速度矢端曲線

速度矢端曲線第1頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月6.1運(yùn)動學(xué)的基本概念

運(yùn)動學(xué)只從幾何角度來研究物體的運(yùn)動(如軌跡、速度和加速度等)，而不研究引起物體運(yùn)動的物理原因(如力、質(zhì)量等)。因此，運(yùn)動學(xué)是研究物體運(yùn)動的幾何性質(zhì)的學(xué)科。6.2.1點(diǎn)的運(yùn)動矢量表示法6.2

點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)1．點(diǎn)的運(yùn)動方程第2頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月在參考坐標(biāo)系上任取某確定的點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則動點(diǎn)的位置可用原點(diǎn)至動點(diǎn)的矢徑r表示。當(dāng)動點(diǎn)M運(yùn)動時(shí)，矢徑r是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即

上式稱為用矢量表示的點(diǎn)的運(yùn)動方程。動點(diǎn)M在運(yùn)動過程中,其矢徑r的末端在空間描繪出的曲線，稱為動點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡。第3頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月動點(diǎn)在?t時(shí)間內(nèi)的平均速度可表示為2．點(diǎn)的運(yùn)動速度

點(diǎn)的速度可用矢量表示，設(shè)動點(diǎn)在t時(shí)刻的位置為M點(diǎn)，經(jīng)過?t后，即在t+?t時(shí)刻的位置為M′。如圖所示。動點(diǎn)在?t時(shí)間內(nèi)發(fā)生的位移為第4頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月動畫：雷達(dá)與飛機(jī)第5頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月

即動點(diǎn)的速度等于它的矢徑對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。它是一個(gè)矢量,其方向沿動點(diǎn)的矢端曲線(即動點(diǎn)軌跡)的切線，并與動點(diǎn)運(yùn)動的方向一致。在國際單位制中，速度的單位為m/s。3．點(diǎn)的運(yùn)動加速度由數(shù)學(xué)的極限概念，動點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度可對上式取極限，即第6頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣，由數(shù)學(xué)的極限概念，在t時(shí)刻動點(diǎn)的加速度可表示為

設(shè)動點(diǎn)在t時(shí)刻的速度為v,經(jīng)過△t后,即在t+△t時(shí)刻的速度為v′。動點(diǎn)在△t時(shí)間內(nèi)速度的改變?yōu)椤鱲=v′-v。則在△t時(shí)間內(nèi)的平均加速度a﹡可表示為

即動點(diǎn)的加速度等于它的速度v對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于矢徑r對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。它是一個(gè)矢量，其方向沿速度矢端曲線的切線方向，并指向速度矢端運(yùn)動的方向。在國際單位制中，加速度的單位為m/s2。

第7頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)動點(diǎn)M在空間做曲線運(yùn)動，過固定點(diǎn)O作如圖所示的直角坐標(biāo)系Oxyz。則動點(diǎn)在t時(shí)刻的位置M

可用它的三個(gè)直角坐標(biāo)x,y,z表示，如圖所示。1．點(diǎn)的運(yùn)動方程

當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動時(shí)，這些坐標(biāo)一般可表示為時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即

6.2.2

點(diǎn)的運(yùn)動直角坐標(biāo)表示法，，

第8頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月1．點(diǎn)的運(yùn)動方程

第9頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月

在工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到點(diǎn)在某平面內(nèi)運(yùn)動的情形，此時(shí)點(diǎn)的運(yùn)動方程可簡化為2．點(diǎn)的運(yùn)動速度點(diǎn)的運(yùn)動速度如可用直角坐標(biāo)表示，即

上式消去時(shí)間t，可得軌跡方程為

上式稱為點(diǎn)M以直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的運(yùn)動方程。從形式上可以看出，上式也是動點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，動點(diǎn)的軌跡可通過消去時(shí)間參數(shù)t而直接得到。第10頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月比較以上兩式，可得

這就是動點(diǎn)速度的直角坐標(biāo)表示。可見，動點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于其相應(yīng)的直角坐標(biāo)對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

動點(diǎn)M的速度矢可寫為其方向?yàn)樗俣鹊拇笮?/p>

第11頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月3．點(diǎn)的運(yùn)動加速度為求動點(diǎn)的加速度，用速度對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得加速度矢量亦可表示為

可見，動點(diǎn)的加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于其相應(yīng)速度投影對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于其相應(yīng)的坐標(biāo)對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。加速度的大小和方向余弦為第12頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月6.2.3

點(diǎn)的運(yùn)動自然坐標(biāo)表示法第13頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月1．弧坐標(biāo)動點(diǎn)M的運(yùn)動用自然法表示，動點(diǎn)M在軌跡上的位置由動點(diǎn)到原點(diǎn)的弧長s來確定，稱為動點(diǎn)M的弧坐標(biāo)。當(dāng)動點(diǎn)M運(yùn)動時(shí)，s

隨時(shí)間而變化，是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即上式稱為點(diǎn)沿軌跡的運(yùn)動方程第14頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月若以τ表示切線的單位矢量，n表示主法線的單位矢量，以b表示副法線的單位矢量，其方向由右手螺旋法則確定，即2．自然軸系

以點(diǎn)M為原點(diǎn)，切線、主法線和副法線為坐標(biāo)軸組成的正交坐標(biāo)系稱為曲線在點(diǎn)M的自然坐標(biāo)系。過點(diǎn)M并與切線垂直的平面稱為法平面，在法平面內(nèi)過點(diǎn)M的所有直線都和切線垂直，都是法線，在密切面內(nèi)的那條法線稱為主法線。法平面內(nèi)過點(diǎn)M與主法線垂直的法線稱為副法線。第15頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月3．點(diǎn)的運(yùn)動速度

點(diǎn)的速度v是一個(gè)矢量，它的方向沿軌跡的切線，如圖所示。顯然,可將動點(diǎn)的速度矢寫成如下的形式速度的大小等于弧坐標(biāo)對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，即

如果ds/dt>0，則速度與τ的正向相同，弧坐標(biāo)隨時(shí)間而增大。反之，速度與τ的正向相反。第16頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月4．點(diǎn)的運(yùn)動加速度速度對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，得

右邊兩項(xiàng)分別稱為切向加速度和法向加速度。前者表示速度大小變化對加速度的貢獻(xiàn)，而后者是速度方向變化對加速度的貢獻(xiàn)。。

第17頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月曲率（曲率半徑的倒數(shù)）的定義為由上圖可知

即

第18頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月因而這樣法向加速度可寫為

由此可見，法向加速度的大小等于點(diǎn)的速度平方除以曲率半徑，方向與主法線的方向一致，指向軌跡的曲率中心。第19頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月按以上分析，加速度可以寫為

加速度的大小可寫為

，

其方向由a與主法線方向n的夾角θ來確定，它的正切為第20頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月【例6-1】半徑為r的圓輪沿水平直線軌道滾動而不滑動，輪心C則在與軌道平行的直線上運(yùn)動。設(shè)輪心C的速度為一常量vC,試求輪緣上一點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡、速度和加速度。

解：以點(diǎn)M第一次和軌道接觸的瞬時(shí)作為時(shí)間的起點(diǎn)，并以該接觸點(diǎn)作為坐標(biāo)的原點(diǎn)，建立Oxy坐標(biāo)系，點(diǎn)M的坐標(biāo)為

這就是點(diǎn)的運(yùn)動方程，其運(yùn)動的軌跡為擺線(或稱旋輪線)。動點(diǎn)的速度為

第21頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月此時(shí)，速度的大小和方向分別可寫為

動點(diǎn)的加速度為

加速度的大小和方向分別可寫為，

可見，動點(diǎn)M的加速度方向指向輪心C第22頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月【例6-2】已知弧BC的半徑為R，搖桿以勻角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)運(yùn)動開始時(shí)，搖桿在水平位置。試分別用直角坐標(biāo)法和自然法給出點(diǎn)M的運(yùn)動方程，并求出其速度和加速度。解：(1)直角坐標(biāo)法求導(dǎo)后可得點(diǎn)M速度和加速度：

(2)自然坐標(biāo)法：于是點(diǎn)M速度和加速度分別為

第23頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月

證明：設(shè)加速度為aτ,則經(jīng)過時(shí)間t后,動點(diǎn)A走過的弧長和速度分別為【例6-3】動點(diǎn)A沿如圖所示的圓周做勻加速圓周運(yùn)動。已知圓周半徑為R，初速度為零。若點(diǎn)的全加速度與切線間的夾角為α，并以β角表示點(diǎn)走過的圓弧s所對應(yīng)的圓心角，試證明：tanα=2β。動點(diǎn)A的法向加速度可表示為動點(diǎn)A的全加速度與切線間的夾角α可表示為這樣原問題的結(jié)論成立。第24頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月【例6-4】如圖所示的平面機(jī)構(gòu)中，兩桿的運(yùn)動通過套筒M而聯(lián)系起來，初始時(shí)桿O1M與點(diǎn)O成一直線。已知OO1

=O1M=r，試求套筒M的運(yùn)動方程以及它的速度和加速度。

解：(1)自然法。取套筒初始位置M0為弧坐標(biāo)s的原點(diǎn)，以套筒的運(yùn)動方向?yàn)榛∽鴺?biāo)s的正向，由圖可知上式可寫為

這就是用自然坐標(biāo)表示的套筒M運(yùn)動方程。上式對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，可得套筒M的速度

第25頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月套筒M的切線和法向加速度分別為

套筒M的加速度大小為

(2)直角坐標(biāo)法。選取固定直角坐標(biāo)系Oxy，則有

套筒M在直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動方程

，

上式對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，可得套筒M的速度第26頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月套筒M的速度的大小和方向分別可表示為套筒M的加速度在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的投影

套筒M的加速度的大小和方向分別可表示為

顯然，兩種方法的結(jié)果完全一致，本題用自然坐標(biāo)法較簡便，且物理概念清晰。第27頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月6.3剛體的平動6.3.1剛體平動的定義

剛體運(yùn)動時(shí)，如果其上任一直線始終保持與原來的位置平行，即該直線的方位在剛體運(yùn)動的過程中保持不變。具有這種特征的剛體運(yùn)動稱為剛體的平行移動，簡稱平動。6.3.2剛體平動的運(yùn)動特征

設(shè)剛體做平動，如圖所示。在剛體內(nèi)任選兩點(diǎn)A和B，令點(diǎn)A的矢徑為rA，點(diǎn)B的矢徑為rB。由圖可知第28頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月

由于剛體作平動，只要把B點(diǎn)的軌跡平移一段距離，就能得到點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡?？梢?，剛體作平動時(shí)，剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)的軌跡完全相同。

上式兩邊同時(shí)對時(shí)間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，有即

結(jié)論：當(dāng)剛體作平動時(shí)，其上各點(diǎn)的軌跡形狀相同，在同一瞬時(shí)，各點(diǎn)的速度相同，加速度也相同。因此，剛體的平面運(yùn)動可歸結(jié)于前一節(jié)介紹的點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)問題。第29頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月【例6-5】蕩木用兩條長為l的鋼索平行吊起，如圖所示。當(dāng)蕩木擺動時(shí)，鋼索的擺動規(guī)律為，為最大擺角。試求當(dāng)t=2s時(shí)，蕩木中點(diǎn)M的速度和加速度。，

解：蕩木在運(yùn)動的過程中,蕩木作平動。為求中點(diǎn)M的速度和加速度,只需求出蕩木上另一點(diǎn)A(或點(diǎn)B)的速度和加速度即可。點(diǎn)A

的運(yùn)動方程為第30頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月將上式對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，可得A點(diǎn)的速度A點(diǎn)的切向加速度和法向加速度可分別寫為當(dāng)t=2s時(shí)，速度和加速度可分別寫為(方向水平向左)(方向鉛直向上)第31頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月6.4

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動6.4.1定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動方程、角速度和角加速度

設(shè)有一剛體T繞定軸z做轉(zhuǎn)動，如圖所示。通過軸線作一固定平面Q，此外,再選一與剛體固結(jié)的平面P，這個(gè)平面和剛體一起轉(zhuǎn)動。剛體的位置可由平面Ｐ與固定平面Q的夾角來確定，這一夾角稱為轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角一般用弧度(rad)來表示。當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動時(shí)，轉(zhuǎn)角隨時(shí)間而變化，是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，可表示為

這一方程稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動方程。第32頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月6.4

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動第33頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動的動畫第34頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)由瞬時(shí)t到t+△t。轉(zhuǎn)角的增量稱為角位移。角速度ω可表示為

即角速度等于轉(zhuǎn)角對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。角速度的單位一般用rad/s（弧度/秒）表示。

角速度一般也隨時(shí)間而變化。設(shè)由瞬時(shí)t到t+△t

，角速度由ω增大到ω

+△ω，角速度的增量為△ω，比值△ω/△t稱為在△t時(shí)間內(nèi)的平均角加速度，當(dāng)△t→0時(shí)，△ω/△t的極限稱為剛體在瞬時(shí)t的角加速度，以ε表示，即第35頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月

即剛體轉(zhuǎn)動的瞬時(shí)角加速度等于角速度對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)或轉(zhuǎn)角對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。角加速度大小表示剛體轉(zhuǎn)動的角速度隨時(shí)間變化的快慢程度，當(dāng)ε為正時(shí)，角速度ω的代數(shù)值隨時(shí)間而增大，反之則減小。

如果ε和ω符號相同，則ω的絕對值隨時(shí)間而增大，剛體做加速轉(zhuǎn)動，反之,剛體做減速轉(zhuǎn)動。角加速度的單位一般用rad/s2（弧度/秒2）表示。第36頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月

【例6-6】電動機(jī)由靜止開始勻加速轉(zhuǎn)動，在t=20s時(shí)，其轉(zhuǎn)速n=360r/min，求在此20s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。

解：電動機(jī)初始靜止，即ω0=0。在t=20s時(shí)其轉(zhuǎn)動的角速度為

由ω=ω0+εt，可得電動機(jī)轉(zhuǎn)動的角加速度為

在20s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為

故在20s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為(圈)第37頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月6.4.2定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度

轉(zhuǎn)角、角速度和角加速度等都是描述轉(zhuǎn)動剛體整體運(yùn)動的特征量。在剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度確定后，可以確定剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度。

當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，剛體內(nèi)各點(diǎn)都在垂直于轉(zhuǎn)動軸的平面內(nèi)做圓周運(yùn)動。如圖所示點(diǎn)M運(yùn)動方程為第38頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月用自然法求點(diǎn)M的速度和加速度。在任一瞬時(shí),點(diǎn)M的速度的大小為

即轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度的大小等于剛體的角速度與該點(diǎn)到軸線的垂直距離的乘積，它的方向沿圓周的切線而指向和角速度轉(zhuǎn)向一致。

在任意瞬時(shí)，點(diǎn)M的切線加速度aτ的大小為

即轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點(diǎn)的切向加速度的大小等于剛體的角加速度與該點(diǎn)到軸線的垂直距離的乘積，它的方向沿圓周的切線，指向和角加速度ε的轉(zhuǎn)向一致。

第39頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月在任意瞬時(shí)，點(diǎn)M的切線加速度an的大小為

即轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任一點(diǎn)的法向加速度的大小等于剛體的角速度的平方與該點(diǎn)到軸線的垂直距離的乘積，它的方向總是沿著MO指向O，即指向轉(zhuǎn)動軸。在任意瞬時(shí)，點(diǎn)M的全加速度a的大小和方向分別為根據(jù)上面分析，可知在每一瞬時(shí)，剛體內(nèi)各點(diǎn)的全加速度與其半徑方向的夾角相同。圖表示在截面上通過軸心的任一條直徑上各點(diǎn)速度和加速度的分布規(guī)律。第40頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月【例6-7】半徑R=0.2m的圓輪繞固定軸O轉(zhuǎn)動，其運(yùn)動方程為。試求t=1s時(shí)，輪緣上任一點(diǎn)M以及重物A的速度和加速度。

解：t=1s時(shí)圓輪轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度分別為角速度和角加速度異號，說明圓輪在該瞬時(shí)作勻減速轉(zhuǎn)動。輪緣任一點(diǎn)M和重物A的速度相同，它們都為第41頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月方向如圖所示。點(diǎn)M的法向加速度的大小為點(diǎn)M的全加速度的大小和方向分別為這里表示點(diǎn)M的全加速度和半徑之間的夾角。重物A的加速度和點(diǎn)M的切向加速度的大小相等，即第42頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月【例6-8】設(shè)主動輪A和從動輪B的節(jié)圓半徑分別為r1和r2，齒數(shù)分別為z1和z2。主動輪A的角速度為ω1，角加速度為ε1，試求從動輪B的角速度和角加速度。解：在齒輪傳動中，嚙合點(diǎn)的速度和切向加速度的大小和方向相同，即因而有第43頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月

從而可以求得從動輪的角速度和角加速度分別為一對相互嚙合的齒輪，它們的齒數(shù)和節(jié)圓的半徑成正比，所以上面式子可寫為

聯(lián)合上面兩式，可得

通常在機(jī)械工程中，把主動輪和從動輪的角速度之比稱為傳動比，用i12表示第44頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月

有時(shí)為了區(qū)分輪系中各輪轉(zhuǎn)向，對各輪規(guī)定統(tǒng)一的轉(zhuǎn)動正向，這時(shí)各輪的角速度可取代數(shù)值，從而傳動比也可取代數(shù)值

式中，正號表示主動輪與從動輪轉(zhuǎn)向相同(內(nèi)嚙合)，而負(fù)號表示主動輪和從動輪轉(zhuǎn)向相反(外嚙合)。

第45頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月6.4.3角速度及角加速度的矢量表示，以矢積表示點(diǎn)的速度和加速度

角速度矢量這樣來表示：長度表示角速度的大小，箭頭的指向表示剛體轉(zhuǎn)動的方向，并按右手螺旋法則確定：右手的四指代表轉(zhuǎn)動的方向，拇指代表角速度矢ω