新教材人教A版3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.2奇偶性課件（29張）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3．2函數(shù)的基本性質(zhì)3．奇偶性[課程目標(biāo)]1.了解函數(shù)奇偶性的含義，了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖

象的對(duì)稱性；2.會(huì)運(yùn)用定義判斷函數(shù)的奇偶性．

知識(shí)點(diǎn)一奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且______________，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)；如果?x∈I，都有－x∈I，且_______________，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說函數(shù)f(x)具有_____________．[研讀]由奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義可知，奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)奇偶性【思辨】判斷正誤(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)函數(shù)f(x)的定義域是R，且f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，則f(x)

是偶函數(shù)．(

)(2)函數(shù)y＝x2(x∈[－2，2))是偶函數(shù)．(

)(3)函數(shù)f(x)＝x＋

是奇函數(shù)．(

)(4)函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)＋f(－x)＝0，則f(x)

是奇函數(shù)．(

)××√×【解析】(1)不滿足偶函數(shù)的定義．(2)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(3)定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，且滿足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．(4)定義域不一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

知識(shí)點(diǎn)二奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于_________對(duì)稱．反過來，若一個(gè)函數(shù)

的圖象關(guān)于_________對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是__________．(2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于_______對(duì)稱．反過來，若一個(gè)函數(shù)的

圖象關(guān)于________對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．2．重要性質(zhì)(1)奇函數(shù)在區(qū)間[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的單

調(diào)性．(2)偶函數(shù)在區(qū)間[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的單調(diào)性．原點(diǎn)原點(diǎn)奇函數(shù)y軸y軸【思辨】判斷正誤(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有意義，則f(0)等于0.(

)(2)函數(shù)f(x)＝0(x∈[－1，1])既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(

)(3)若偶函數(shù)f(x)在[0，4]上單調(diào)遞增，則在[－1，0]上單調(diào)遞減(

)(4)若奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則在(－∞，0)上單調(diào)

遞增．(

)√√√×【解析】(1)f(－0)＝－f(0)，2f(0)＝0，所以f(0)＝0.(2)f(x)＝0(x∈[－1，1])既滿足f(x)＝f(－x)，又滿足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(3)偶函數(shù)f(x)在[0，4]上單調(diào)遞增，所以在[－4，0]上單調(diào)遞減，因?yàn)閇－1，0]?[－4，0]，所以f(x)在[－1，0]上單調(diào)遞減．(4)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則在(－∞，0)上也單調(diào)遞減．例1判斷下列函數(shù)的奇偶性．判斷下列各函數(shù)的奇偶性．[規(guī)律方法]1．用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：①先求定義域，看是否關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱；②再判斷f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否恒

成立．2．若已知函數(shù)的圖象，則觀察圖象是否關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱，

依此判斷函數(shù)的奇偶性．例2若函數(shù)f(x)＝

為奇函數(shù)，則a＝_______．－1若函數(shù)f(x)＝(|x|－1)(x＋a)為奇函數(shù)，則a＝____．【解析】∵f(x)為R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即－a＝0，得a＝0.檢驗(yàn)：當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝(|x|－1)x，f(－x)＝－(|x|－1)x＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．0例3設(shè)f(x)在R上是偶函數(shù)，在(－∞，0)上單調(diào)遞減，

若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[規(guī)律方法]利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式要注意的兩點(diǎn)：1．奇函數(shù)在定義域內(nèi)的關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上，單調(diào)性相

同，偶函數(shù)在定義域內(nèi)的關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上，單調(diào)

性相反．2．確定單調(diào)區(qū)間，依據(jù)題設(shè)條件將不等式轉(zhuǎn)化為具體不等

式，在這個(gè)區(qū)間上解不等式．設(shè)定義在[－2，2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)<f(m)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【遷移探究】若奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5，5]，其y軸右側(cè)圖象如圖所示，則滿足f(x)<0的x的集合是__________________．【解析】由奇函數(shù)f(x)的圖象可知，當(dāng)x∈(2，5)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，f(x)>0.因?yàn)閳D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以當(dāng)x∈(－5，－2)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x∈(－2，0)時(shí)，f(x)<0.所以滿足條件的x的集合是(－2，0)∪(2，5).(－2，0)∪(2，5)例4

(1)若函數(shù)f(x)＝x3＋2x＋3(x∈[－10，10])，則f(x)min＋f(x)max＝____；(2)函數(shù)f(x)＝ax2021＋bx＋1的最大值和最小值分別為M，m，則M＋m＝____．【解析】(1)記函數(shù)g(x)＝f(x)－3＝x3＋2x，則g(x)＝x3＋2x為奇函數(shù)，由于對(duì)稱性，所以在區(qū)間[－10，10]上，g(x)max＋g(x)min＝0，f(x)min＋f(x)max＝g(x)min＋3＋g(x)max＋3＝6.(2)令g(x)＝ax2021＋bx，易得g(x)為奇函數(shù)，即g(x)max＝M－1，g(x)min＝m－1，由奇函數(shù)對(duì)稱性得M－1＋m－1＝0，所以M＋m＝2.62若函數(shù)f(x)＝

的最大值和最小值分別為M，m，則M＋m＝____．2例5已知f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2求f(x)，g(x)的解析式．解：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).由f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，①得f(－x)＋g(－x)＝(－x)2－x－2，即f(x)－g(x)＝x2－x－2.②由①②得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.[規(guī)律方法]利用奇偶性求函數(shù)解析式的注意點(diǎn)：(1)求哪個(gè)區(qū)間的解析式就設(shè)x在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)；(2)將問題轉(zhuǎn)化代入已知區(qū)間的解析式；(3)利用函數(shù)f(x)的奇偶性寫出－f(－x)或f(－x)，從而求出f(x).已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x3－2x2＋2求f(x)的解析式．1．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝2x2－x，則f(1)＝(

)A．－3B．－1C．1D．3【解析】f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.A2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的函

數(shù)是(

)B3．函數(shù)y＝(

)A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)C．是既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)【解析】由函數(shù)可知，定義域?yàn)閇－1，1]，函數(shù)解析式滿足f(－x)＝f(x)，所以該函數(shù)是偶函數(shù)．故選B.B4．設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是(

)A．f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)B．f(x)－|g(x)|是奇函數(shù)C．|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù)D．|f(x)|－g(x)是奇函數(shù)【解析】由f(x)是偶函數(shù)，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函數(shù)可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|為偶函數(shù)，所以f(x)＋|g(x)