線性變換。第5頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月§1.1復(fù)變函數(shù)和解析函數(shù)§1.1.1復(fù)變函數(shù)z=x+iyx=Rez，y=Imzi為虛數(shù)單位，i2=-1復(fù)數(shù)的幾何意義一、復(fù)數(shù)的概念復(fù)平面復(fù)數(shù)z=x+iy虛軸實軸模幅角第6頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月注：第7頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)數(shù)的表示代數(shù)表示：z=x+iy三角表示：z=r(cosθ+isinθ)指數(shù)表示：z=rexp(i

θ)復(fù)數(shù)的運算z1=z2當(dāng)且僅當(dāng)Rez1=Rez2且Imz1=Imz1注：復(fù)數(shù)不能比較大小復(fù)數(shù)相等第8頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月零點與無窮遠(yuǎn)點復(fù)平面上特殊的點:零點和無窮遠(yuǎn)點.(1)復(fù)數(shù)零的幅角沒有定義,模為0.(2)無窮遠(yuǎn)點的模為∞,幅角不確定.包含“無窮遠(yuǎn)點”的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面，該無窮遠(yuǎn)點借助測地投影法來定義。第9頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月測地投影法定義無窮遠(yuǎn)點AAA’第10頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月二、復(fù)數(shù)的運算第11頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月

第12頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月三、復(fù)變函數(shù)區(qū)域的基本概念鄰域平面上以z0為中心，δ為半徑的圓的內(nèi)部的點所組成的集合，稱為z0的δ-鄰域|z-z0|<δ0<|z-z0|<δz0δz0δ第13頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月開集如果G內(nèi)的每一個點都是它的內(nèi)點，那么稱G為開集。Gz0內(nèi)點設(shè)G為一平面點集，z0為G中任意一點，如果存在z0的一個鄰域，使該鄰域的所有點都屬于G，那么稱z0為G的內(nèi)點。第14頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域平面點集D稱為一個區(qū)域，如果它滿足下列兩個條件：1.D是開集；2.D是連通的。邊界點設(shè)D為復(fù)平面上的一個區(qū)域，如果點p不屬于D，但是在p的任何鄰域內(nèi)都包含有D中的點，這樣的點p稱為D的邊界點。閉區(qū)域區(qū)域D連同它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域，記為Dz1z2p邊界D的邊界點之全體稱為D的邊界。第15頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月xyORxyORxyROrxyR-ROxOy1xOy第16頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月單連通域與多連通域設(shè)B為復(fù)平面上的一個區(qū)域，如果在其中作一條簡單的閉曲線（自身不相交的閉合曲線），而曲線內(nèi)部總屬于B，則稱B為單連通區(qū)域，否則稱為多連通區(qū)域。BB單連通域多連通域第17頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)變函數(shù)的定義設(shè)D是復(fù)平面上的一個區(qū)域。如果有一個確定的法則f存在，使得對于D內(nèi)的的每一個復(fù)數(shù)z，有一個或多個復(fù)數(shù)w=u+iv與之對應(yīng)，那么稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)，或復(fù)變函數(shù)，記為w=f(z)。說明1如果z的一個值對應(yīng)著唯一一個w值，那么我們稱f(z)是單值函數(shù)；如果z的一個值對應(yīng)著多個w值，那么我們稱f(z)是多值函數(shù)。值域：M={w|w=f(z),z∈D}第18頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月說明2復(fù)變函數(shù)w=f(z)可以看作是z平面到w平面上的一個映射。復(fù)變函數(shù)w=f(z)可以寫成w=u(x,y)+iv(x,y)，其中是z=x+iyw=f(z)z平面w平面第19頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例求0<θ<π,0<r<1經(jīng)w=iz變換后在w平面上的圖形。z平面w平面第20頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)變函數(shù)舉例—基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)z平面w平面第21頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月雙曲函數(shù)三角函數(shù)第22頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)第23頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性設(shè)A=u0+iv0第24頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1.2解析函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)可微與導(dǎo)數(shù)的概念定義1第25頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第26頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)復(fù)變函數(shù)f在內(nèi)有定義,如果極限存在,則稱函數(shù)f在處可導(dǎo),并稱此極限值為f在點處的導(dǎo)數(shù),記為,即或記為

定義結(jié)論：可微等價于可導(dǎo)，且若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的每一點都可導(dǎo)，則稱在D內(nèi)可導(dǎo).第27頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.求(為正整數(shù))的導(dǎo)數(shù).解：第28頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月1.從定義形式上看，復(fù)變函數(shù)與一元實變函數(shù)是完全一樣的，所以實變函數(shù)論中的相關(guān)規(guī)則往往可以適用于復(fù)變函數(shù)。2.復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)有更嚴(yán)格的要求實變函數(shù)Δx只能沿實軸逼近0，而復(fù)變函數(shù)Δz則可以沿任何曲線逼近于0。例如：注意：第30頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月首先看Δz則沿實軸逼近于0的情形：再看Δz沿虛軸逼近于0的情形：第31頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1.1.1(可導(dǎo)的必要條件)Cauchy-Riemann條件第32頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月例5證明：第34頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月定理1.1.2（可微的充要條件）第36頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)數(shù)f'(z0)的幅角Argf'(z0)是曲線經(jīng)過w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動角.w=f(z)Argf'(z0)導(dǎo)數(shù)f'(

z0)的模|f'(

z0)|是經(jīng)過w=f(z)映射后通過z0的任何曲線在z0的伸縮率。Z平面w平面復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義（伸縮系數(shù)與旋轉(zhuǎn)角）第39頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月解：第40頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月二、解析函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)w=f(z)在點z0的某鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(z)在點z0處解析；又若f(z)在區(qū)域D內(nèi)的每一點解析，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)是解析函數(shù)說明2.稱函數(shù)的不解析點為奇點1.解析與可導(dǎo)的關(guān)系函數(shù)在某點解析，則必在該點可導(dǎo)；反之不然第41頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月由定理9.2即得：定理9.3（判斷解析的充要條件）第42頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月解：例7.下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，何處解析第43頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月解:第44頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月解:第45頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月證明:第46頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月三、初等函數(shù)及性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)：注意：第47頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月2.三角函數(shù)性質(zhì)：，

，

第48頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第49頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月3.對數(shù)函數(shù)說明：第50頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)：第51頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月解:第52頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月4.冪函數(shù)性質(zhì)：第53頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月解：第54頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第55頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第56頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第57頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第58頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)

習(xí)題（P）1（1）（3）（5）；2第59頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第60頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第61頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第62頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第63頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第64頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第65頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第66頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第67頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁，課件共73頁，創(chuàng)作于2023年2月.以z軸作實部,顏色作虛部在這個圖像中,為了把不同虛部表示出來