2021年中考數(shù)學總復習《圓》解答題

2021年中考數(shù)學總復習《圓》解答題

1.已知如圖平面直角坐標系中，點。是坐標原點，矩形ABCO是頂點坐標分別為A(3,0)、

B(3,4)、C(0,4).點。在y軸上，且點。的坐標為(0,-5),點P是直線4c上

的一動點.

(1)當點P運動到線段AC的中點時，求直線OP的解析式(關(guān)系式)；

(2)當點P沿直線AC移動時，過點。、P的直線與x軸交于點問在x軸的正半軸

上是否存在使△QOM與△A8C相似的點M?若存在，請求出點M的坐標；若不存在，

請說明理由；

(3)當點P沿直線AC移動時，以點P為圓心、R(R>0)為半徑長畫圓.得到的圓稱

為動圓P.若設動圓尸的半徑長為旭，過點。作動圓尸的兩條切線與動圓尸分別相切

2

于點E、F.請?zhí)角笤趧訄AP中是否存在面積最小的四邊形。EPF?若存在，請求出最小

面積S的值；若不存在，請說明理由.

【分析】方法一：

(1)只需先求出AC中點尸的坐標，然后用待定系數(shù)法即可求出直線DP的解析式.

(2)由于△OOM與△A8C相似，對應關(guān)系不確定，可分兩種情況進行討論，利用三角

形相似求出OM的長，即可求出點M的坐標.

(3)易證SAPED=S*FD.從而有S四邊形￡>EPF=2SMED=§OE.由NOEP=90°得

2

=。尸2-尸d=?！?-2殳.根據(jù)“點到直線之間，垂線段最短”可得：當。PLAC時，

4

DP最短，此時力E也最短，對應的四邊形OEP尸的面積最小.借助于三角形相似，即可

求出DP±ACff'tDP的值，就可求出四邊形QEPF面積的最小值.

方法二：

(1)利用中點公式求出P點坐標，并求出直線。P的解析式.

(2)若時，分類討論兩種情況，求出直線AC的斜率，從而求出M點

坐標.

(3)由于PE與OP相切，因此只需求出PE長度及PQ的長度表達式，利用面積公式便

可求出四邊形QEP尸的面積函數(shù)，從而求出最小面積S的值.

【解答】方法一：

解：(1)過點P作P〃〃OA,交。C于點H,如圖1所示.

\'PH//OA,

:.XCRPs△CON.

?IF=CH=CP

"OACOCA'

:點尸是AC中點，

：.CP=^CA.

2

：.HP=^OA,CH=^CO.

22

VA(3,0)、C(0,4),

：.OA=3,OC=4.

:.HP=3,CH=2.

2

OH=2.

'：PH//OA,/COA=90°,

.'.NCHP=/COA=90°.

...點P的坐標為(旦，2).

2

設直線DP的解析式為y=kx+b,

'：D(0,-5),P(3,2)在直線。尸上，

2

b=-5

?13

#+b=2

b=-5

直線DP的解析式為）'=學》-5.

（2）①若△Q0MSA4BC,圖2（1）所示，

'：ABC,

.DO=ON

"ABBC'

?.?點8坐標為（3,4）,點。的坐標為（0,-5）,

：.BC=3,AB=4,OD=5.

._5=0M

"7V

4

?.?點M在x軸的正半軸上，

...點M的坐標為（①，0）

4

②若△OOMS/^CBA,如圖2（2）所示，

■:叢DOMs/\CBA,

.DO=0M

,,CBBA-

：BC=3,AB=4,OD=5,

._5=0M

,?京T'

0仞=型.

3

?.?點M在x軸的正半軸上，

.,.點M的坐標為（致，0）.

3

綜上所述：若△￡＞。例與△C54相似，則點M的坐標為（［互，0）或（坦，0）.

43

（3）：OA=3,OC=4,ZAOC=90°,

：.AC=5.

：.PE=PF=^AC^.

22

:DE、OF都與0P相切，

：.DE=DF,NDEP=NDFP=90°.

S^PED=SAPFD.

S四邊形DEPF=2SAPED

=2XAPE.DE

2

=PE，DE

=^-DE.

2

■:/DEP=90°,

J.DE^^DP2-PE1.

=Dp2-空.

4

根據(jù)“點到直線之間，垂線段最短”可得：

當。P_LAC時，DP最短,

此時DE取到最小值，四邊形DEPF的面積最小.

'JDPVAC,

...N￡)PC=90°.

NAOC=ZDPC.

■:乙OCA=NPCD,NAOC=NDPC,

：./\AOC^^DPC.

?AO=AC

*'DPDC'

'：A0=3,AC=5,DC=4-(-5)=9,

.3=5

"DP9"

：,DP=—.

5

ADE2=DP2-空

4

=(27)2.25

54

-2291

100,

AP￡=V229T,

10

?5

S四邊形OEP￡=-DE

2

=42291

四邊形DEPF面積的最小值為.2291.

4

方法二：

(1)4(3,0),C(0,4),

為AC的中點，；.&=老生=旦，&=至&=2,

222

：.P(旦，2),

2

,：D(0,-5),

直線DP的解析式為)，=」&-5.

3

(2)若△OOM與△ABC相似，則/OOM=NOC4或NOQM+/OCA=90°,

①當NOZ)M=NOC4時，則KAC+KDM=0,

\"A(3,0)、C(0,4),

44

??KAC=~—，KDM=—，

33

VD(0,-5),

4

.*?IDM：y=—x-5,

3

當y=0時，*=竽，

：.M\(叵，0),

4

②當NOQM+NOCA=90°時，DMLAC,

:.KDMXKAC=-1,

,**KAC=——,KDM=—9

34

VD(0,-5),

3

：.IDM：y="x-5,

4

當y=0時，x=^-,

：.Mi(組0).

3

(3)易知IAC-.y=-￡+4,

3

:點尸在直線AC上，設尸"-A/+4),