2剛體的定軸轉(zhuǎn)動-教學(xué)課件

自然界存在著各式各樣的運動,如剛體的轉(zhuǎn)動……剛體力學(xué)基礎(chǔ)2.6.1剛體的基本運動一、剛體模型剛體是一種特殊的質(zhì)點系，是一個理想的模型，在任何情況下，剛體內(nèi)任意兩點之間的距離保持不變。AB平動——剛體運動時,若其上任意兩點連線的方位始終不變,這種運動稱為剛體的平動。平動時剛體上各質(zhì)點的速度、加速度、軌道均相同，可歸結(jié)為質(zhì)點運動。二、剛體的平動和轉(zhuǎn)動ABABAB轉(zhuǎn)動——剛體上各質(zhì)點都繞同一直線做圓周運動，叫做剛體的轉(zhuǎn)動。該直線叫剛體的轉(zhuǎn)軸。定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸為固定直線的轉(zhuǎn)動叫做剛體定軸轉(zhuǎn)動。一般運動

——平動與轉(zhuǎn)動疊加。轉(zhuǎn)動平面剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述*

簡化為研究轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的運動*用角量作整體描述*在軸上選正方向，各角量均表示為代數(shù)量如何簡化？轉(zhuǎn)動平面三、角速度矢量OO'rrRP旋轉(zhuǎn)方向角速度:角速度矢量:方向沿軸大小:方向:

右手螺旋法則§2.6.2剛體的角動量轉(zhuǎn)動慣量即對的角動量：轉(zhuǎn)軸角速度剛體上任一質(zhì)點轉(zhuǎn)軸與其轉(zhuǎn)動平面交點繞圓周運動半徑為轉(zhuǎn)動平面一、剛體對定軸的角動量剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點：(1)質(zhì)點均在垂直于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，作半徑不同的圓周運動；(2)各質(zhì)點的角速度大小相等，且均沿軸向。定義：質(zhì)點對點的角動量的大小，稱為質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量。剛體對z

軸的總角動量為：式中剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量剛體對z軸的總角動量為：對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：式中剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量1.定義剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量等于其各質(zhì)點的質(zhì)量與該質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸距離的平方之積求和。若質(zhì)量連續(xù)分布，則積分元選?。憾?、剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量2.計算剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量J與剛體總質(zhì)量有關(guān)與剛體質(zhì)量分布有關(guān)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)練習(xí)1.由長l的輕桿連接的質(zhì)點如圖所示，求質(zhì)點系對過A垂直于紙面的軸的轉(zhuǎn)動慣量2.一長為的細桿，質(zhì)量均勻分布，求該桿對垂直于桿，分別過桿的中點和一端端點的軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：(1)軸過中點(2)軸過一端端點解

(1)在環(huán)上任取一質(zhì)元，其質(zhì)量為dm，距離為R，則該質(zhì)元對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為例2.19設(shè)質(zhì)量為m，半徑為R的細圓環(huán)和均勻圓盤分別繞通過各自中心并與圓面垂直的軸轉(zhuǎn)動，求圓環(huán)和圓盤的轉(zhuǎn)動慣量.考慮到所有質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離均為R，所以細圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為(2)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量3.求質(zhì)量m,半徑R的球殼對直徑的轉(zhuǎn)動慣量解：取離軸線距離相等的點的集合為積分元4.求質(zhì)量m,半徑R的球體對直徑的轉(zhuǎn)動慣量解：以距中心，厚的球殼為積分元Ro平行軸定理質(zhì)量為

的剛體，如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為，則對任一與該軸平行，相距為

的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量CO質(zhì)量為m，長為L的細棒繞其一端的JP圓盤對P

軸的轉(zhuǎn)動慣量OO1d=L/2O1’O2O2’3-2力矩、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動定律注意：對同軸的轉(zhuǎn)動慣量才具有可加減性。平行軸定理正交軸定理對平面剛體一些均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量表練習(xí)求長L、質(zhì)量m的均勻桿對z軸的轉(zhuǎn)動慣量解一：解二：解三：O

（1）單個質(zhì)點與轉(zhuǎn)軸剛性連接§2.6.3剛體對定軸的轉(zhuǎn)動定律（2）剛體質(zhì)量元受外力，內(nèi)力外力矩內(nèi)力矩O剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比.轉(zhuǎn)動定律定義轉(zhuǎn)動慣量O3-2力矩、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動定律討論（2）（3）（1）

不變轉(zhuǎn)動定律小結(jié)比較由得是物體轉(zhuǎn)動慣性的量度。是物體平動慣性的量度。改變物體平動狀態(tài)的原因改變物體繞軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因例1質(zhì)量為mA的物體A

靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為R、質(zhì)量為mC的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為mB的物體B上，B

豎直懸掛．滑輪與繩索間無滑動，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計．(1)兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？(2)物體B從靜止落下距離y時，其速率是多少？解

(1)用隔離法物體分別對各物作受力分析，取坐標(biāo)如圖．ABCOOOO3-2力矩、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動定律解得：3-2力矩、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動定律如令，可得（2）

B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率3-2力矩、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動定律穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O轉(zhuǎn)動．試計算細桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成角時的角加速度和角速度．例2一長為l、質(zhì)量為m勻質(zhì)細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉(zhuǎn)動．由于此豎直放置的細桿處于非m,lOmgθ3-2力矩、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動定律

解細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動定律得式中得m,lOmgθ3-2力矩、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動定律由角加速度的定義代入初始條件積分得m,lOmgθEND3-2力矩、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動定律例2.21轉(zhuǎn)動著的飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為J，在t＝0時角速度為.此后飛輪經(jīng)歷制動過程，阻力矩M的大小與角速度ω的平方成正比，比例系數(shù)為k(k為大于零的常數(shù))，當(dāng)

時，飛輪的角加速度是多少？從開始制動到現(xiàn)在經(jīng)歷的時間是多少？解

(1)，故由轉(zhuǎn)動定律有(2)t＝0時，

，兩邊積分故當(dāng)時，制動經(jīng)歷的時間為例:一定滑輪的質(zhì)量為，半徑為，一輕繩兩邊分別系和兩物體掛于滑輪上，繩不伸長，繩與滑輪間無相對滑動。不計軸的摩擦，初角速度為零，求滑輪轉(zhuǎn)動角速度隨時間變化的規(guī)律。已知：求：思路：先求角加速度解：在地面參考系中，分別以為研究對象，用隔離法，分別以牛頓第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動定律建立方程。以向下為正方向以向上為正方向思考：×+以順時針方向為正方向四個未知數(shù)：三個方程？繩與滑輪間無相對滑動，由角量和線量的關(guān)系：解得：如圖示，兩物體質(zhì)量分別為和，滑輪質(zhì)量為，半徑為。已知與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為，求下落的加速度和兩段繩中的張力。解：在地面參考系中，選取、和滑輪為研究對象，分別運用牛頓定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動定律得：練習(xí)向里+列方程如下：可求解例.

質(zhì)量為M的勻質(zhì)圓盤，可繞通過盤中心垂直于盤的固定光滑軸轉(zhuǎn)動，繞過盤的邊緣有質(zhì)量為m、長為l的勻質(zhì)柔軟繩索（如圖）。設(shè)繩與圓盤無相對滑動，試求當(dāng)圓盤兩側(cè)繩長差為s時，繩的加速度的大小。解：在地面參考系中，建立如圖x坐標(biāo)，設(shè)滑輪半徑為r有：ox1x2sMABrxox1x2sMABrxCBCA用隔離法列方程:(以逆時針方向為正)T1JT2.CAT1mAg.CBT2mBg解得：§2.6.4剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理一、剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動動能剛體在轉(zhuǎn)動時的動能，應(yīng)該是組成剛體的各個質(zhì)點的動能之和。設(shè)剛體中第i個質(zhì)元的質(zhì)量為，速度為，則該質(zhì)點的動能為比較二、力矩的功如圖所示，元功為又因?qū)D(zhuǎn)軸O的力矩為設(shè)剛體從轉(zhuǎn)到，則力作的功為再對各個外力的功求和，就可以得到所有外力作的總功為合外力矩的功等于合外力矩與剛體角位移元乘積的積分。[例1]:勻質(zhì)細桿長為l,質(zhì)量為m,可繞通過點O且與桿垂直的水平軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動,如圖所示.在桿的一端作用一水平恒力,其大小為F=2mg,桿在此力作用下由靜止轉(zhuǎn)過角度求力F所作的功...coFFAM=M()3-4力矩的功剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理根據(jù)剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律，有[例2]:一輕繩繞于半徑r=20cm的飛輪邊緣,在繩端施以F=98N的拉力,飛輪的轉(zhuǎn)動慣量J=0.5,飛輪和轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計,試求:當(dāng)繩端下降5m時,飛輪所獲得的動能.解:roF四、剛體的重力勢能其中是剛體的質(zhì)心到勢能零點的距離。yx.cmo剛體的重力勢能例3留聲機的轉(zhuǎn)盤繞通過盤心垂直盤面的軸以角速率

作勻速轉(zhuǎn)動．放上唱片后，唱片將在摩擦力作用下隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動．設(shè)唱片的半徑為R，質(zhì)量為m，它與轉(zhuǎn)盤間的摩擦系數(shù)為

，求：(1)唱片與轉(zhuǎn)盤間的摩擦力矩；(2)唱片達到角速度

時需要多長時間；(3)在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤的驅(qū)動力矩做了多少功？Rrdrdlo解(1)如圖取面積元ds=

drdl，該面元所受的摩擦力為此力對點o的力矩為于是，在寬為dr的圓環(huán)上，唱片所受的摩擦力矩為Rrdrdlo(3)由

可得在0

到t的時間內(nèi)，轉(zhuǎn)過的角度為(2)由轉(zhuǎn)動定律求

，(唱片J=mR2/2)（作勻加速轉(zhuǎn)動）驅(qū)動力矩做的功為由

可求得例2一長為l

,質(zhì)量為m’

的竿可繞支點O自由轉(zhuǎn)動．一質(zhì)量為m、速率為v

的子彈射入竿內(nèi)距支點為a

處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30o

.問子彈的初速率為多少?解子彈、竿組成一系統(tǒng)，應(yīng)用角動量守恒射入竿后，以子彈、細桿和地球為系統(tǒng)，E=常量．解得：例2.22如圖所示，一根質(zhì)量為m，長為l的均勻細棒OA，可繞固定點O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動.今使棒從水平位置開始自由下擺，求棒擺到與水平位置成30°角時中心點C和端點A的速度.解：棒受力如圖則中心點C和端點A的速度分別為例：如圖所示，一圓盤質(zhì)量為m；半徑為R；繩長為l；夾角為θ；求：豎直時圓盤的質(zhì)心速度。解：因機械能守恒，故另解一：應(yīng)把圓盤視為一個繞O點旋轉(zhuǎn)的剛體。應(yīng)用平行軸定理，得圓盤對O點的轉(zhuǎn)動慣量為由機械能守恒可得：求出，再由得解。另解二：把圓盤的運動視為質(zhì)心繞O點的擺動和圓盤繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的合成。由機械能守恒得：其中再由可得解。另解三：把圓盤下落的過程視為力矩做功的過程。由功能原理可得：求出，再由得解。例：如圖所示，均勻圓柱，m,R，初始靜止，高度h，無滑動。求：角速度ω。解：圓柱的運動可看成是圓柱繞中軸的轉(zhuǎn)動與中軸的平動的合成。由機械能守恒得：再由和可求解?！?.6.5定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律一、定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理二、定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒定律角動量守恒定律：當(dāng)外力對定軸的合外力矩為零時，剛體對該軸的角動量將保持不變。在日常生活中，我們到處都可以看到這樣的例子。如直升飛機為何需要雙螺旋槳、體操運動員和跳水運動員為何都是小個子、滑冰運動員旋轉(zhuǎn)的舞姿等等。問題：蟲與桿碰撞，角動量守恒？P129小球1對O點：外力矩蟲與桿碰撞，角動量守恒細繩

兩類沖擊問題桿問題：沖擊（碰撞）動量是否一定守恒？設(shè)子彈嵌入物體內(nèi)系統(tǒng)：子彈+沙袋*動量守恒（水平）角動量守恒；機械能不守恒.子彈擊入沙袋細繩質(zhì)量不計（1）、

子彈和物體（細繩或彈簧相連）沖擊彈簧細繩系統(tǒng)：子彈+桿機械能不守恒．角動量守恒；子彈擊入桿（2）、子彈和桿沖擊*動量不守恒（水平）例2一長為l

,質(zhì)量為m’

的竿可繞支點O自由轉(zhuǎn)動．一質(zhì)量為m、速率為v

的子彈射入竿內(nèi)距支點為a

處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為300

.問子彈的初速率為多少?

擺動：桿、彈和地球系統(tǒng)機械能守恒．

沖擊：子彈與桿系統(tǒng)只有角動量守恒；（動量不守恒）解

沖擊：子彈+竿系統(tǒng)

角動量守恒子彈（質(zhì)點）：轉(zhuǎn)動：

擺動：子彈+細桿+地球系統(tǒng)，

機械能守恒．小結(jié)：2、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理1、力矩的功復(fù)習(xí)提要：一、轉(zhuǎn)動慣量二、角動量

質(zhì)點三、力矩定軸剛體質(zhì)點質(zhì)點系定軸剛體五、角動量守恒四、角動量定理例.一半徑為R、質(zhì)量為

M的轉(zhuǎn)臺，可繞通過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動,質(zhì)量為m的人站在轉(zhuǎn)臺邊緣，最初人和臺都靜止。若人沿轉(zhuǎn)臺邊緣跑一周(不計阻力)，相對于地面，人和臺各轉(zhuǎn)了多少角度？R選地面為參考系，設(shè)對轉(zhuǎn)軸人：J,;臺：J′,′解：系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸合外力矩為零，角動量守恒。以向上為正：設(shè)人沿轉(zhuǎn)臺邊緣跑一周的時間為t：人相對地面轉(zhuǎn)過的角度：臺相對地面轉(zhuǎn)過的角度：例.已知：兩平行圓柱在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，求：接觸且無相對滑動時.o1m1R1.o2R2m2o1.o2.解一：因摩擦力為內(nèi)力，外力過軸，外力矩為零，則：J1+J2系統(tǒng)角動量守恒，以順時針方向為正：接觸點無相對滑動：又：聯(lián)立1、2、3、4式求解，對不對？o1.o2.問題：(1)式中各角量是否對同軸而言？(2)J1+J2系統(tǒng)角動量是否守恒？問題：(1)式中各角量是否對同軸而言？(2)J1+J2系統(tǒng)角動量是否守恒？分別以m1,m2為研究對象，受力如圖：o2F2o1.F1f1f2系統(tǒng)角動量不守恒！解二：分別對m1,m2用角動量定理列方程設(shè)：f1=f2=f，以順時針方向為正m1對o1軸：m2對o2軸：接觸點：o2F2o1.F1f1f2聯(lián)立各式解得：解一：m和m2系統(tǒng)動量守恒

mv0=(m+m2)v解二：m和(m+m2)系統(tǒng)動量守恒mv0=(m+m1+m2)v解三：mv0=(m+m2)v+m12v以上解法對不對？m2m1mA例.

已知：輕桿，m1=m,m2=4m,油灰球m，m以速度v0撞擊m2，發(fā)生完全非彈性碰撞

求：撞后m2的速率v?因為相撞時軸A作用力不能忽略不計，故系統(tǒng)動量不守恒。因為重力、軸作用力過軸，對軸力矩為零，故系統(tǒng)角動量守恒。由此列出以下方程：或：得：m2m1mNyNxA注意：區(qū)分兩類沖擊擺水平方向：Fx=0，px

守恒

mv0=(m+M)v

對o

點：，守恒mv0l=(m+M)vl質(zhì)點

定軸剛體（不能簡化為質(zhì)點）olmMFyFx(2)軸作用力不能忽略，動量不守恒，但對o軸合力矩為零，角動量守恒(1)olmM質(zhì)點質(zhì)點柔繩無切向力回顧mMFOA、B、C系統(tǒng)不守恒；A、B、C系統(tǒng)對o軸角