向量在平面幾何中的應(yīng)用

#/2向量在平面幾何中的應(yīng)用向量是形與數(shù)的高度統(tǒng)一，它集幾何圖形的直觀與代數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)潔與一身，向量的雙重身份（既是幾何對(duì)象又是代數(shù)運(yùn)算對(duì)象）決定了向量在解決平面幾何問題的重要作用.但是初步接觸向量，好多學(xué)生還不習(xí)慣用向量解決幾何中常見的判斷幾何圖形形狀，證明全等，直線平行、垂直，求線段的長(zhǎng)度，夾角等問題.向量是連接代數(shù)與幾何間的又一座橋梁，它幾乎與中學(xué)階段幾何內(nèi)容與部分代數(shù)內(nèi)容都有聯(lián)系.利用向量解答平面幾何問題的一般步驟是：1.將題設(shè)和結(jié)論中的有關(guān)元素轉(zhuǎn)化為向量形式；2.確定必要的基底向量，并用基地表示其他向量；3.借助于向量的運(yùn)算解決問題.共線定理的作用：用向量共線定理可以證明幾何中的直線平行、三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)問題．但是向量平行與直線平行是有區(qū)別的，直線平行不包括重合的情況．要證明三點(diǎn)共線或直線平行都是先探索有關(guān)的向量滿足向量等式b=九〃，再結(jié)合條件或圖形有無公共點(diǎn)證明幾何位置.相關(guān)結(jié)論：.平面上三點(diǎn)A、B、C共線=AB=lBC.（向量共線且有公共點(diǎn)才能得出三點(diǎn)共線.）.點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，0為平面內(nèi)的任意一點(diǎn)=0P=10A+0B..平面上三點(diǎn)A、B、C共線=O為不同于A、B、C的任意一點(diǎn)，OC=>OA+NOB且入+日=1..應(yīng)用一：應(yīng)用向量知識(shí)證明三點(diǎn)共線例1：如圖已知△ABC兩邊AB、AC的中點(diǎn)分別為M、N，在BN延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P，使NP=BN，在CM延長(zhǎng)線上取點(diǎn)Q，使MQ=CM.求證：P、A、Q三點(diǎn)共線AN=1b,AM=-a解：設(shè)AB=a,AC=b，貝心由此可得BN=NP=1b-a，CM=MQ=1a-b，^2 ^2「.-PA=AN+NP,PA=-(b-a)=a-b，-AQ=AM+MQ,AQ=-(b-a)=a-b，即PA=PQ,故有PA//AQ，且它們有公共點(diǎn)A，所以P、A、Q三點(diǎn)共線.應(yīng)用二：應(yīng)用向量知識(shí)解決有關(guān)平行的問題例2、證明順次連結(jié)四邊形各中點(diǎn)所得四邊形為平行四邊形.已知：如圖，四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是平行四邊形.分析：要證平行四邊形，只需證一組對(duì)邊平行且相等，即它們所對(duì)應(yīng)的向量相等.證明：連接AC,E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EF=EB+BF=1AB+1BC=1-（.AB+BC）1AC,2 2 2 2 ,同理HG=1AC:.EF=HG2則EF//HG且EF=HG.

，四邊形EFGH是平形四邊形.應(yīng)用三：應(yīng)用向量知識(shí)解決有關(guān)垂直的問題向量垂直的相關(guān)結(jié)論：Cl a=(x,y)b=(x,y)°、一,/、. 中0,b中0/坐標(biāo)表示： 11 22a±boxx+yy=012 12例3、證明直徑所對(duì)的圓周角是直角如圖所示，已知O,AB為直徑，C為。上任意一點(diǎn)求證ZACB=90°分析：要證NACB=90°,只須證向量AC1CB，即AC?CB=0.解：設(shè)AO=a,OC=%則AC=a.+b,CB=a-b,由此可得：AC-CB=\a+bJ)-b)即AC-CB=0，即，ZACB=90。.應(yīng)用四：求解證明有關(guān)長(zhǎng)度的問題利用Ia1=ya2可以用來求線段的長(zhǎng)度.若a=(x,y)則IaI=、：1x2+y2 若A(x,y),B(x,y)則IABI=J(x-x)2+(y-y)2、 11 2 2 ,12 1 2例4、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和.已知：平行四邊形ABCD.求證：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2分析：因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行且相等，故設(shè)AB=a,AD=b，選其為一組基地，表示其它線段.解：設(shè)AB=a,AD=b,則BC=b,DC=a,AC=a+b;DB=a-bAC2+BD2==a2+2ab+b2+a2-2abAC2+BD2==a2+2ab+b2+a2-2ab+b2=2C2+b2)=2(2+b2)AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2在三角形中一些常見的結(jié)論：性質(zhì)1設(shè)O為ABC所平面內(nèi)一點(diǎn)，則O是ABC外心的重要條件是OA=OB=O