高考數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)I卷3年（2023-2023）真題匯編-填空題 (含解析) (含解析)

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高考數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)I卷3年（2023-2023）真題匯編-填空題

一、填空題

1．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則.

2．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為.

3．函數(shù)的最小值為.

4．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．

5．寫出與圓和都相切的一條直線的方程．

6．若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．

7．已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是．

8．某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．

9．在正四棱臺(tái)中，，則該棱臺(tái)的體積為．

10．已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．

11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為．

參考答案：

1．1

【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.

【詳解】因?yàn)?，故?/p>

因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，

時(shí)，整理得到，

故，

故答案為：1

2．

【分析】先用坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得，即得結(jié)果.

【詳解】拋物線：()的焦點(diǎn),

∵P為上一點(diǎn)，與軸垂直，

所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為,

不妨設(shè),

因?yàn)镼為軸上一點(diǎn)，且，所以Q在F的右側(cè)，

又，

因?yàn)?，所?

，

所以的準(zhǔn)線方程為

故答案為：.

【點(diǎn)睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.

3．1

【分析】由解析式知定義域?yàn)?，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.

【詳解】由題設(shè)知：定義域?yàn)椋?/p>

∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；

又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，

∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；

∴

故答案為：1.

4．-28

【分析】可化為，結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】因?yàn)椋?/p>

所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，

的展開(kāi)式中的系數(shù)為-28

故答案為：-28

5．或或

【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.

【詳解】[方法一]：

顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，

于是，

故①，于是或，

再結(jié)合①解得或或，

所以直線方程有三條，分別為，，

填一條即可

[方法二]：

設(shè)圓的圓心，半徑為，

圓的圓心，半徑，

則，因此兩圓外切，

由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；

又由方程和相減可得方程，

即為過(guò)兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，

又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，

直線OC與直線的交點(diǎn)為，

設(shè)過(guò)該點(diǎn)的直線為，則，解得，

從而該切線的方程為填一條即可

[方法三]：

圓的圓心為，半徑為，

圓的圓心為，半徑為，

兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，

如圖，

當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為

O到l的距離，解得，所以l的方程為，

當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，

由題意，解得，

當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，

故答案為：或或.

6．

【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.

【詳解】∵，∴，

設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,

切線方程為：,

∵切線過(guò)原點(diǎn)，∴,

整理得：,

∵切線有兩條，∴,解得或,

∴的取值范圍是,

故答案為：

7．13

【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，利用弦長(zhǎng)公式求得，得，根據(jù)對(duì)稱性將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.

【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，

判別式，

∴，

∴，得，

∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，，∴的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.

故答案為：13.

8．64

【分析】分類討論選修2門或3門課，對(duì)選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.

【詳解】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；

（2）當(dāng)從8門課中選修3門，

①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；

②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；

綜上所述：不同的選課方案共有種.

故答案為：64.

9．/

【分析】結(jié)合圖像，依次求得，從而利用棱臺(tái)的體積公式即可得解.

【詳解】如圖，過(guò)作，垂足為，易知為四棱臺(tái)的高，

因?yàn)椋?/p>

則，

故，則，

所以所求體積為.

故答案為：.

10．

【分析】令，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.

【詳解】因?yàn)?，所以?/p>

令，則有3個(gè)根，

令，則有3個(gè)根，其中，

結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，

故答案為：.

11．/

【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得，進(jìn)而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.

方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，，將點(diǎn)代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；

【詳解】方法一：

依題意，設(shè)，則，

在中，，則，故或（舍去），

所以，，則，

故，

所以在中，，整理得，

故.

方法二:

依題意，得，令，

因?yàn)?，所以，則，

又，所以，則，

又點(diǎn)在上，則，整理得，則，

所以，即，

整理得，則，解得或，

又，所