安徽省蕪湖市鏡湖區(qū)師范大學(xué)附中2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．對變量x,y有觀測數(shù)據(jù)(xi,yiA．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)2．已知（為虛單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如圖所示，程序框圖輸出的某一實(shí)數(shù)中，若，則菱形框中應(yīng)填入()A． B． C． D．4．函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．5．若函數(shù)f（x）=有最大值，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．6．如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，分別是在第二、四象限的公共點(diǎn)，若四邊形為矩形，則的離心率是（）A． B． C． D．7．某中學(xué)高二共有12個(gè)年級，考試時(shí)安排12個(gè)班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個(gè)班級是自己的班主任監(jiān)考，則不同的安排方案有（）A．4455 B．495 C．4950 D．74258．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A．1 B．2 C．3 D．49．設(shè)，若直線與圓相切，則的取值范圍是（）A． B．C． D．10．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，則當(dāng)時(shí)，應(yīng)當(dāng)在時(shí)對應(yīng)的等式的左邊加上（）A． B．C． D．11．若一個(gè)直三棱柱的所有棱長都為1，且其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）．A． B． C． D．12．在圓中，弦的長為4，則（）A．8 B．-8 C．4 D．-4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，在某一個(gè)最小正周期內(nèi)，函數(shù)圖象的一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為和，則______________.14．一個(gè)興趣學(xué)習(xí)小組由12男生6女生組成，從中隨機(jī)選取3人作為領(lǐng)隊(duì)，記選取的3名領(lǐng)隊(duì)中男生的人數(shù)為X，則X的期望EX=15．定積分__________．16．兩個(gè)半徑為1的鐵球，熔化成一個(gè)球，這個(gè)球的半徑是_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）《流浪地球》是由劉慈欣的科幻小說改編的電影，在2019年春節(jié)檔上影，該片上影標(biāo)志著中國電影科幻元年的到來；為了振救地球，延續(xù)百代子孫生存的希望，無數(shù)的人前仆后繼，奮不顧身的精神激蕩人心，催人奮進(jìn).某網(wǎng)絡(luò)調(diào)查機(jī)構(gòu)調(diào)查了大量觀眾的評分，得到如下統(tǒng)計(jì)表：評分12345678910頻率0.030.020.020.030.040.050.080.150.210.36（1）求觀眾評分的平均數(shù)？（2）視頻率為概率，若在評分大于等于8分的觀眾中隨機(jī)地抽取1人，他的評分恰好是10分的概率是多少？（3）視頻率為概率，在評分大于等于8分的觀眾中隨機(jī)地抽取4人，用表示評分為10分的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.18．（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO=1，M為PD的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）設(shè)直線AM與平面ABCD所成的角為α，二面角M—AC—B的大小為β，求sinα·cosβ的值.19．（12分）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，．向量與平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面積．20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，證明：.21．（12分）已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)；（2）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù)，．（1）解不等式；（2）若方程在區(qū)間有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：由散點(diǎn)圖1可知，點(diǎn)從左上方到右下方分布，故變量x與y負(fù)相關(guān)；由散點(diǎn)圖2可知，點(diǎn)從左下方到右上方分布，故變量u與v正相關(guān)，故選C考點(diǎn)：本題考查了散點(diǎn)圖的運(yùn)用點(diǎn)評：熟練運(yùn)用隨機(jī)變量的正負(fù)相關(guān)的概念是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題2、B【解析】

由得，再利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，即可得出復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)所在的象限.【詳解】由得，因此，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限，解題的關(guān)鍵就是利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算將復(fù)數(shù)表示為一般形式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】分析：由已知中的程序語句可知，該程序功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出實(shí)數(shù)對，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量的變化情況，可得答案．詳解：由題意，當(dāng)時(shí)，第1次循環(huán)，不滿足條件，；第2次循環(huán)，不滿足條件，；第3次循環(huán)，不滿足條件，；第4次循環(huán)，不滿足條件，；第5次循環(huán)，不滿足條件，，此時(shí)輸出結(jié)果，所以判斷框填寫的條件應(yīng)為，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的判斷條件的添加問題，其中極大中應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，把握程序框圖的運(yùn)算功能是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．4、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而將原不等式轉(zhuǎn)化為，，進(jìn)而求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則導(dǎo)數(shù)；函數(shù)在區(qū)間上，滿足，則有，則有，即函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；，則有，解可得：；即不等式的解集為；故選：D．【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了解不等式的問題；解函數(shù)不等式問題，可以直接通過函數(shù)的表達(dá)式得到結(jié)果，如果直接求解比較繁瑣，可以研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)等問題，將函數(shù)值大小問題轉(zhuǎn)化為自變量問題.5、B【解析】

分析函數(shù)每段的單調(diào)性確定其最值，列a的不等式即可求解.【詳解】由題,單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，故,因?yàn)楹瘮?shù)存在最大值，所以解.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)性，確定每段函數(shù)單調(diào)性及最值是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.6、D【解析】

試題分析：由橢圓與雙曲線的定義可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a為雙曲線的長軸長)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四邊形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)．7、A【解析】

根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：先確定8個(gè)是自己的班主任老師監(jiān)考的班級，然后分析剩余的4個(gè)班級的監(jiān)考方案，計(jì)算可得其情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】某中學(xué)高二共有12個(gè)年級，考試時(shí)安排12個(gè)班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個(gè)班級是自己的班主任監(jiān)考，首先確定8個(gè)是自己的班主任老師監(jiān)考的班級，有種，而剩余的4個(gè)班級全部不能有本班的班主任監(jiān)考，有種；由分步計(jì)數(shù)原理可得，共種不同的方案；故選：A.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握分步計(jì)數(shù)原理和組合數(shù)計(jì)算公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.8、D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率，列出a的方程即可求解【詳解】因?yàn)?，且在點(diǎn)處的切線的斜率為3，所以，即.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題9、C【解析】分析：由直線與圓相切，得，從而，進(jìn)而，由此能求出的取值范圍.詳解：，直線與圓相切，圓心到直線的距離，解得，，，，的取值范圍是.故選C.點(diǎn)睛：本題考查代數(shù)和取值范圍的求法，考查直線方程、圓、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題.10、C【解析】

由數(shù)學(xué)歸納法可知時(shí)，左端，當(dāng)時(shí)，，即可得到答案.【詳解】由題意，用數(shù)學(xué)歸納法法證明等式時(shí)，假設(shè)時(shí)，左端，當(dāng)時(shí)，，所以由到時(shí)需要添加的項(xiàng)數(shù)是，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，著重考查了理解與觀察能力，以及推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)題意畫出其立體圖形.設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點(diǎn),利用勾股定理求出球的半徑,即可求得該球的表面積．【詳解】畫出其立體圖形:直三棱柱的所有棱長都為1,且每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，設(shè)此直三棱柱兩底面的中心分別為,則球心為線段的中點(diǎn)，設(shè)球的半徑為，在中是其外接圓半徑,由正弦定理可得:,,即在中∴球的表面積.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體中位置關(guān)系、球和正棱柱的性質(zhì).解決本題的關(guān)鍵在于能想象出空間圖形,并能準(zhǔn)確的判斷其外接球的球心就是上下底面中心連線的中點(diǎn)．12、A【解析】分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義，老鷹圓的垂徑定理，即可求得答案.詳解：如圖所示，在圓中，過點(diǎn)作于，則為的中點(diǎn)，在中，，可得，所以，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中涉及到圓的性質(zhì)，直角三角形中三角函數(shù)的定義和向量的數(shù)量積的公式等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由函數(shù)圖象的一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為和求得周期，再由周期公式求解即可.【詳解】由函數(shù)圖象的一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為和，得，所以，所以，即.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)周期的求法和周期公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、2【解析】試題分析：由題意X的可能取值為0，1，2，3，P（X=0）=C6P（X=1）=C12P（X=2）=C12P（X=3）=C12∴E（X）=0×20816+1×180816+2×396816考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差15、【解析】

根據(jù)定積分的幾何意義求出，再由微積分基本定理求出，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楸硎緢A面積的，所以；又，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查求定積分的問題，熟記定積分的幾何意義，以及微積分基本定理即可，屬于?？碱}型.16、【解析】

等體積法【詳解】【點(diǎn)睛】等體積法三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）8；（2）；（3）分布列見解析，2.【解析】

（1）利用平均數(shù)的公式求解即可；（2）所求概率為評分恰好是10分的概率與評分大于等于8分的概率的比,即可求解；（3）由題知服從,進(jìn)而去利用公式求解分布列及期望即可.【詳解】（1）設(shè)觀眾評分的平均數(shù)為,則（2）設(shè)A表示事件“1位觀眾評分不小于8分”,B表示事件“1位觀眾評分是10分”（3）由題知服從,（,1,2,3,4）則的分布列為：01234P【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù),考查二項(xiàng)分布的分布列與期望,考查數(shù)據(jù)處理能力.18、（1）證明見解析（2）【解析】試題分析：（1）連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，由O為AC的中點(diǎn)，知O為BD的中點(diǎn)，再由M為PD的中點(diǎn)，知PB∥MO，由此能夠證明PB∥平面ACM．（2）取DO中點(diǎn)N，連接MN，AN，由M為PD的中點(diǎn)，知MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，故∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，由此能求出直線AM與平面ABCD所成角的正切值．（1）證明：連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，∵O為AC的中點(diǎn)，∴O為BD的中點(diǎn)，又∵M(jìn)為PD的中點(diǎn)，∴PB∥MO，∵PB?平面ACM，MO?平面ACM，∴PB∥平面ACM．（2）解：取DO中點(diǎn)N，連接MN，AN，∵M(jìn)為PD的中點(diǎn)，∴MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，∴∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，在Rt△DAO中，∵AD=1，AO=，∠DAO=90°，∴DO=，∴AN=，在Rt△ANM中，tan∠MAN===，即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為．考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；直線與平面所成的角．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大?。唬?）由余弦定理，結(jié)合基本不等式求出的最大值，即得的面積的最大值.試題解析：（1）因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，由正弦定理得，又，從而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因?yàn)閏>0，所以c＝3.故△ABC的面積為bcsinA＝.考點(diǎn)：平面向量的共線應(yīng)用；正弦定理與余弦定理.20、（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值（2）見解析【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并由單調(diào)性得出函數(shù)的極值；（2）利用參變量分離法得出關(guān)于的方程在上有唯一解，構(gòu)造函數(shù)，得出，構(gòu)造函數(shù)，求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號，得出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化即可?！驹斀狻浚?）的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，∴有極小值，無極大值，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值；（2）函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，∴有唯一解，令，則令，則，當(dāng)時(shí)