第三章簡單優(yōu)化模型課件

第三章簡單的優(yōu)化模型3.1存貯模型3.2生豬的出售時機3.3森林救火3.4最優(yōu)價格3.5血管分支3.6消費者均衡3.7冰山運輸

現(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題

靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù))

建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當?shù)哪繕撕瘮?shù)

求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法靜態(tài)優(yōu)化模型3.1存貯模型問題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出，不允許缺貨。已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準備費5000元，貯存費每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小。要求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準備費、貯存費之間的關(guān)系。不允許缺貨的存貯模型思考問題1——生產(chǎn)周期性

10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費900+800+…+100=4500元，準備費5000元?？傆?9000元。日需求100件，準備費5000元，貯存費每日每件1元?？紤]20天的生產(chǎn)。

先9天生產(chǎn)一次，這次生產(chǎn)900件，貯存費800+700+…+100=3600元，準備費5000元，小計8600元。再11天生產(chǎn)一次，這次生產(chǎn)1100件，貯存費1000+900+…+100=5500元，準備費5000元，小計10500元?？傆?9100元。平均每天費用955元周期性地生產(chǎn)會使平均每天費用減少。每天費用950元思考問題2——生產(chǎn)等量性

10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費900+800+…+100=4500元，準備費5000元?？傆?9000元。日需求100件，準備費5000元，貯存費每日每件1元?？紤]20天的生產(chǎn)。

先10天生產(chǎn)一次，這次生產(chǎn)1100件，貯存費1000+900+…+200=5400元，準備費5000元，小計10400元。再10天生產(chǎn)一次，這次生產(chǎn)900件，貯存費900+800+…+100=4500元，準備費5000元，小計9500元?？傆?9900元。平均每天費用995元等量地生產(chǎn)會使平均每天費用減少。由此可見，必須周期地等量生產(chǎn)！每天費用950元請你們課后進一步研究討論，寫出小論文。問題分析與思考

每天生產(chǎn)一次，每次100件，無貯存費，準備費5000元。日需求100件，準備費5000元，貯存費每日每件1元。

10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費900+800+…+100=4500元，準備費5000元，總計9500元。

50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費4900+4800+…+100=122500元，準備費5000元，總計127500元。平均每天費用950元平均每天費用2550元10天生產(chǎn)一次平均每天費用最小嗎?每天費用5000元這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標函數(shù)。顯然不能用一個周期的總費用作為目標函數(shù)目標函數(shù)——每天總費用的平均值周期短，產(chǎn)量小周期長，產(chǎn)量大問題分析與思考貯存費少，準備費多準備費少，貯存費多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費用（二者之和）最小模型假設(shè)1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準備費為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費為c2；3.T天生產(chǎn)一次（周期）,每次生產(chǎn)Q件，當貯存量為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）；建模目的設(shè)r,c1,c2已知，求T,Q

使每天總費用的平均值最小。4.為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。模型建立0tq貯存量表示為時間的函數(shù)q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費用每天總費用平均值（目標函數(shù)）離散問題連續(xù)化一周期貯存費為A=QT/2模型求解求T使模型分析模型應(yīng)用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)

回答問題經(jīng)濟批量訂貨公式（EOQ公式）每天需求量r，每次訂貨費c1,每天每件貯存費c2，用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形

問：為什么不考慮生產(chǎn)費用？在什么條件下才不考慮？T天訂貨一次(周期),每次訂貨Q件，當貯存量降到零時，Q件立即到貨。允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當貯存量降到零時仍有需求r,出現(xiàn)缺貨，造成損失原模型假設(shè)：貯存量降到零時Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨)現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨,每天每件缺貨損失費c3,缺貨需補足T一周期貯存費一周期缺貨費周期T,t=T1貯存量降到零一周期總費用每天總費用平均值（目標函數(shù)）一周期總費用求T,Q使為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T’,Q記作Q’不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨允許缺貨模型0qQrT1tT注意：缺貨需補足Q~每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R（或訂貨量）Q~不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量)3.2生豬的出售時機飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計可使80公斤重的生豬體重增加2公斤。問題市場價格目前為每公斤8元，但是預(yù)測每天會降低0.1元，問生豬應(yīng)何時出售。如果估計和預(yù)測有誤差，對結(jié)果有何影響。分析投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤20元建模及求解生豬體重w=80+rt出售價格p=8-gt銷售收入R=pw資金投入C=4t利潤Q=R-C=pw-C估計r=2，若當前出售，利潤為80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1敏感性分析研究r,g變化時對模型結(jié)果的影響估計r=2，g=0.1設(shè)g=0.1不變t對r的（相對）敏感度生豬每天體重增加量r增加1%，出售時間推遲3%。rt敏感性分析估計r=2，g=0.1研究r,g變化時對模型結(jié)果的影響設(shè)r=2不變t對g的（相對）敏感度生豬價格每天的降低量g增加1%，出售時間提前3%。gt強健性分析保留生豬直到利潤的增值等于每天的費用時出售由S(t,r)=3建議過一周后(t=7)重新估計,再作計算。研究r,g不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t)若(10%),則（30%）每天利潤的增值每天投入的資金1、背景材料有“楓樹王國”之稱的加拿大森林覆蓋率非常高，有95%左右為天然林。因為森林資源十分豐富，加拿大城市居民都非常喜歡在林區(qū)內(nèi)建造別墅，長期定居，野外火源較多，加之雷擊火發(fā)生頻率非常高，因此每年都有大量的森林火災(zāi)發(fā)生，損失十分嚴重。如不列顛哥倫比亞省年均發(fā)生火災(zāi)2000次以上，有的年份達到4000多次，最嚴重的一周內(nèi)就發(fā)生森林火災(zāi)1500次。每年的森林火災(zāi)損失7000萬加元左右（1加元約合人民幣5.4元）。安大略省每年發(fā)生火災(zāi)在4000次以上。加拿大的每年4~10月份為森林防火期，其中5~8月為火災(zāi)高發(fā)期，起火原因主要是人為因素和雷擊，基本上各占一半。3.3森林救火如此頻率的森林火災(zāi)，怪不得加拿大都非常重視森林防火工作，每年都投入巨資用于森林防火基礎(chǔ)建設(shè)。如不列顛哥倫比亞省每年的森林防火經(jīng)費為1億加元，安大略省每年的防火經(jīng)費為8500萬加元。2、問題的提出盡管人們的預(yù)防措施做了很多，但有時火災(zāi)仍然無法避免，那一旦發(fā)生火災(zāi)時怎么辦呢？消防站接到報警后派多少消防員前去救火呢？派的隊員越多森林損失越小，但是救援的開支會越大，所以需要綜合考慮以總費用最小來決定派出隊員的數(shù)目。3、問題分析記隊員人數(shù)x,失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,時刻t森林燒毀面積B(t).

損失費f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定。救援費f2(x)是x的增函數(shù),由隊員人數(shù)和救火時間決定。存在恰當?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小

關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè).3、問題分析失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,畫出時刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.4、模型假設(shè)3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費）1）0tt1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢蔓延速度）2）t1tt2,降為-x

(為隊員的平均滅火速度）4）每個隊員的單位時間滅火費用c2,一次性費用c3假設(shè)1）的解釋rB火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比面積B與t2成正比，dB/dt與t成正比.模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標函數(shù)——總費用假設(shè)3）4）假設(shè)2）其實我們求B(t2)不需要用積分法，只要知道其幾何意義——正好等于上圖三角形的面積5、模型建立目標函數(shù)——總費用6、模型求解求x使C(x)最小7、結(jié)果解釋

/

是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,,為已知參數(shù)火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員人數(shù)c1~燒毀單位面積損失費,c2~每個隊員單位時間滅火費,c3~每個隊員一次性費用,t1~開始救火時刻,~火勢蔓延速度,~每個隊員平均滅火速度.

c1,t1,

x

c3,x

c2x為什么?8、模型應(yīng)用c1,c2,c3已知,t1可估計,

,可設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊員數(shù)量x9、進一步的問題

實際上森林救火的現(xiàn)場會有風(fēng)，此時如何建模？此外，由于對參數(shù)估計形成的誤差以及對現(xiàn)場情況估計缺乏而造成救援隊員派出人數(shù)不足而需增援，此時又如何建模？3.4最優(yōu)價格問題根據(jù)產(chǎn)品成本和市場需求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價格，使利潤最大假設(shè)1）產(chǎn)量等于銷量，記作x2）收入與銷量x成正比，系數(shù)p即價格3）支出與產(chǎn)量x成正比，系數(shù)q即成本4）銷量x依賴于價格p,x(p)是減函數(shù)建模與求解收入支出利潤進一步設(shè)求p使U(p)最大使利潤U(p)最大的最優(yōu)價格p*滿足最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達到建模與求解邊際收入邊際支出結(jié)果解釋

q/2~成本的一半

b~價格上升1單位時銷量的下降幅度（需求對價格的敏感度）

a~絕對需求(

p很小時的需求)b

p*

ap*思考：如何得到參數(shù)a,b?3.5血管分支背景機體提供能量維持血液在血管中的流動給血管壁以營養(yǎng)克服血液流動的阻力消耗能量取決于血管的幾何形狀在長期進化中動物血管的幾何形狀已經(jīng)達到能量最小原則研究在能量最小原則下，血管分支處粗細血管半徑比例和分岔角度問題模型假設(shè)一條粗血管和兩條細血管在分支點對稱地處于同一平面血液流動近似于粘性流體在剛性管道中的運動血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚度近似與血管半徑成正比qq1q1ABB′CHLll1rr1q=2q1r/r1,?考察血管AC與CB,CB′粘性流體在剛性管道中運動p~A,C壓力差，~粘性系數(shù)克服阻力消耗能量提供營養(yǎng)消耗能量管壁內(nèi)表面積2rl管壁體積(d2+2rd)l,管壁厚度d與r成正比模型假設(shè)qq1q1ABB′CHLll1rr1模型建立qq1q1ABB′CHLll1rr1克服阻力消耗能量提供營養(yǎng)消耗能量機體為血流提供能量模型求解qq1q1ABB′CHLll1rr1模型解釋生物學(xué)家：結(jié)果與觀察大致吻合大動脈半徑rmax,毛細血管半徑rmin大動脈到毛細血管有n次分岔觀察：狗的血管血管總條數(shù)推論n=？q2U(q1,q2)=cq103.6消費者均衡問題消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度用無差別曲線族表示，問他如何分配一定數(shù)量的錢，購買這兩種商品，以達到最大的滿意度。設(shè)甲乙數(shù)量為q1,q2,消費者的無差別曲線族(單調(diào)減、下凸、不相交），記作U(q1,q2)=cU(q1,q2)~效用函數(shù)已知甲乙價格p1,p2,有錢s，試分配s,購買甲乙數(shù)量q1,q2,使U(q1,q2)最大.s/p2s/p1q2U(q1,q2)=cq10模型及求解已知價格p1,p2,錢s,求q1,q2,或p1q1/p2q2,使U(q1,q2)最大幾何解釋直線MN:最優(yōu)解Q:MN與l2切點斜率·MQN··結(jié)果解釋——邊際效用消費者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們價格之比時達到。效用函數(shù)U(q1,q2)應(yīng)滿足的條件A.U(q1,q2)=c

所確定的函數(shù)q2=q2(q1)單調(diào)減、下凸解釋B的實際意義效用函數(shù)U(q1,q2)幾種常用的形式消費者均衡狀態(tài)下購買兩種商品費用之比與二者價格之比的平方根成正比。

U(q1,q2)中參數(shù),分別表示消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度。購買兩種商品費用之比與二者價格無關(guān)。

U(q1,q2)中參數(shù),

分別表示對甲乙的偏愛程度。思考：如何推廣到m(>2)種商品的情況效用函數(shù)U(q1,q2)幾種常用的形式3.7冰山運輸背景

波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本為每立方米0.1英鎊。

專家建議從9600千米遠的南極用拖船運送冰山，取代淡化海水從經(jīng)濟角度研究冰山運輸?shù)目尚行浴＝蕚?.日租金和最大運量船型小中大日租金（英鎊）最大運量（米3）4.06.28.051051061072.燃料消耗（英鎊/千米）3.融化速率（米/天）與南極距離(千米)船速(千米/小時)01000>400013500.10.300.150.4500.20.6冰山體積(米3)船速(千米/小時)1051061071358.410.512.610.813.516.213.216.519.8建模準備建模目的選擇船型和船速，使冰山到達目的地后每立米水的費用最低，并與淡化海水的費用比較模型假設(shè)航行過程中船速不變，總距離9600千米冰山呈球形(?)，球面各點融化速率相同到達目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水建模分析目的地水體積運輸過程融化規(guī)律總費用目的地冰體積初始冰山體積燃料消耗租金船型,船速船型船型,船速船型模型建立1.冰山融化規(guī)律船速u(千米/小時)與南極距離d(千米)融化速率r(米/天）r是u的線性函數(shù)；d<4000時u與d成正比d>4000時u與d無關(guān).航行t天第t天融化速率01000>400013500.10.300.150.4500.20.6urd1.冰山融化規(guī)律冰山初始半徑R0，航行t天時半徑冰山初始體積t天時體積總航行天數(shù)選定u,V0,航行t天時冰山體積到達目的地時冰山體積2.燃料消耗1051061071358.410.512.610.813.516.213.216.519.8Vu