91特殊四邊形的基本知識(shí)課件

9.1 特殊四邊形的基本知識(shí)A特殊四邊形目錄B各特殊四邊形的定義平行四邊形的性質(zhì)A平行四邊形的判定條件B目錄9.2平行四邊形菱形的性質(zhì)A長(zhǎng)方形的性質(zhì)B目錄9.3菱形、長(zhǎng)方形及正方形正方形的性質(zhì)C中點(diǎn)定理A截線定理B9.5中點(diǎn)定理及截線定理目錄

目錄

9.1

例題演示9.1

特殊四邊形的基本知識(shí)? 在小學(xué)階段，我們已學(xué)過一些特殊的四邊形，例如梯形(trapezium)、平行四邊形(parallelogram)、菱形(rhombus)、長(zhǎng)方形(rectangle)及正方形(square)。A)特殊四邊形目錄

試把以下的特殊四邊形分類。

9.1

特殊四邊形的基本知識(shí)ABCDA.正方形B.菱形C.長(zhǎng)方形D.梯形

重點(diǎn)理解

9.1.1目錄B)各特殊四邊形的定義9.1

特殊四邊形的基本知識(shí)1. 梯形

有一組對(duì)邊平行的四邊形2.

平行四邊形 有兩組對(duì)邊平行的四邊形目錄

例題演示B)各特殊四邊形的定義9.1

特殊四邊形的基本知識(shí)

目錄

9.13.

菱形 四條邊的長(zhǎng)度都相等的四邊形4.

長(zhǎng)方形 四個(gè)角都相等的四邊形5.

正方形 各邊的長(zhǎng)度相等及各角都相等的四邊形目錄求長(zhǎng)方形

ABCD

中的x。

9.1

特殊四邊形的基本知識(shí)x=90°目錄求菱形PQRS

中的y

和z。

9.1

特殊四邊形的基本知識(shí)y=z=1目錄求平行四邊形

EFGH

中的θ。

9.1

特殊四邊形的基本知識(shí)60°+θ=180°∴θ=120°

重點(diǎn)理解

9.1.2目錄

目錄

9.2

例題演示9.2

平行四邊形A)平行四邊形的性質(zhì)1. 一個(gè)平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等。2. 一個(gè)平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等?！竞?jiǎn)記：平行四邊形性質(zhì)】3. 一個(gè)平行四邊形的對(duì)角線互相平分。目錄在圖中，ABCD

是一個(gè)平行四邊形。

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，求

DC,BC,A

和

D。

9.2

平行四邊形D=B=130°

DC=AB=4cmBC=AD=2cmA=C=50°目錄在圖中，ABCD

是一個(gè)平行四邊形。若AE=3cm及DE=2cm，求EC

及EB.9.2

平行四邊形EC=AE=3cmEB=DE=2cm目錄在圖中，ABCD

是一個(gè)平行四邊形，AC和BD

為對(duì)角線。求x、

y

和z。

9.2

平行四邊形

(平行四邊形性質(zhì))x=15°+30°=45°目錄9.2

平行四邊形∴

z–5=6 z =11

返回問題x+y+30°=180°45°+y+30°=180° y =105°(同旁內(nèi)角，AB//DC)AD=BC

(平行四邊形性質(zhì))習(xí)題目標(biāo)求平行四邊形中的未知量。目錄圖中的PQRS

是一個(gè)平行四邊形，T是SR

上的一點(diǎn)使PT

平分∠SPQ

。已知∠QRS

=130°

，求a和b。9.2

平行四邊形目錄

返回問題習(xí)題目標(biāo)求平行四邊形中的未知量。9.2

平行四邊形SPQ=2TPQ=2a(已知)SPQ=QRS(平行四邊形質(zhì))∴2a =130° a =65°a+b=180°(同旁內(nèi)角，PQ//SR)即65°+b=180°∴ b =115°目錄在圖中，AB//DC

，X

是AB

上一點(diǎn)，使XC//AD

，XD//BC

及XC⊥XD

。已知XB=5cm

及BC=3cm，求四邊形AXCD

的周界。9.2

平行四邊形目錄

返回問題習(xí)題目標(biāo)求平行四邊形中的未知量。9.2

平行四邊形=2(AX+XC)=2(5+4)cm=18cm根據(jù)定義，XBCD

及AXCD

都是平行四邊形。

∴BCX=DXC=90°(內(nèi)錯(cuò)角，BC//XD)在△XBC中，根據(jù)畢氏定理，DC=XB=5cm(平行四邊形性質(zhì))在平行四邊形

AXCD中，AD=XC

及AX=DC(平行四邊形性質(zhì))AXCD的周界目錄在圖中，ABCD

是一個(gè)平行四邊形，其中AD=3cm,DC=5cm,AE=2cm。

求9.2

平行四邊形(a) DAC,(b)EB

的長(zhǎng)度，準(zhǔn)確至三位有效數(shù)字。

目錄

返回問題(a) EC=AE=2cm9.2

平行四邊形∴AC =AE+EC =4cm(平行四邊形的性質(zhì))∴AD2+AC2=DC2AD2+AC2在△ADC

中，=(32+42)cm2=25cm2=52cm2=25cm2DC2根據(jù)畢氏定理的逆定理，DAC=90°目錄返回問題習(xí)題目標(biāo)求平行四邊形中的未知量。9.2

平行四邊形在△DAE中，DAC=90°.根據(jù)畢氏定理，DEEB=DE=3.61cm（準(zhǔn)確至三位有效數(shù)字）(平行四邊形性質(zhì))

重點(diǎn)理解

9.2.1目錄(b)B)平行四邊形的判定條件? 如果一個(gè)四邊形符合以下其中一個(gè)條件，則該四邊形便是平行四邊形。9.2

平行四邊形i. 四邊形的兩組對(duì)邊分別相等。

【簡(jiǎn)記：對(duì)邊相等】ii. 四邊形的兩組對(duì)角分別相等。

【簡(jiǎn)記：對(duì)角相等】目錄B)平行四邊形的判定條件9.2

平行四邊形四邊形的兩條對(duì)角線互相平分。

【簡(jiǎn)記：對(duì)角線互相平分】四邊形的其中一組對(duì)邊平行而且相等。

【簡(jiǎn)記：對(duì)邊//且相等】

目錄

9.2

例題演示目錄在圖中，ABCD

為一平行四邊形。已知AM=CN

，證明DMBN

亦是平行四邊形。9.2

平行四邊形對(duì)邊//且相等MD =AD–AMBN =BC–NCAD =BC平行四邊形性質(zhì)AM=NC已知∴MD=BN而MD//BN已知∴DMBN是一個(gè)平行四邊形習(xí)題目標(biāo)證明一個(gè)四邊形是平行四邊形。目錄在圖中，(a) 求a的值；(b) 證明

KLMN

是一個(gè)平行四邊形；(c) 求b

的值。

9.2

平行四邊形(a) 100°+(a+40°)+100°+(3a–40°) =360° 4a+200° =360° 4a =160° a =40°目錄

返回問題(b) L=N=100°

已知M =3a–40°

=340°–40°由(a)部所得9.2

平行四邊形∴M=K∴

KLMN

是一個(gè)平行四邊形由(a)部所得=80°K =a+40° =40°+40°=80°對(duì)角相等目錄返回問題(c) KN =LM

9.2

平行四邊形∴5b–1 =4 5b =5 b =1(平行四邊形性質(zhì))習(xí)題目標(biāo)綜合題。目錄在圖中，ABCD

是一個(gè)平行四邊形，E和F是對(duì)角線AC

上的點(diǎn)使AE=FC

。證明DEBF是一個(gè)平行四邊形。9.2

平行四邊形目錄返回問題DG=GB已知習(xí)題目標(biāo)證明一個(gè)四邊形是平行四邊形。9.2

平行四邊形作直線BD

與AC

相交於G，如右圖所示。∴AG–AE=GC–FCi.e. EG=GF∴

DEBF

是一個(gè)平行四邊形。平行四邊形性質(zhì)AG=GCAE=FC平行四邊形性質(zhì)對(duì)角線互相平分重點(diǎn)理解

9.2.2目錄

目錄

9.3

例題演示9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形平行四邊形的所有性質(zhì)。

對(duì)角線互相垂直。

內(nèi)角被對(duì)角線平分。

A)菱形的性質(zhì)【簡(jiǎn)記︰菱形性質(zhì)】目錄求菱形ABCD中的未知量。9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形x=7(菱形性質(zhì))9–y=7(菱形性質(zhì))∴

y=2 a=30°(菱形性質(zhì))b+a+30°=180°(同旁內(nèi)角，AD//BC)b+30°+30° =180°∴

b =120°目錄參看右圖所給菱形ABCD

，求圖中的未知量。9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形30°+90°+z =180° z =60°x=90°(菱形性質(zhì))在菱形ABCD中，由於

EAD=30°，所以y=30°(菱形性質(zhì))在△AED

中，

30°+x+z =180°(△內(nèi)角和)目錄返回問題9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形即s=2BE=ED(菱形性質(zhì))=1∴BD=BE+ED=2 BAD =y+30°

=30°+30° =60°∴BAD=BDA=60°∴

AB=BD(等腰△底角)習(xí)題目標(biāo)利用菱形的性質(zhì)求未知量或證明幾何性質(zhì)。目錄附圖是一隻邊長(zhǎng)為13cm

的菱形風(fēng)箏ABCD

其中較短的一條對(duì)角線BD

長(zhǎng)10cm

。求9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形(a) 對(duì)角線AC

的長(zhǎng)度；(b) 風(fēng)箏ABCD

的面積。目錄返回問題9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形(a) 連接

AC

和BD

使它們交於一點(diǎn)E。

DE=EB(菱形性質(zhì))AED=90°(菱形性質(zhì))根據(jù)畢氏定理，AE=212cm=24cm∵

EC=AE

(菱形性質(zhì))∴EC=12cmAC目錄返回問題9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形(b) 風(fēng)箏

ABCD的面積=120cm2=△ADB的面積+△CDB的面積=2

△ADB的面積=2

BD

AE=2

1012cm2習(xí)題目標(biāo)利用菱形的性質(zhì)求未知量或證明幾何性質(zhì)。

重點(diǎn)理解

9.3.1目錄B)長(zhǎng)方形的性質(zhì)9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形【簡(jiǎn)記︰長(zhǎng)方形性質(zhì)】平行四邊形的所有性質(zhì)。

2. 所有角都是直角。

3. 對(duì)角線相等。

4. 對(duì)角線互相平分。

目錄

9.3例題演示目錄在圖中，若ABCD是一個(gè)長(zhǎng)方形，求x、y

和z

。9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形ED=BE(長(zhǎng)方形性質(zhì))∴

x =9AC=BD(長(zhǎng)方形性質(zhì))∴ y =29 =18EA=ED(長(zhǎng)方形性質(zhì))EAD=EDA(等腰△

底角)目錄9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形(長(zhǎng)方形性質(zhì))

返回問題即EDA=42°BAD=90°∴ 42°+z+90° =180° z =48°

(△內(nèi)角和)在△ABD

中，ADB+DBA+BAD=180°目錄在圖中，ABCD

是一個(gè)長(zhǎng)方形，AC

與DB

相交於E

。AB=8

及BC=6

。求EB

的長(zhǎng)度。9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形=10考慮

△ABCABC=90°(長(zhǎng)方形性質(zhì))AC2=AB2+BC2(畢氏定理)∴

AC=目錄返回問題習(xí)題目標(biāo)利用長(zhǎng)方形的性質(zhì)求未知量。9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形=5DB=AC(長(zhǎng)方形性質(zhì))=10DE=EB(長(zhǎng)方形性質(zhì))∴

EB=DB=目錄在圖中，ABCD

是一個(gè)平行四邊形，PCDB

是一個(gè)長(zhǎng)方形而ABP

是一條直線。已知AD=8cm

及∠ADP=72°

，求9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形(a) PD,(b)BAD.目錄返回問題9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形(a) PD(長(zhǎng)方形性質(zhì))=AD(平行四邊形性質(zhì))=8cm=BC=54°(b) ∵

AD=PD=8cm

∴BAD=BPD(等腰△底角)在△ADP

中，BAD+BPD+ADP=180°(△內(nèi)角和)2BAD+72°=180°BAD=(180°–72°)習(xí)題目標(biāo)利用長(zhǎng)方形的性質(zhì)求未知量。目錄

例題演示C)正方形的性質(zhì)9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形【簡(jiǎn)記︰正方形性質(zhì)】長(zhǎng)方形的所性質(zhì)。

菱形的所有性質(zhì)。

對(duì)角線與邊的夾角是45°。

目錄

9.3目錄在圖中，

PQRS

是一個(gè)正方形，PR

與QS

相交於T

且PT=1

。9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形(a) 求ST的長(zhǎng)度。(b) 求正方形PQRS

的周界。(答案以根號(hào)‘’表示。)(a) ST=PT(正方形性質(zhì))=1目錄返回問題9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形習(xí)題目標(biāo)利用正方形的性質(zhì)求未知量或證明幾何性質(zhì)。(b) PTS=90°(正方形性質(zhì))在△PTS

中，PS2=PT2+ST2(畢氏定理)=12+12=2PS=PS=PQ=QR=RS(正方形性質(zhì))∴

PQRS的周界=4PS=目錄=4在圖中，ABCD

是一個(gè)正方形。E

是BC

延線上的一點(diǎn)使AC=EC

。求∠DAE。9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形(等腰△底角)∵

DCA =45°

(正方形性質(zhì))∴ACE

∵EC=CA

∴AEC=CAE=90°+45°=135°目錄返回問題9.3

菱形、

長(zhǎng)方形及正方形習(xí)題目標(biāo)利用正方形的性質(zhì)求未知量或證明幾何性質(zhì)∴ DAE =22.5°AEC+CAE+ACE=180°2AEC+135°=180°AEC=(180°–135°)=22.5°AEC=DAE(內(nèi)錯(cuò)角，DA//EB)(△內(nèi)角和)重點(diǎn)理解

9.3.3目錄例題演示? 在本節(jié)，我們會(huì)利用特殊四邊形的性質(zhì)以演繹法去作更多的幾何證明，而這些證明都是牽涉特殊四邊形的。有關(guān)平行四邊形的證明題目錄9.4

有關(guān)平行四邊形的證明題在平行四邊形ABCD

中，O

點(diǎn)為對(duì)角線BD

和AC的交點(diǎn)，PQ

為過O

點(diǎn)的任意一條直線。證明PO=QO

。目錄9.4

有關(guān)平行四邊形的證明題返回問題習(xí)題目標(biāo)涉及平行四邊形的證明。全等△對(duì)應(yīng)邊考慮右圖三角形POD

及QOB

。p=q對(duì)頂角OD=OB平行四邊形性質(zhì)d=b內(nèi)錯(cuò)角，AD//BC∴△POD

△QOBASA即

PO =QO目錄9.4

有關(guān)平行四邊形的證明題在圖中，ABCD是一個(gè)平行四邊形，P、Q分別是線段AB及DC上的點(diǎn)使AP=QC。證明PQ和BD互相平分。目錄9.4

有關(guān)平行四邊形的證明題返回問題習(xí)題目標(biāo)涉及平行四邊形的證明。平行四邊形性質(zhì)連接PD及BQ，如右圖所示。平行四邊形性質(zhì)已知AB=DCAP=QC∴ AB–AP=DC

–

QC目錄即 PB=DQ又 PB//DQ∴

PBQD

是一個(gè)平行四邊形?！?/p>

PQ和BD

互相平分。

平行四邊形性質(zhì)對(duì)邊//且相等9.4

有關(guān)平行四邊形的證明題在圖中，ABCD是一個(gè)長(zhǎng)方形的鉛筆盒，況面擺放兩把三角尺AFD和CEB，三角尺上的兩條邊AF和CE沿EF形成一直線。(a) 證明這兩把三角尺全等。(b) 鉛筆盒內(nèi)另有一支鉛筆沿對(duì)角BD斜放。已知CF=5cm及EF=8cm，求該鉛筆的長(zhǎng)度。

解

解目錄9.4

有關(guān)平行四邊形的證明題返回問題(a) 考慮右圖AFD及CEB。內(nèi)錯(cuò)角，AD//BC已知長(zhǎng)方形性質(zhì)AASa=cAFD=CEB=90°AD=BC即兩把三角尺全等?！?/p>

△AFD

△CEB目錄9.4

有關(guān)平行四邊形的證明題返回問題(b) CF=5cm即鉛筆的長(zhǎng)度是18cm

。EF=8cmCE AF(全等△對(duì)應(yīng)邊)=CE=13cmAC BD=AC(長(zhǎng)方形性質(zhì))∴

BD=18cm=CF+EF=13cm=AF+FC=(13+5)cm=18cm習(xí)題目標(biāo)涉及菱形、長(zhǎng)方形及正方形的證明。重點(diǎn)理解

9.4.1目錄9.4

有關(guān)平行四邊形的證明題例題演示A)中點(diǎn)定理? 在△ABC,若AM=MB

及AN=NC，則MN//BC

及MN=BC。

【簡(jiǎn)記︰中點(diǎn)定理】目錄

9.5目錄9.5

中點(diǎn)定理及截線定理在圖中，求ST及x。(同位角，ST//QR)ST(中點(diǎn)定理)=8cm=4cmST//QR(中點(diǎn)定理)∴x=30°=QR目錄9.5

中點(diǎn)定理及截線定理在圖中，AD=DB，AE=EC，DE=3cm，∠DAE=48°及∠ACB=56°，求(a) x

和y；(b) BC。

(a) AD=DB

及AE=EC.(已知)∴DE//BC(中點(diǎn)定理)∴

y=56°(同位角，DE//BC)目錄9.5

中點(diǎn)定理及截線定理返回問題習(xí)題目標(biāo)利用中點(diǎn)定理求未知量或證明幾何性質(zhì)。48°+x+56° =180° x =76°(a) 在△ADE

中，(△內(nèi)角和)48°+x+y=180°

∴

BC =2DE =23cm =6cm(b) 在△ABC

中，DE=BC(中點(diǎn)定理)目錄9.5

中點(diǎn)定理及截線定理在圖中，G、F和C分別是BA、BE和BD的中點(diǎn)。AFC是一條直線。如果∠BDE=80°，ED=4cm及AF=2cm，求(a) FC

的長(zhǎng)度；(b) AFG。

目錄9.5

中點(diǎn)定理及截線定理返回問題= 2cm(a) 在△BDE

中，BC=CD(已知)BF=FE(已知)∴

FC=ED(中點(diǎn)定理)=4cm目錄9.5

中點(diǎn)定理及截線定理返回問題(b) 在△BDE中，F(xiàn)C//ED(中點(diǎn)定理)∴

FCB(同位角，F(xiàn)C//ED)=EDB=80°在△ABC

中，AG=GB(已知)AF=FC=2cm∴GF//BC(中點(diǎn)定理)∴AFG(同位角，

GF//BC)=FCB=80°習(xí)題目標(biāo)利用中點(diǎn)定理求未知量或證明幾何性質(zhì)。目錄9.5

中點(diǎn)定理及截線定理在圖中，P、Q、R和S分別是任意四邊形ABCD的邊AB、BC、CD和DA的中點(diǎn)。證明如此形成的四邊形PQRS是一個(gè)平行四邊形。目錄9.5

中點(diǎn)定理及截線定理返回問題連接BD。

在△ABD

中，AP=PBAS=SD已知已知∴

PS//BD及

PS=BD中點(diǎn)定理∴

PQRS

是一個(gè)平行四邊形。同理，在

△CBD

中，QR//BD及QR=BD∴

PS//QR及PS=QR對(duì)邊//且相等習(xí)題目標(biāo)利用中點(diǎn)定理求未知量或證明幾何性質(zhì)。

重點(diǎn)理解

9.5.1目錄9.5

中點(diǎn)定理及截線定理B)截線定理

目錄

9.5

例題演示2. 若AM=MB

及MN//BC，

則AN=NC. 【簡(jiǎn)記︰截線定理】1. 若AD//BE//CF

及AB=BC，

則DE=EF. 【簡(jiǎn)記︰截線定理】目錄9.5

中點(diǎn)定理及截線定理參看附圖，已知BF=8cm，求x。=4AB//CD//EF(已知)AC=CE(已知)∴BD=DF(截線定理)∴BD=BF即

x =8目錄9.5

中點(diǎn)定理及截線定理在圖中，AD=DB