微積分第一講課件

微積分第一講1、紀(jì)律是管理關(guān)系的形式?！⒎{西耶夫2、改革如果不講紀(jì)律，就難以成功。3、道德行為訓(xùn)練，不是通過語言影響，而是讓兒童練習(xí)良好道德行為，克服懶惰、輕率、不守紀(jì)律、頹廢等不良行為。4、學(xué)校沒有紀(jì)律便如磨房里沒有水?！涿兰~斯5、教導(dǎo)兒童服從真理、服從集體，養(yǎng)成兒童自覺的紀(jì)律性，這是兒童道德教育最重要的部分?！慂Q琴微積分第一講微積分第一講1、紀(jì)律是管理關(guān)系的形式。——阿法納西耶夫2、改革如果不講紀(jì)律，就難以成功。3、道德行為訓(xùn)練，不是通過語言影響，而是讓兒童練習(xí)良好道德行為，克服懶惰、輕率、不守紀(jì)律、頹廢等不良行為。4、學(xué)校沒有紀(jì)律便如磨房里沒有水。——夸美紐斯5、教導(dǎo)兒童服從真理、服從集體，養(yǎng)成兒童自覺的紀(jì)律性，這是兒童道德教育最重要的部分。——陳鶴琴微積分

第一講馬黎

（2014.4.15）第一講函數(shù)簡介第一次數(shù)學(xué)危機----數(shù)域的擴(kuò)張

當(dāng)時的人只有「有理數(shù)」的觀念是絕不奇怪的。對于整數(shù)，在數(shù)在線我們可以知道是一點點分散的，而且點與點之間的距離是一，那就是說，整數(shù)不能完全填滿整條數(shù)線，但有理數(shù)則不同了，我們發(fā)現(xiàn)任何兩個有理數(shù)之間，必定有另一個有理數(shù)存在，例如：1與2之間有1/2，1與1/2之間有1/4等，因此令人很容易以為「有理數(shù)」可以完全填滿整條數(shù)線，「有理數(shù)」就是等于一切數(shù)，可惜這個想法是錯的。3、畢達(dá)哥拉斯定理（畢氏鐵拳）

具有戲劇性的是由畢達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)時眾所周知的畢達(dá)哥拉斯定理（其實中國于公元前一千一百年已有此定理叫勾股定理），畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？

一個不能表成整數(shù)比的數(shù)：

根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，邊長為1的正方形，其對角線長度若記為c，則推出。如圖:

C

1

希帕索斯(Hippasus)一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的？

他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。亦即是說有理數(shù)并非一切數(shù)，存在有理數(shù)以外的數(shù)，有理數(shù)不可以完全填滿整條數(shù)線，他們心中的信念完完全全被破壞了，他們所恃和所自豪的信念完全被粉碎。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)√2的誕生。小小√2的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大風(fēng)暴。它直接動搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。有人說，這種性質(zhì)是希帕索斯約在公元前400年發(fā)現(xiàn)的，為此，他的同伴把他拋進(jìn)大海。不過更有可能是畢達(dá)哥拉斯已經(jīng)知道這種事實，而希帕索斯因泄密而被處死。不管怎樣，這個發(fā)現(xiàn)對古希臘的數(shù)學(xué)觀點有極大的沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之?dāng)?shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，于是幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。實際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊。對于當(dāng)時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經(jīng)驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識，多么荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當(dāng)時直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識上的危機，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場大的風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機”。在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界來說，是一個極大的震撼，也是歷史上的「第一次數(shù)學(xué)危機」。4、新的一頁

原來“第一次數(shù)學(xué)危機”是“無理數(shù)”的發(fā)現(xiàn)，不過它還說出了“有理數(shù)”的不完備性，亦即有理數(shù)不可以完全填滿整條數(shù)線，在有理數(shù)之間還有“空隙”，無疑這些都是可被證明的事實，是不能否定的。面對著事實，數(shù)學(xué)家展開廣闊的胸襟，把“無理數(shù)”引入數(shù)學(xué)的大家庭，令數(shù)學(xué)更豐富更完備，加添了無理數(shù)，數(shù)線終于被填滿了。

矛盾的消除，危機的解決，往往給數(shù)學(xué)帶來新的內(nèi)容，新的進(jìn)展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發(fā)展的歷史動力這一基本原理。整個數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是矛盾斗爭的歷史，斗爭的結(jié)果就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。5、數(shù)域的擴(kuò)張

人類最早認(rèn)識的是自然數(shù)。從引進(jìn)零及負(fù)數(shù)就經(jīng)歷過斗爭：要么引進(jìn)這些數(shù)，要么大量的數(shù)的減法就行不通；同樣，引進(jìn)分?jǐn)?shù)使乘法有了逆運算——除法，否則許多實際問題也不能解決。但是接著又出現(xiàn)了√2

這樣的問題，數(shù)域就是這樣在不斷擴(kuò)張。

數(shù)的分類數(shù)域回顧以前的各種數(shù)學(xué)，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學(xué)也是從實際出發(fā)，應(yīng)用到實際問題中去的。比如泰勒斯預(yù)測日食，利用影子距離計算金字塔高度，測量船只離岸距離等等，都是屬于計算技術(shù)范圍的。至于埃及、巴比倫、中國、印度等國的數(shù)學(xué)，并沒有經(jīng)歷過這樣的危機和革命，所以也就一直停留在“算學(xué)”階段。而希臘數(shù)學(xué)則走向了完全不同的道路，形成了歐幾里得《幾何原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系。

一、函數(shù)生活中的函數(shù)舉例函數(shù)的常用表示法

列表法圖像法解析式法

第一章函數(shù)

一、區(qū)間與鄰域（一）區(qū)間

以上區(qū)間稱為有限區(qū)間第一章函數(shù)

以上區(qū)間稱為無限區(qū)間

（二）鄰域二函數(shù)2.函數(shù)的記號

3

.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.求定義域原則1）分母不為零（ln1=0）2）開偶次方時被開方數(shù)非負(fù)3）對數(shù)的真數(shù)為正分段函數(shù)的定義域介紹幾個常用符號三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1.函數(shù)的有界性:2．函數(shù)的單調(diào)性:xyoxyo【注】偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱yxox-x3.函數(shù)的奇偶性:yxox-x【注】奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱4.函數(shù)的周期性五、分段函數(shù)在自變量的不同取值范圍內(nèi)，用不同的公式表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù).【注】分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集

如符號函數(shù)

-11xyo例4解故三、基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)是指下列六類函數(shù)：常量函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)和反三角函數(shù)．1.常數(shù)函數(shù)

2.冪函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)4.對數(shù)函數(shù)5.三角函數(shù)函數(shù)5.三角函數(shù)函數(shù)5.三角函數(shù)函數(shù)5.三角函數(shù)函數(shù)6.反三角函數(shù)函數(shù)6.反三角函數(shù)函數(shù)6.反三角函數(shù)函數(shù)6.反三角函數(shù)函數(shù)四、函數(shù)的運算：復(fù)合函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).函數(shù)的起源近代數(shù)學(xué)本質(zhì)上可以說是變量數(shù)學(xué)，而變量數(shù)學(xué)的興起是由于解析幾何的創(chuàng)立。解析幾何的基本思想是平面上引進(jìn)所謂的坐標(biāo)的概念，以此在平面上的點和有序?qū)崝?shù)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系。解析幾何的發(fā)明歸功于兩位法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（R.Descartes，1596-1650）和費馬（P.de.Fermat1601-1665）.解析幾何是代數(shù)和幾何相結(jié)合的產(chǎn)物，他將變量引進(jìn)到數(shù)學(xué)，使運動與變化的定量表述稱為可能，從而為微積分的創(chuàng)立打下基礎(chǔ)。函數(shù)（function）一詞最初是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（G.W.Leibniz，1646-1716）在1692年開始使用的。1734年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler，1707-1783）引入了符號f(x)，并稱變量的函數(shù)是一個解析表達(dá)式，認(rèn)為函數(shù)是由一個公式確定的數(shù)量關(guān)系。但，當(dāng)時的函數(shù)概念仍然是比較模糊的。直到1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（P.G.L.Dirichlet，1805-1859）提出?！叭绻麑τ谝粋€x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)?！边@個定義才比較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵：不管其對應(yīng)法則是公式、表格、圖像還是其他形式，函數(shù)f(x)是x與y之間的一種對應(yīng)關(guān)系。1859年，清代數(shù)學(xué)家李善蘭（1811-1882）第一次將function譯成函數(shù)。19世紀(jì)70年代以后，隨著集合概念的出現(xiàn)，函數(shù)概念又得以用更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募虾蛯?yīng)的語言表達(dá)。練習(xí)1、求下列函數(shù)的定義域2、判斷下列函數(shù)的奇偶性3、分