拉普拉斯變換課件

拉普拉斯變換制作者：

炯拉

普

拉

斯拉普拉斯（PierreSimonLaplace，

1749-1827）

法國著名的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，天體力學(xué)的集大成者，被譽(yù)為法國的牛頓。拉普拉斯用數(shù)學(xué)方法證明了行星的軌道大小只有周期性變化，這就是著名拉普拉斯的定理。拉普拉斯的著名杰作《天體力學(xué)》，書中第一次提出了“天體力學(xué)”的學(xué)科名稱，是經(jīng)典天體力學(xué)的代表著作?！队钪嫦到y(tǒng)論》是拉普拉斯另一部名垂千古的杰作。拉普拉斯在數(shù)學(xué)和物理學(xué)方面也有重要貢獻(xiàn)，以他的名字命名的拉普拉斯變換和拉普拉斯方程，在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。拉普拉斯和當(dāng)時(shí)的拉格朗日、勒讓德并稱為法國的３Ｌ，不愧為十九世紀(jì)初數(shù)學(xué)界的巨擘泰斗。

一、拉普拉斯變換的歷史背景

拉普拉斯變換是先在實(shí)際中應(yīng)用，然后才經(jīng)過嚴(yán)格論證的一種方法。是由英國工程師赫維賽德19世紀(jì)末提出的，稱為“算子法”。后來人們?cè)诶绽沟闹髦姓业搅丝煽康臄?shù)學(xué)依據(jù)，進(jìn)行了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，取之名為拉普拉斯變換方法。二、拉普拉斯變換的發(fā)展

在20世紀(jì)70年代以后，計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)技術(shù)迅速發(fā)展，人們借助于CAD程序(如SPICE程序)，可以很方便地求解電路分析問題，這樣就導(dǎo)致拉氏變換在這方面的應(yīng)用相對(duì)減少了。此外，隨著技術(shù)的發(fā)展和實(shí)際的需要，離散的、非線性的、時(shí)變的等類型系統(tǒng)的研究與應(yīng)用日益廣泛，而拉氏變換在這些方面卻無能為力，于是，它長期占據(jù)的傳統(tǒng)重要地位正讓位給一些新的方法。

使用傅立葉變換時(shí)存在的問題

解決辦法

三、拉普拉斯變換的定義

拉普拉斯反變換

拉氏變換存在定理

拉氏變換的性質(zhì)

比例定理

線性定理

導(dǎo)數(shù)定理

積分定理

在拉氏變換及其一些性質(zhì)中取p為某些特定值，可以用來求一些函數(shù)的廣義積分。

延遲定理

位移定理

相似定理

卷積定理

常見函數(shù)的拉斯變換

拉普拉斯逆變換

利用留數(shù)計(jì)算拉氏反演積分

拉普拉斯逆變換的反演1、利用拉氏變換的性質(zhì)2、有理分式反演法3、利用卷積4、使用留數(shù)5、查表法

拉氏變換的應(yīng)用利用拉氏變換求解微分方程微分方程取拉氏變換像函數(shù)的代數(shù)方程解代數(shù)方程像函數(shù)拉氏逆變換微分方程的解

應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路

1、運(yùn)算法和相量法1）相量法相量法把正弦量變換為相量（復(fù)數(shù)），從而把求解線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)問題歸結(jié)為以相量為變量的線性代數(shù)方程。2）運(yùn)算法運(yùn)算法把時(shí)間函數(shù)變換為對(duì)應(yīng)的象函數(shù)，從而把問題歸結(jié)為求解以象函數(shù)為變量的線性代數(shù)方程。

1Ω1H+1V-1FS(t=0)1Ωi1S(t=0)1ΩsL+1/s-1/sC1ΩI1(s)+uc(0-)/s-

S(t=0)1ΩsL+1/s-1/sC1ΩI1(s)+uc(0-)/s-Ia(s)Ib(s)

運(yùn)算法的解題步驟

拉普拉斯變換在工程學(xué)上的應(yīng)用

拉普拉斯變換，是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分變換。它是為簡化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。

拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計(jì)算簡化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微