八年級上冊數(shù)學（人教版）專題訓練：分式的運算技巧

第頁分式的運算技巧一、條件求值的三種技巧條件求值與常規(guī)的化簡求值這兩類問題的相同點：都是求某個式子的值．不同點：(1)前者給出的是字母滿足的條件，后者給出的是字母的值，因此前者不能直接代入計算；(2)前者中待求式子通常不需要化簡，而后者那么側(cè)重于化簡．?技巧一整體法為了把條件和待求的式子聯(lián)系起來，我們常把a＋b，a－b，ab，a2＋b2等當作整體，因為根據(jù)題目的條件有時不能求出a，b的值，即使能求出a或b的值，也沒必要求出，那樣會“走彎路〞或把問題復(fù)雜化．選擇某個式子作為整體不是固定不變的，應(yīng)視具體條件而定，只要它能把和未知“溝通〞起來，就可把它當作整體．1．實數(shù)x滿足x＋eq\f(1,x)＝3，那么x2＋eq\f(1,x2)的值為()A．6B．7C．8D．92．a(chǎn)2＋3ab＋b2＝0(a≠0，b≠0)，那么eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)的值等于________．3．x＋y＝xy，求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)－(1－x)(1－y)的值．4．x2－4x＋1＝0，求eq\f(2〔x－1〕,x－4)－eq\f(x＋6,x)的值．?技巧二倒數(shù)法eq\f(ab,a＋b)的倒數(shù)是eq\f(a＋b,ab)，而eq\f(a＋b,ab)可拆成eq\f(1,a)與eq\f(1,b)的和，即eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,b)＋eq\f(1,a).這種先取倒數(shù)后拆項的方法可使某些束手無策的問題迎刃而解．5．假設(shè)x2－5x＋1＝0，那么eq\f(x2,x4＋1)的值為________．6．三個數(shù)x，y，z滿足eq\f(xy,x＋y)＝－2，eq\f(yz,y＋z)＝eq\f(4,3)，eq\f(zx,z＋x)＝－eq\f(4,3)，求eq\f(xyz,xy＋yz＋zx)的值．?技巧三轉(zhuǎn)化法利用分式的根本性質(zhì)和條件，把異分母的加減法轉(zhuǎn)化為同分母的加減法．7．a(chǎn)，b為實數(shù)，且ab＝2，那么eq\f(a,a＋1)＋eq\f(b,b＋2)的值為()A．1B．2C．3D．48．假設(shè)ab＝1，那么eq\f(3,1＋a2)＋eq\f(3,1＋b2)＝________．9．a(chǎn)，b，c為實數(shù)，且abc＝1，求eq\f(a,ab＋a＋1)＋eq\f(b,bc＋b＋1)＋eq\f(c,ca＋c＋1)的值．二、異分母分式的加減法的兩種技巧異分母分式的加減法的常規(guī)做法：先確定各分式的最簡公分母，再通分，這樣即可把異分母分式的加減轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．但是對于某些特殊的異分母分式的加減運算，可以采取約分或運用分配律等方法轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減運算或整式的運算，從而到達異曲同工的效果．?技巧一約分10．計算eq\f(x2－1,x2＋2x＋1)＋eq\f(2,x＋1)的結(jié)果是()A．1B．2C．3D．411．計算：eq\f(x2＋9x,x2＋3x)＋eq\f(x2－9,x2＋6x＋9)＝________．12．計算：eq\f(x2－y2,x＋y)－eq\f(4x〔x－y〕＋y2,2x－y).13．先化簡，再求值：(eq\f(a2－4,a2－4a＋4)－eq\f(1,2－a))÷eq\f(2,a2－2a)，其中a滿足a2＋3a＋1＝0.?技巧二運用分配律含有括號的分式混合運算，通常先算括號里面的，但對有些算式運用分配律，既可以到達去括號的目的，又可以把異分母分式的加減運算轉(zhuǎn)化為整式運算．14．計算(eq\f(a,a－2)－eq\f(a,a＋2))÷eq\f(a,4－a2)的結(jié)果是()A．－4B．4C．2aD．－2a15．先化簡，再求值：eq\f(a2－1,a)·(eq\f(3a,a－1)－eq\f(a,a＋1))，其中a＝2.16．先化簡，再求值：(eq\f(x2－16,x2＋8x＋16)＋eq\f(x,x－4))÷eq\f(1,x2－16)，其中x＝3.17．化簡并求值：eq\f(1,2a)－eq\f(1,a－b)·(eq\f(a－b,2a)－a2＋b2)，其中a＝10，b＝5.詳解詳析1．[解析]B原式＝(x＋eq\f(1,x))2－2＝32－2＝7.應(yīng)選B.2．[答案]－3[解析]eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝eq\f(b2＋a2,ab)，又a2＋b2＝－3ab，故原式＝eq\f(－3ab,ab)＝－3.3．解：∵x＋y＝xy，∴原式＝eq\f(y＋x,xy)－(1－x－y＋xy)＝eq\f(x＋y,xy)－1＋x＋y－xy＝1－1＋0＝0.4．解：eq\f(2〔x－1〕,x－4)－eq\f(x＋6,x)＝eq\f(2x〔x－1〕－〔x－4〕〔x＋6〕,x〔x－4〕)＝eq\f(x2－4x＋24,x2－4x).∵x2－4x＋1＝0，∴x2－4x＝－1.∴原式＝eq\f(x2－4x＋24,x2－4x)＝eq\f(－1＋24,－1)＝－23.5．[答案]eq\f(1,23)[解析]顯然x＝0不是方程x2－5x＋1＝0的解，由此可將方程x2－5x＋1＝0的兩邊同時除以x，得eq\f(x2－5x＋1,x)＝0，左邊拆開得x－5＋eq\f(1,x)＝0，即x＋eq\f(1,x)＝5，兩邊同時平方，得x2＋2＋(eq\f(1,x))2＝25，∴x2＋eq\f(1,x2)＝23，即eq\f(x4＋1,x2)＝23，∴eq\f(x2,x4＋1)＝eq\f(1,23).6．解：依題意，得eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝－eq\f(1,2)，eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(3,4)，eq\f(1,z)＋eq\f(1,x)＝－eq\f(3,4)，以上三個方程相加，得2(eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z))＝－eq\f(1,2).即eq\f(xy＋yz＋zx,xyz)＝－eq\f(1,4)，∴eq\f(xyz,xy＋yz＋zx)＝－4.7．[解析]A將第一個分式的分子和分母同時乘b，得原式＝eq\f(ab,ab＋b)＋eq\f(b,b＋2).∵ab＝2，∴原式＝eq\f(2,b＋2)＋eq\f(b,b＋2)＝eq\f(b＋2,b＋2)＝1.應(yīng)選A.8．[答案]3[解析]將第二個分式的分子和分母同時乘a2，得原式＝eq\f(3,1＋a2)＋eq\f(3a2,a2＋〔ab〕2).∵ab＝1，∴原式＝eq\f(3,1＋a2)＋eq\f(3a2,1＋a2)＝eq\f(3〔1＋a2〕,1＋a2)＝3.9．解：將第二個、第三個分式的分子和分母分別乘a，ab，得原式＝eq\f(a,ab＋a＋1)＋eq\f(ab,abc＋ab＋a)＋eq\f(abc,a2bc＋abc＋ab).∵abc＝1，∴原式＝eq\f(a,ab＋a＋1)＋eq\f(ab,1＋ab＋a)＋eq\f(1,a＋1＋ab)＝eq\f(ab＋a＋1,ab＋a＋1)＝1.10．[解析]A原式＝eq\f(〔x－1〕〔x＋1〕,〔x＋1〕2)＋eq\f(2,x＋1)＝eq\f(x－1,x＋1)＋eq\f(2,x＋1)＝eq\f(x＋1,x＋1)＝1.應(yīng)選A.11．[答案]2[解析]原式＝eq\f(x〔x＋9〕,x〔x＋3〕)＋eq\f(〔x－3〕〔x＋3〕,〔x＋3〕2)＝eq\f(x＋9,x＋3)＋eq\f(x－3,x＋3)＝eq\f(2〔x＋3〕,x＋3)＝2.12．解：原式＝eq\f(〔x＋y〕〔x－y〕,x＋y)－eq\f(〔2x－y〕2,2x－y)＝x－y－(2x－y)＝－x.13．解：原式＝[eq\f(〔a－2〕〔a＋2〕,〔a－2〕2)－eq\f(1,2－a)]÷eq\f(2,a2－2a)＝(eq\f(a＋2,a－2)＋eq\f(1,a－2))·eq\f(a〔a－2〕,2)＝eq\f(1,2)(a2＋3a)．∵a2＋3a＋1＝0，∴a2＋3a＝－1，∴原式＝eq\f(1,2)×(－1)＝－eq\f(1,2).14．[解析]A原式＝eq\f(a,a－2)·eq\f(4－a2,a)－eq\f(a,a＋2)·eq\f(4－a2,a)＝－(a＋2)＋(a－2)＝－4.應(yīng)選A.15．解：原式＝eq\f(a2－1,a)·eq\f(3a,a－1)－eq\f(a2－1,a)·eq\f(a,a＋1)＝3(a＋1)－(a－1)＝2(a＋2)．當a＝2時，原式＝2×(2＋2)＝8.16．解：原式＝[eq\f(〔x－4〕〔x＋4〕,〔x＋4〕2)＋eq\f(x,x－4)]÷eq\f(1,x2－16)＝(