2021年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)52幾何概型必刷題文【含答案】

考點(diǎn)52幾何概型

1.在區(qū)間［-1,1］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k,則直線y=k(x-2)與圓/+y2=i有兩個(gè)不同公共點(diǎn)的概率為()

2^1^

A.9B.6C.3D.3

D

【解析】圓K+尸=1的圓心為(0Q),圓心到直線J=k(x-2)的距離為篝，要使直線)，=k(x-2月圓

爐+產(chǎn)=1相交，則昌<1,解得一當(dāng)<女〈合.二在區(qū)間?LI］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k,使直線)，=k(x+2月

VH-T133

圓X二+y-=1有公共點(diǎn)的概率為P==三=故選D.

2

x4-y<-

2.在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,y,記2為事件“3”的概率，則P=()

2142

A.3B.2c.9D.9

D

如圖所示，0工久工1，0工丫工1表示的平面區(qū)域?yàn)?8。。，

x+y<-P偉)Q(o［)

平面區(qū)域內(nèi)滿足3的部分為陰影部分的區(qū)域4PQ,其中［3),［3人

122

-x-x-

_233_2

結(jié)合幾何概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值為P=1X1=9.

本題選擇〃選項(xiàng).

數(shù)形結(jié)合為幾何概型問(wèn)題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的解法.用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部

結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件/滿足的不等式，在圖形中畫(huà)出事件1發(fā)生的區(qū)域，據(jù)

此求解幾何概型即可.

3.在I2J上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,使得OVtanxVl成立的概率是()

1112

A.8B.3c.2D.〃

C

n

4_1

nn2

由OVtanxVl,得0Vx<4,故所求概率為2,選C.

4.甲乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí)，假定他們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)地到達(dá)，試求這兩艘船

中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待的概率（）

1137

A.4B.3c.4D.16

D

【解析】設(shè)甲船到達(dá)的時(shí)間為X,乙船到達(dá)的時(shí)間為），

則所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域淵足、|24

這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待包含的基本事件構(gòu)成的區(qū)域A滿足

0<x<24

0wyW24,作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示

|x-yl<6

這兩艘船中至少有一艘在停泊位時(shí)必須等待的概率為PG4）=上=第=W故選D

、〃一4X-41O

Fx+y-<0

x>

5.在平面區(qū)域、y>內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)（4。），則函數(shù)f（x）=d/—46x+l在區(qū)間［1,+8）上是增函

數(shù)的概率為（）

1112

A.4B.3C.2D.3

B

【解析】不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的AAOB的內(nèi)部及邊界(不包括邊界04OB),則

又3="4x4=8,函數(shù)/'(x)=fl.r:-4bx+1在區(qū)間［L+s)上是增函數(shù)，則應(yīng)滿足a>。且x=^<1,

即可得對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界OC,BC,不包括邊界。8),由｛.7=?「，解

得a=；,b=：,所以又c”=：x4x：=%根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，可知所求的概率尸=|=|,

故選B.

7

6.在區(qū)間［-3,5］上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,若x滿足|x|〈m(m>0)的概率為E則m的值等于

7

A.2B.3C.4D.-2

C

區(qū)間［-3,5］的區(qū)間長(zhǎng)度為5-(-3)=8,

當(dāng)0<m<3時(shí)，

滿足|x|Wm(m>0)的解集的區(qū)間長(zhǎng)度為2m,

7

又在區(qū)間［-3,5］上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,若x滿足|x|Wm(m>0)的概率為E

當(dāng)3<小5時(shí)，滿足岡Wn(m>0)的解集的區(qū)間長(zhǎng)度為m-3,

又在區(qū)間[-3,5]±隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,若x滿足|x￡m(m>0)的概率為%

厘a=三a，得1Jm=4.

，m的值等于4.

故選：C.

7.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形中有一陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為每則

陰影區(qū)域的面積約為()

8

A.3B.33無(wú)法計(jì)算

設(shè)陰影區(qū)域的面積為s,4-3,所以一3.

故選C.

8.一只螞蟻在邊長(zhǎng)為4的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則它在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于2的區(qū)域內(nèi)的概率為

3

4D.4

滿足條件的正三角形如圖所示

BC

其中正三角形再BC的面積S三角形=3x16=4y^3

滿足到正三角形小BC的頂點(diǎn)再B。的距離都大于2的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示

則5陽(yáng)=2zr

則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)ABC的距離都大于2的概率為：

故選A

9.某景區(qū)在開(kāi)放時(shí)間內(nèi)，每個(gè)整點(diǎn)時(shí)會(huì)有一趟觀光車(chē)從景區(qū)入口發(fā)車(chē)，某人上午到達(dá)景區(qū)入口，準(zhǔn)備乘

坐觀光車(chē)，則他等待時(shí)間不多于10分鐘的概率為（）

1115

A.10B.6C.5D.6

B

pH

由題意，此人在50分到整點(diǎn)之間的10分鐘內(nèi)到達(dá)，等待時(shí)間不多于10分鐘，所以概率606故選

B.

10.已知實(shí)數(shù)*6[2,30],執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x不小于103的概率為（）

5954

A.14B.14C.9D.9

B

【解析】

設(shè)實(shí)數(shù)xe[2.30],

經(jīng)過(guò)第一；欠循環(huán)得到x=2x+1,?!=2;

經(jīng)過(guò)第二次循環(huán)得到x=2(2x+l)+l,n=3j

經(jīng)過(guò)第三次循環(huán)得到x=2[2(2x+1)+1]+Ln=4,此時(shí)愉出x,

輸出的值為8x+7,

令8x+72103得x212,

由幾何概型概率得到輸出的x不小于103的概率為P=竿=三,故選B.

3。-一

,21

、f(x)-minx-2x+-

H.已知實(shí)數(shù)mW0r4],則函數(shù)第在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的概率為

1135

A.4B.2c.4D.8

C

].m11

22

/(x)=minx-2x+-/(T)=鈦--m<4x4--

函數(shù)X在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則XX恒成立，即一X恒成立，設(shè)

g(x)=4犬+=8x-能=R1s函數(shù)g(xyi￡(0：)、仁一口)乙故函數(shù)g(x>￡淡取得最小

值，代人得到mW3.

則函數(shù)f(x)=?nlnx-2x:+/定義域內(nèi)單調(diào)遞遍的概率為:

故答案為：C.

12.中央電視臺(tái)第一套節(jié)目午間新聞的播出時(shí)間是每天中午12:00到12:30,在某星期天中午的午間新聞中

將隨機(jī)安排播出時(shí)長(zhǎng)5分鐘的有關(guān)電信詐騙的新聞報(bào)道.若小張于當(dāng)天12:20打開(kāi)電視，則他能收看到這條新

聞的完整報(bào)道的概率是()

2111

A.5B.3C.5D.6

D

新聞報(bào)道中午時(shí)間段可能開(kāi)始的時(shí)間為12:00-12:30,時(shí)長(zhǎng)30分鐘，小張可能看到新聞報(bào)道的開(kāi)始時(shí)間為

5_1

12:20-12:25,共5分鐘，所以概率為.一6

故選D.

13.已知函數(shù)八乃=匕函數(shù)9(為=2-匕執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的尤6[-3,3],則輸出m的值為

9(%)的函數(shù)值的概率為()

[開(kāi)始]

/瑜人:/

/輸Him/

1;

［結(jié)束］

1111

A.6B.4C.3D.2

C

【解析】

令Rx)〈g(x)即x<2-x,所以xvl,因?yàn)橐?<X<3所以當(dāng)一3<A<時(shí)輸出電的函數(shù)值.

所以當(dāng)1<1<3時(shí)輸出g(x)的函數(shù)值，

所以輸出值m的函數(shù)h(x)=

由幾何概型得輸出m的值為g(x)的函數(shù)值的概率為三三=f.

故答案為：C.

14.把［0刀內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)%分別轉(zhuǎn)化為［。，4］和［-4,1］內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)為，為，需實(shí)施的變換分別為

A.71=-4x,y2=5x-4y2=4x-4,y2=4x+3

Qy1=4x,y2=5%-4［)7i==4%+3

C

由隨機(jī)數(shù)的變換公式可得y1=4x,

y2=-4+［1-(-4)］x=5x-4

故選C.

15.關(guān)于圓周率叫數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多有創(chuàng)意的求法，如著名的普豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，

我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)"的值：先請(qǐng)120名同學(xué)每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè)X/都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)

(x，y),再統(tǒng)計(jì)其中％y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(％〉)的個(gè)數(shù)m,最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù)m估計(jì)〃的值.如

果統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m=34,那么可以估計(jì)兀的值為

22475153

A.3B.15C.16D.17

B

【解析】由題意，120對(duì)都小于1的正實(shí)數(shù)（x,y）,滿足；，面積為1,

兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形的三邊的數(shù)對(duì)（X.y）,滿足K+尸<I蹴<y<{>

面積為：-：，

因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（XJ）的個(gè)數(shù)為m=34,

則言=4-P所以7r=蓑，故選B.

16.漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”（如下圖），四個(gè)全等的直角三角形（朱實(shí)）

,可以圍成一個(gè)大的正方形，中空部分為一個(gè)小正方形（黃實(shí)）.若直角三角形中一條較長(zhǎng)的直角邊為8,

直角三角形的面積為24,若在上面扔一顆玻璃小球，則小球落在“黃實(shí)”區(qū)域的概率為（）

A.4B.3C.25D.73

C

【解析】因?yàn)橹苯侨切沃幸粭l較長(zhǎng)的直角邊為8,直角三角形的面積為24,

所以可得另外一條直角邊長(zhǎng)為6,

所以小正方形的邊長(zhǎng)為8-6=2,

實(shí)”區(qū)域的面積為2:=4,

大正方形的面積是8二+6==100,

所以小球落在,黃實(shí)”區(qū)域的概率是2=之，故選c.

17.《世界數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編》的封面有一圖案（如圖），該圖案的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，圓內(nèi)有一內(nèi)接正三角形,

在此圖案內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）

TT3^37T3鄧

C.48D.28

【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a,則正方形內(nèi)切圓的半徑為。，圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為v3a

:.S'必=S同-S不三為產(chǎn).—na2—7,(v^?)2-sin603=na2—于a：

所求的概率為p=4=三三=2-w

、J"4a-4A6

故選：B.

18.七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正

方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn),

則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為（）

9537

A.32B.16C.8D.正

C

巫

設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,可得黑色平行四邊形的底為衣，高為2：黑色等腰直角三角形的直角邊為2,斜

邊為2G，大正方形的邊長(zhǎng)為2艱，

Le1

\/2x—+—x2x2

“223

P=------------------------=一

所以2{2x2?28,

故選Co

19.三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,

弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱(chēng)為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，

分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱(chēng)為朱實(shí)、黃實(shí)，利用

2X勾X股+（股-勾）2=4x朱實(shí)+黃實(shí)=弦實(shí)，化簡(jiǎn)，得勾2+股2=弦2設(shè)勾股形中勾股比為1：0，若向

弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1000顆圖釘（大小忽略不計(jì)），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（）

A.134B.866C.300D.500

A

【解析】設(shè)三角形的直角邊分別為1,v,3,則弦為2,故而大正方形的面積為4,小正方形的面積為

（、3—1）"=4—2yB.

???圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為空=式.

二落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為1000X三*134.

故選：A.

20.在長(zhǎng)度為10的線段03上任取一點(diǎn)C（異于4⑸，則以/心/為半徑的兩圓面積之和小于58兀的

概率是.

2

5

設(shè)=則BC=10—%,0<%<10,由題意知?！?"（10-％）2<58TT,[jpx2-10x+21<0,解得3c匯<7,

7-3_22

故所求的概率為同一普故答案為豆

21.已知P,E,G,F都在球面C上，且P在AErG所在平面外，PE1EFfPE1FG,PE=2GF=2EG=4f

△EG尸=120°,在球C內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在三棱錐P-EFG內(nèi)的概率為.

施

327r

【解析】如圖,

在三角形EGF中，由已知可得EG=GF=2,ZEGF=120°,

可得EF=2、行，設(shè)三角形EFG的外接圓的半徑為r,由二^一2r,可得r-2.

再設(shè)AEGF的外心為Gi,過(guò)Gi作底面EGF的垂線GQ,且使G_0==PE=2.

連接0E,貝iJOE=2、2為三棱錐P-EFG的外接球的半徑.

則％="x(2?3="%，.匕_MF=|x|x2x2xsinl20*x4=^.

4v3

由測(cè)度比為體積比，可得在球c內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在三棱錐P-EFG內(nèi)的概率為1-二言

故答案為：言.

5

22.在區(qū)間［。，2］內(nèi)隨機(jī)地取出兩個(gè)實(shí)數(shù)，則這兩個(gè)實(shí)數(shù)之和小于2的概率是—

23

32

【解析】取xe[0Z.ye[02],

(X.y)所在區(qū)域是邊長(zhǎng)為2的正方形區(qū)域，面積為4,

直線X+y=:直線上正方形區(qū)域面積為：X：X3

直線X+y=逍線下正方形區(qū)域面積4-H=￡

由幾何概型概率公式可得，

這兩個(gè)實(shí)數(shù)之和小于之的概率是藍(lán)+4=亍，

故答案為言

23.已知圓。的半徑為6,°1°2，°3°碇圓。的兩條相互垂直的直徑，分別以°1，°2，°3，°4為圓心，4為半徑作

圓，圓。與各圓的交點(diǎn)與點(diǎn)0連線得到的三角形如圖中陰影部分所示，則往圓。內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在

陰影部分內(nèi)的概率為—

112M

81〃

36+36-1674#565/2

-cosa=---------------=-，sina=-----,s