地圖學(xué)第二章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課件

地圖學(xué)概論曾永年測(cè)繪與國(guó)土信息工程系(二)地圖是以公式化、符號(hào)化、抽象化來(lái)反映客觀世界的模型第二章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1.地球體

1.1地球上的三個(gè)面

1.2坐標(biāo)系

1.3比例尺

2.地圖投影概述

2.1地圖投影的概念

2.2地圖投影方法

2.3地圖投影變形

2.4地圖投影分類

3.常用地圖投影

3.1方位投影及其應(yīng)用

3.2圓柱投影及其應(yīng)用

3.3圓錐投影及其應(yīng)用

3.4偽投影及其應(yīng)用3.地圖投影的應(yīng)用

3.1地圖投影的選擇

3.2我國(guó)基本比例尺地圖投影

1.1地球上的三個(gè)面1.2坐標(biāo)系1.3比例尺1.地球體1.1地球上的三個(gè)面天圓地方——

地圓說(shuō)——

地扁說(shuō)——

真實(shí)自然形體

通過(guò)天文大地測(cè)量、地球重力測(cè)量、衛(wèi)星大地測(cè)量等精密測(cè)量，發(fā)現(xiàn)：

地球并不是一個(gè)正球體，而是一個(gè)極半徑略短、赤道半徑略長(zhǎng)，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。

地球自然表面：

地球自然表面上分布：高山、峽谷丘陵、平原1.1地球上的三個(gè)面

地球體的自然表面——十分不規(guī)則的表面8,848.13m——8844.43m珠穆朗瑪峰11,034m瑪利亞那海溝70%海洋、30%陸地25.4cmindiameter,Mt.Everestwouldbea0.176mmbumpintheball,Marianatrencha0.218mmscratchintheball,

地球體的自然表面——十分不規(guī)則的表面由于地球的自然表面凸凹不平，形態(tài)極為復(fù)雜，顯然不能作為測(cè)量與制圖的基準(zhǔn)面。應(yīng)該尋求一種與地球自然表面非常接近的規(guī)則曲面，來(lái)代替這種不規(guī)則的曲面。

該幾何體必須滿足兩個(gè)條件:

形狀接近地球自然形體；可以用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式表示。

地球體的物理表面——大地水準(zhǔn)面

水準(zhǔn)面：自由靜止的水面

處處與鉛垂線相垂直；

有無(wú)數(shù)多個(gè)；特性：地心離心力地心引力重力G

假想將靜止的平均海水面延伸到大陸內(nèi)部，形成一個(gè)連續(xù)不斷的，與地球比較接近的形體，其表面稱為大地水準(zhǔn)面。

它實(shí)際是一個(gè)起伏不平的重力等位面——地球物理表面

地球體的物理表面——大地水準(zhǔn)面大地水準(zhǔn)面

陸地大地水準(zhǔn)面海洋1.地球形體的一級(jí)逼近：

對(duì)地球形狀的很好近似，其面上高出與面下缺少的相當(dāng)。2.起伏波動(dòng)在制圖學(xué)中可忽略：

對(duì)大地測(cè)量和地球物理學(xué)有研究?jī)r(jià)值，但在制圖中，均把地球當(dāng)作正球體。3.重力等位面：

可使用儀器測(cè)得海拔高程（某點(diǎn)到大地水準(zhǔn)面的高度）。

大地水準(zhǔn)面的意義大地體由大地水準(zhǔn)面包圍的形體——大地體。最能代表地球的形狀

地球橢球體面

地球體的數(shù)學(xué)表面—

大地水準(zhǔn)面仍然不是一個(gè)規(guī)則的曲面。因?yàn)橹亓€方向并非恒指向地心，導(dǎo)致處處與重力線方向正交的大地水準(zhǔn)面也不是一個(gè)規(guī)則的曲面。大地水準(zhǔn)面實(shí)際上是一個(gè)起伏不平的重力等位面。

大地體特點(diǎn)：形狀不規(guī)則形狀接近于繞短軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體大地水準(zhǔn)面旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球體（地球橢球體）——地球的數(shù)學(xué)表面——對(duì)地球形體的二級(jí)逼近，用于測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面

地球橢球體三要素：

長(zhǎng)軸a（赤道半徑）

短軸b（極半徑）橢球扁率：f＝（a－b）/aZYX

數(shù)學(xué)模型：

對(duì)地球形狀a，b，f

測(cè)定后，還必須確定大地水準(zhǔn)面與橢球體面的相對(duì)關(guān)系。即確定與局部地區(qū)大地水準(zhǔn)面符合最好的一個(gè)地球橢球體——參考橢球體，這項(xiàng)工作就是參考橢球體定位。

通過(guò)數(shù)學(xué)方法將地球橢球體擺到與大地水準(zhǔn)面最貼近的位置上，并求出兩者各點(diǎn)垂直的偏差，從數(shù)學(xué)上給出對(duì)地球形狀的三級(jí)逼近。地球橢球體定位——對(duì)地球形體的三級(jí)逼近。大地水準(zhǔn)面參考橢球面P'

中國(guó)1952年前采用海福特（Hayford）橢球體；

1953—1980年采用克拉索夫斯基橢球體（坐標(biāo)原點(diǎn)是前蘇聯(lián)玻爾可夫天文臺(tái)）；自1980年開始采用IUGG1975（國(guó)際大地測(cè)量與地球物理學(xué)聯(lián)合會(huì)1975推薦）新參考橢球體系，并確定陜西涇陽(yáng)縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)。陜西省涇陽(yáng)縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標(biāo)系”大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)——大地原點(diǎn)。大地原點(diǎn)自然地球自然表面大地體旋轉(zhuǎn)橢球體大地水準(zhǔn)面旋轉(zhuǎn)橢球面1.2坐標(biāo)系大地坐標(biāo)：

高程（H)經(jīng)度l

：指參考橢球面上過(guò)某點(diǎn)的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù)。緯度：指參考橢球面上某點(diǎn)的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負(fù)。我國(guó)大地坐標(biāo)系：1954年北京坐標(biāo)系1980西安坐標(biāo)系我國(guó)高程坐標(biāo)系：1956年黃海高程系1985國(guó)家高程基準(zhǔn)

我國(guó)坐標(biāo)系：中國(guó)高程起算面是黃海平均海水面。1956年在青島觀象山設(shè)立了水準(zhǔn)原點(diǎn)，其他各控制點(diǎn)的絕對(duì)高程均是據(jù)此推算，稱為1956年黃海高程系。1987年國(guó)家測(cè)繪局公布：?jiǎn)⒂谩?985國(guó)家高程基準(zhǔn)》取代《黃海平均海水面》其比《黃海平均海水面上升29毫米。

1.3比例尺地圖比例尺的含義

當(dāng)制圖區(qū)域比較小、景物縮小的比率也比較小時(shí)：圖上長(zhǎng)度與相應(yīng)地面之間的長(zhǎng)度比例。當(dāng)制圖區(qū)域相當(dāng)大、景物縮小的比率也相當(dāng)大時(shí)：對(duì)地球半徑縮小的比率，為主比例尺。在地圖上體現(xiàn)為個(gè)別的點(diǎn)或線。因此，用圖者不可隨意量算。圖上也不可繪制直線比例尺。2)地圖比例尺的表示

數(shù)字比例尺：1:1萬(wàn)、1:25萬(wàn)文字比例尺：萬(wàn)分之一圖解比例尺：直線比例尺斜分比例尺復(fù)式比例尺直線比例尺：

以直線線段形式標(biāo)明圖上線段長(zhǎng)度對(duì)所對(duì)應(yīng)的地面距離。斜分比例尺：

微分比例尺，根據(jù)相似三角形原理制成?？梢粤咳”壤呋鹃L(zhǎng)度單位的百分之一。

復(fù)式比例尺：投影比例尺，小比例尺地圖上使用。根據(jù)地圖主比例尺和地圖投影長(zhǎng)度變形分布規(guī)律設(shè)計(jì)的一種圖解比例尺。通常是對(duì)每一條緯線單獨(dú)設(shè)計(jì)一個(gè)直線比例尺，再組合起來(lái)。2.1地圖投影的概念2.2地圖投影方法2.3地圖投影變形2.4地圖投影分類2.地圖投影概述2.1地圖投影的概念地圖投影不可展曲面平面地圖投影

可見,地球橢球面是不可展開的面，不采用一定的方法而直接展為平面時(shí)，都會(huì)產(chǎn)生褶皺,拉伸或斷裂等無(wú)規(guī)律變形，這種不完整的平面無(wú)法繪制科學(xué)、準(zhǔn)確的地圖。因此，解決：球面與平面之間的矛盾——將地球橢球面上的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成平面上的點(diǎn)。

地圖投影：就是按照一定的數(shù)學(xué)法則，將橢球面上的地理事物轉(zhuǎn)換到平面上理論與方法。地圖投影2.2地圖投影方法幾何透視投影：按幾何透視的法則將球面上的點(diǎn)投影到一定的幾何面上。數(shù)學(xué)解析投影：地圖投影變換：(x,y)(x’,y’)2.3地圖投影變形

地圖投影的任務(wù)：

研究和建立球面上點(diǎn)與平面上點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系：研究地圖投影變形：變形的大?。蛔冃蔚男再|(zhì)；變形的分布規(guī)律；

投影變形的概念

地圖投影不能保持球面與平面之間在長(zhǎng)度（距離）、角度（形狀）、面積等方面完全不變。由地圖投影造成的變形——投影變形。地球儀上經(jīng)緯線網(wǎng)格和地圖上比較:地圖投影變形表現(xiàn)：長(zhǎng)度、面積、角度三個(gè)方面；地圖投影變形規(guī)律：變形值是一變量變；不同投影其投影變形值不同；同種投影不同位置投影變形值不同；變形橢圓：變形橢圓：

變形橢圓

取地面上一個(gè)微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當(dāng)作平面看待），它投影到平面上通常會(huì)變?yōu)闄E圓，通過(guò)對(duì)這個(gè)橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。為經(jīng)線長(zhǎng)度比為緯線長(zhǎng)度比代入：X2+Y2=1，得微小圓→變形橢圓

該方程證明:地球面上的微小圓，投影后通常會(huì)變?yōu)闄E圓，即以O(shè)'為原點(diǎn)，以相交成q角的兩共軛直徑為坐標(biāo)軸的橢圓方程式。主方向（底索定律）：無(wú)論采用何種轉(zhuǎn)換方法，球面上每一點(diǎn)至少有一對(duì)正交方向線，在投影平面上仍然保持其正交關(guān)系。在投影后仍保持正交的一對(duì)線的方向成為主方向。取主方向?yàn)樽鳛槲⒎謾E圓的坐標(biāo)據(jù)阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b

長(zhǎng)軸方向（極大值）a

短軸方向（極小值）b經(jīng)線方向m

；緯線方向n主方向特殊方向結(jié)論：微分圓長(zhǎng)、短半軸的大小，等于該點(diǎn)主方向的長(zhǎng)度比。也就是說(shuō)，如果一點(diǎn)上主方向的長(zhǎng)度比（極值長(zhǎng)度比）已經(jīng)確定，則微分圓的大小和形狀即可確定。投影變形的性質(zhì)和大小長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形：

投影面上一微小線段和球面上相應(yīng)微小線段（已按規(guī)定的比例縮?。┲?。

長(zhǎng)度比m

：長(zhǎng)度變形Vm:

長(zhǎng)度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。=0不變>0變大<0變小

面積比和面積變形：

投影平面上微小面積（變形橢圓面積）dF′與球面上相應(yīng)的微小面積（微小圓面積）dF之比。

面積比P

面積變形Vp

=0不變>0變大<0變小P=a·b=m

·

n(=90)（主方向和經(jīng)向緯向一致）P=m

·

n

·sin(

≠90)（阿波隆尼定理）面積比是變量，隨位置的不同而變化。

角度變形：

投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應(yīng)的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以ω表示角度最大變形。

最大角度變形可用極值長(zhǎng)度比a,b表示實(shí)用上常以下公式求得：長(zhǎng)度變形：面積變形：角度變形：長(zhǎng)度變形是各種變形的基礎(chǔ)！2.4地圖投影分類

按地圖投影的內(nèi)在條件——變形性質(zhì)

等角投影：

等積投影：

任意投影：

投影面上的角度與球面上相應(yīng)角度相等。角度變形為零；用途：要求角度相等的地圖,

航海地圖、洋流圖、風(fēng)向圖等；特點(diǎn)：面積變形較大以犧牲面積保證角度的相等；

按地圖投影的內(nèi)在條件——變形性質(zhì)

等角投影：

等積投影：

投影面上的面積與球面相應(yīng)面積相等。面積變形為零用途：要求面積相等的地圖：自然地圖、經(jīng)濟(jì)圖；特點(diǎn)：角度變形較大——以犧牲角度保證面積的相等；任意投影：

既不等積也不等角的投影特點(diǎn)：各種變形都存在，變形值較小等距投影：要求沿某一主方向的長(zhǎng)度變形為零。orRobinson’sProjection等角投影等距投影等積投影面積變形增大角度變形增大角度變形不大的任意投影面積變形不大的任意投影

按地圖投影的外在條件——投影構(gòu)成方法

幾何投影

條件投影

幾何投影：按一定的法則將球面上的點(diǎn)投影到一定的幾何面上

方位投影圓柱投影圓錐投影

方位投影：以平面為投影面，將球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上

種類：正軸橫軸斜軸

經(jīng)緯線形狀：

圓柱投影：

種類：正軸橫軸斜軸

圓錐投影：

種類：

條件投影：不借助于一定的投影面，而根據(jù)某種條件構(gòu)成的投影

偽方位投影偽圓柱投影偽圓錐投影3.1方位投影及其應(yīng)用3.2圓柱投影及其應(yīng)用3.3圓錐投影及其應(yīng)用3.4偽投影及其應(yīng)用3.常用的地圖投影3.1方位投影及其應(yīng)用

方位投影的概念及一般公式方位投影變形公式方位投影的種類方位投影的變形規(guī)律方位投影的應(yīng)用

以平面為投影面，將球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上

種類：正軸橫軸斜軸

經(jīng)緯線形狀：

方位投影的概念及一般公式

方位投影一般公式垂直圈

方位投影一般公式

方位投影變形公式QQ’ABCDZRdZA’B’ddC’D’d

透視方位投影

球心投影球面投影正射投影

方位投影種類

球心投影公式

球心投影變形——任意投影

球面投影公式

球面投影變形——等角投影

正射投影公式

正射投影變形——任意投影正射方位投影斜軸方位投影橫軸方位投影

方位投影變形規(guī)律：

等變形線是以投影中心為圓心的同心圓；變形增大的方向沿同心圓的半徑方向；正軸橫軸斜軸斜軸等距方位投影斜軸等積方位投影

方位投影應(yīng)用范圍：

制圖區(qū)域——圓形或近似于圓形地理位置——

正軸：兩極地區(qū)橫軸：赤道地區(qū)斜軸：其他地區(qū)AzimuthalEquidistant3.2圓柱投影及其應(yīng)用

圓柱投影的概念及一般公式圓柱投影變形公式圓柱投影的種類圓柱投影的變形規(guī)律與應(yīng)用

以圓柱面為投影面，將球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到圓柱面上，然后將圓柱面沿某一母線展開而成。

種類：正軸橫軸斜軸

圓柱投影的概念及一般公式

圓柱投影一般公式

圓柱投影變形公式

圓柱投影的種類等角圓柱投影——墨卡托投影

條件：m=n

投影公式：應(yīng)用：航海地圖

圓柱投影的變形規(guī)律與應(yīng)用

變形規(guī)律：等變形線與緯線一致——平行直線變形增大的方向和經(jīng)線一致

應(yīng)用范圍：東西方向延伸的制圖區(qū)域赤道附近及赤道兩側(cè)分布的區(qū)域等積圓柱投影墨卡托投影：正軸等角切圓柱投影編制世界時(shí)區(qū)圖3.3圓錐投影及其應(yīng)用

圓錐投影的概念及一般公式圓錐投影變形公式圓錐投影的變形規(guī)律與應(yīng)用以圓錐面為投影面，將球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到圓錐面上，然后將圓錐面沿某一母線展開而成。

種類：

圓錐投影的概念及一般公式

圓錐投影一般公式

圓錐投影變形公式圓錐投影的變形規(guī)律與應(yīng)用

變形規(guī)律：等變形線與緯線一致——一組同心圓??；變形增大的方向和經(jīng)線一致；

應(yīng)用范圍：東西方向延伸的制圖區(qū)域中緯度區(qū)域Lambert’sConformalConicProjectionAlbers’Equal-areaConicProjectionSimpleConicProjection

偽方位投影偽圓柱投影偽圓錐投影3.4偽投影及其應(yīng)用

偽方位投影：在正軸方位投影的基礎(chǔ)上，緯線仍投影為同心圓，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。且交于緯線的共同圓心。特點(diǎn)：

可設(shè)計(jì)等變形線與制圖區(qū)域輪廓近似一致。如：橢圓形、卵形、三角形、三葉玫瑰形和方形等規(guī)則幾何圖形。全國(guó)疆域全圖的經(jīng)緯網(wǎng)略圖及角度等變形線偽圓柱投影：

在正軸圓柱投影基礎(chǔ)上，規(guī)定緯線仍為平行線，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。

以等面積投影較多桑遜投影：（Sanson-Flamsteed)等面積中央經(jīng)線和緯線無(wú)長(zhǎng)度變形緯線越高之處變形越大適合沿赤道和沿中央經(jīng)線伸展方向的地區(qū)摩爾維特（Mollweide）投影等面積偽圓柱投影，常用于編制小比例尺世界地圖偽圓錐投影：在圓錐投影基礎(chǔ)上，規(guī)定緯線仍為同心圓弧，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。彭納等面積偽圓錐投影：圖彭納投影04-2360708014013012011010090504030205040302010514030151020304016051020304050151020300807060607080多圓錐投影：設(shè)想有更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長(zhǎng)線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線。PolyconicProjectionCondensingGoode’sHomolosineProjectionRobinson’sProjection“TheRobinsonprojectionisneitherconformalnorequal-areabutacompromisebetweenthetwo”.4.1地圖投影的選擇4.2我國(guó)基本比例尺地形圖投影4