2023屆高考數(shù)學專項練習圓錐曲線中探索性的問題含答案

2023屆高考數(shù)學專項練習圓錐曲線中探索性的

問題

一、真題剖析

【2019年新課標1卷文科】已知點Z,B關于坐標原點O對稱，|AB|=4,。河過點4,6且與直

線a;+2=()相切.

(1)若A在直線必+夕=0上，求。M的半徑.

(2)是否存在定點P,使得當/運動時，|K4|一||為定值？并說明理由.

【試題情景】本題屬于課程學習情景,本題以圓的方程的求解問題、圓錐曲線中的定點定值類問題。

【必備知識】本題考查圓的方程的求解問題、圓錐曲線中的定點定值類問題問題。

【能力素養(yǎng)】本題考查邏輯思維能力和運算能力，考查的學科素養(yǎng)是理想思維和數(shù)學探索，本題考查

圓的方程的求解問題、圓錐曲線中的定點定值類問題.解決本定點定值問題的關鍵是能夠根據(jù)圓的

性質得到動點所滿足的軌跡方程，進而根據(jù)拋物線的定義得到定值，進而驗證定值符合所有情況，使

得問題得解.

(1)設,B(-t,t),根據(jù)|=4,可知⑶=2；由圓的性質可知圓心M必在直線y=c上，可

設圓心M(a,a)；利用圓心到2+2=0的距離為半徑和\MA\=\MB\=r構造方程,從而解出r；

(2)當直線AB斜率存在時,設AB方程為：0=kc,由圓的性質可知圓心M必在直線y=-j-x上；假

設圓心坐標，利用圓心到±+2=0的距離為半徑和T=\MA\=川,2+|OM2構造方程，解出河坐

標，可知M軌跡為拋物線;利用拋物線定義可知P(l,0)為拋物線焦點,且定值為1；當直線48斜率

不存在時,求解出M坐標，驗證此時P(l,0)依然滿足定值,從而可得到結論.

二、題型選講

題型一、是否存在參數(shù)的成立問題

22

例1.(2022?山東潘博?高三期末)已知雙曲線C：與一萼=l(a>0,b>0)的左焦點為R,右頂點為A,

ab

漸近線方程為y=±《2,F到漸近線的距離為遙.

(1)求C的方程；

(2)若直線Z過尸，且與。交于P,Q兩點(異于C的兩個頂點)，直線c=￡與直線4P,4Q的交點分

別為M,N.是否存在實數(shù)t,使得而+由|=|兩-兩|?若存在，求出t的值;若不存在，請說

明理由.

變式l.(202L江蘇南京市方三三模)在平面直角坐標系xOy中，己知拋物線C：寸=經(jīng)過P(￡,0)(方>

())的直線，與。交于AB兩點.

(1)若t=4,求AP長度的最小值；

(2)設以AB為直徑的圓交力軸于M,N兩點，問是否存在t,使得5而?麗=-4?若存在，求出t的

值;若不存在,請說明理由.

變式2.(202L遼寧實驗中學高三模擬)已知橢圓。的中心在坐標原點，焦點在c軸上，橢圓。上的點到

右焦點尸距離的最大值為3,最小值為1.

(1)求橢圓C的標準方程：

(2)設和PQ是通過橢圓C的右焦點F的兩條弦，且PQ_LMN.問是否存在常數(shù)4,使得\PQ\+

\MN\=川PQ|?恒成立？若存在，求4的值;若不存在，請說明理由.

變式3.(2022?武漢部分學校9月起點質量檢測)已知橢圓E：，+￡■=l(a>b>0)的離心率為空,

點40,-I)是橢圓E短軸的一個四等分點.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)設過點A且斜率為自的動直線與橢圓E交于M,N兩點，且點8(0,2),直線BAKBN分別交Q

C：d+⑨-1尸=1于異于點B的點P,Q,設直線PQ的斜率為k.2,求實數(shù)人使得k2=養(yǎng)h恒成立.

題型二、是否存在定點、定值問題

例2.(2022?廣東揭閑?高三期末)已知橢圓C：岑+稔=1(&>6>0),咒,6為橢圓的左、右焦點，焦距

ab~

為24,點P在。上，且APEB面積的最大值為V3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點Mq,0)作直線I交橢圓于兩點,以AB為直徑的圓是否恒過c軸上的定點Q(m,0)?

若存在該定點，請求出m的值;若不存在,請說明理由.

變式1.(2022?江蘇揚州?高三期末)已知拋物線娟=2pc(p>0)的焦點F到準線的距離為2.

(1)求拋物線的方程；

(2)過點P(l,1)作兩條動直線分別交拋物線于點A,5,C,D.設以AB為直徑的圓和以CD

為直徑的圓的公共弦所在直線為rn,試判斷直線m是否經(jīng)過定點，并說明理由.

22

變式2.(2022?湖北華中嬸大附中等六校開學考試聯(lián)考)已知橢圓C：和+點■=l(a>b>0)的離心率為

4■，以原點為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線12=0相切.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設在(一4,0),過點R(3,0)作與x軸不重合的直線Z交橢圓。于P,Q兩點，連接AP,AQ分別交

直線c=琴于兩點,若直線的斜率分別為3、的，試問：自心是否為定值？若是，求出

O

該定值，若不是,請說明理由.

題型三、是否存在定亶線、園等問題

例3.(2021?河北邯鄲市商三三模)已知拋物線C：/=4,的焦點為F,準線為I.設過點F且不與x軸平

行的直線力與拋物線。交于4,8兩點，線段48的中點為M,過M■作直線垂直于Z,垂足為N,直線

MN與拋物線C交于點P.

(1)求證:點P是線段MN的中點.

(2)若拋物線。在點P處的切線與夕軸交于點Q,問是否存在直線m,使得四邊形MPQ尸是有一個

內角為60°的菱形？若存在，請求出直線加的方程;若不存在,請說明理由.

變式l.(2021?山東泰?安市?高三一模)已知橢圓C：￡+￡=l(a>b>0)的離心率為誓，短軸長為2

V2.

(1)求橢圓。的方程；

(2)已知是橢圓。上的兩個不同的動點，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點。.是否存在以O

為圓心的定圓恒與直線相切？若存在，求出定圓方程;若不存在,請說明理由.

三、聞8訓練

1.(2021?福建泉州市高三二模)已知拋物線C：/=2py(p>0)的焦點為F,P為。上的動點，Q為P

在動直線沙=力(￡V0)上的投影.當APQF為等邊三角形時，其面積為473.(1)求。的方程；

(2)設O為原點,過點P的直線I與。相切，且與橢圓與+號=1交于4B兩點,直線OQ與AB交

于點河.試問：是否存在t，使得\AM\=\BM\恒成立？若存在，求t的值;若不存在，請說明理由.

2.(2022?廣東清運?高三期末)設拋物線C：必=2pWp>0)的焦點為P,準線為Z,過焦點F且斜率為1

的直線與拋物線C交于A,B兩點，若力口的中點到準線I的距離為4.

(1)求拋物線。的方程；

(2)設P為Z上任意一點，過點P作C的切線，切點為Q,試判斷尸是否在以PQ為直徑的圓上.

3.(2022-廣東汕尾?高三期末)已知點“為直線lliX=-2上的動點，M2,0),過河作直線。的垂線I,

I交線段MN的垂直平分線于點P,記點P的軌跡為C.

(1)求曲線。的方程；

(2)設O是坐標原點，4,B是曲線C上的兩個動點，且小才?而=一16,試問直線AB是否過定點？

若不過定點,請說明理由；若過定點，請求出定點坐標.

4.(2022-廣東潮州?高三期末)已知橢圓。:5+g=l(a>b>0)的離心率為平，以原點O為圓

心，橢圓。的長半軸長為半徑的圓與直線22一方9+6=0相切.

(1)求橢圓。的標準方程；

(2)已知點A,B為動直線n=M『2)(k￥0)與橢圓C的兩個交點，問:在立軸上是否存在定點E,

使得詼+直?后為定值？若存在，試求出點E的坐標和定值；若不存在，請說明理由.

5.(2022?山東艱臺?高三期末)已知橢圓「：￡+，=l(a>b>0)的長軸長為4,點P(竽,1)在「

上.

(1)求橢圓「的方程；

(2)設橢圓r的左、右頂點分別為4、3,過定點(1,0)的直線與橢圓r交于。兩點(異于點4、

B),試探究直線AC、的交點的橫坐標是否為定值？若是,求出該定值;若不是，說明理由.

圓錐曲線中探索性的問題

一、真題剖析

【2019年新課標1卷文科】已知點A,6關于坐標原點。對稱，IAB|=4,0M過點4,3且與直

線a;+2=()相切.

(1)若4在直線x+沙=0上，求。A1的半徑.

(2)是否存在定點P,使得當4運動時，|M4|一|MP|為定值？并說明理由.

［試題情景］本題屬于課程學習情景,本題以圓的方程的求解問題、圓錐曲線中的定點定值類問題。

【必備知識】本題考查圓的方程的求解問題、圓錐曲線中的定點定值類問題問題。

［能力素養(yǎng)］本題考查邏輯思維能力和運算能力，考查的學科素養(yǎng)是理想思維和數(shù)學探索，本題考查

圓的方程的求解問題、圓錐曲線中的定點定值類問題.解決本定點定值問題的關鍵是能夠根據(jù)圓的

性質得到動點所滿足的軌跡方程，進而根據(jù)拋物線的定義得到定值，進而驗證定值符合所有情況，使

得問題得解.

(1)設A(t,-f),B(-i,t),根據(jù)|=4,可知用=2；由圓的性質可知圓心M必在直線y=c上，可

設圓心M(a,a)；利用圓心到2+2=0的距離為半徑和\MA\=\MB\=r構造方程,從而解出r；

(2)當直線AB斜率存在時,設AB方程為：0=癡,由圓的性質可知圓心M必在直線y=-j-x上；假

設圓心坐標,利用圓心到c+2=0的距離為半徑和『=|AM|=7|OA|2+|OM|2構造方程，解出“坐

標,可知“軌跡為拋物線;利用拋物線定義可知F(l,0)為拋物線焦點,且定值為1；當直線48斜率

不存在時,求解出河坐標，驗證此時F(l,0)依然滿足定值,從而可得到結論.

【解析】(1)丁工在直線出+0=0上

設A(t,-t),則

又\AB\=4

8t2=16,解得：|廿

???。”過點4,3

/.圓心Af必在直線g=力上

設Af(a,a),圓的半徑為r

:。M與①+2=0相切

：.r=|Q,+2|

又|ML4|=\MB\=r,即(0—，^)?+(a+V2)2=r2

(a—A/2)2+(a+四)2=(a+2)2,解得：Q=0或Q=4

當Q=0時，廠=2;當a=4時，r=6

的半徑為：2或6

(2)存在定點P(l,0)，使得\MA\-\MP\=1

說明如下：

,：A,B關于原點對稱且|=4

???直線48必為過原點。的直線，且。川=2

①當直線工笈斜率存在時，設AB方程為:y=kx

則OAf的圓心A/必在直線y=~9r上

rC

設Af(—km,m),。M的半徑為r

M與a;+2=0相切：.r=|—km+2|

又r=\MA\=■J\OA\i+|OA1|2=V4+fc2m2+m2

/.km+2|=V4+fc2m2+m2,整理可得：m2=-4km

即Af點軌跡方程為：婚=4工，準線方程為：工=-1,焦點R(L0)

V\MA\=r,即拋物線上點到田=一2的距離=\MF\+1

A\MA\-\MF\=1

當P與R重合，即P點坐標為(1,0)時，=1

②當直線AB斜率不存在時，則直線AB方程為：/=()

M^kx軸上，設M(n,0)

/.|n+2|=Vn2+4,解得：n=0,即M(0,0)

若F(l,0),則\MA\-\MP\=2-1=1

綜上所述，存在定點P(l,0)，使得\MA\-\MP\為定值.

二、題型選講

題型一、是否存在叁數(shù)的成立問題

2Q?

例1.(2022?山東洛博?高三期末)已知雙曲線C：%一方=l(a>0,b>0)的左焦點為R,右頂點為A,

漸近線方程為沙=尸到漸近線的距離為四.

(1)求。的方程；

(2)若直線/過R,且與。交于P,Q兩點(異于C的兩個頂點)，直線z=t與直線AP,AQ的交點分

別為M,N.是否存在實數(shù)t,使得|可訝+兩|=|兩-兩|?若存在，求出t的值;若不存在，請說

明理由.

9

【答案】(1)/一(=1

(2)存在，t=―

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)R到漸近線的距離為代，可求得6,再根據(jù)漸近線方程可求得a,,即得雙曲線方程；

(2)假設存在，設直線的方程，并和雙曲線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關系式，然后表示出點的

坐標，進而得到向量FM,FN的坐標,利用其數(shù)量積為零，將根與系數(shù)的關系式代入，看能否解出參

數(shù)t的值，即可得答案.

(1)

雙曲線C:27'—左=l(a>0,b>0)一條漸近線方程為y=,

焦點口(一c,0),則焦點到準線的距離d=-^f==b,

由尸到漸近線的距離為V3可知：卜=心,

由漸近線方程為沙=±r知：\~=焉，故Q=1,

所以雙曲線方程為：/一*=1;

O

(2)

設直線Z的方程為x=rny—2,

x=my—2

聯(lián)立,y2，整理得：(3m2—1)才一12m,y+9=0,

武一9=1

設,Q(6,於)，而41,0),尸(一2,0),

12m9

則"+佻=礪』=而二?'

所以0+應=小(防+加一4=^^，，的=病防幼一2成(幼+仇)+4=^f^

假設存在實數(shù)3使得|初訝+兩|=|戶而一兩則詢?麗=0,

故由AP方程：9=上了(立一1),令a;=t得1)),

同理AQ方程：y=￡y(z-l),令z=t得"卜,至駕(t-1)),

所以詢.兩

22

即(t+2)+7~~鵲~-Y(t-l)=O,

(電一1)(g—1)

9

則(力+2)2+,y-----------(t_])2=0,

—3mr—4_―、4.?

3m2—137n2—1

gp(t+2)2-(t-l)2=0，解得力=一好,

故存在實數(shù)力=一十,使得|同？+兩|=|麗？一同見

變式1.(2021?江蘇南京市高三三模)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線。:娟=效,經(jīng)過P(t,O)(i>

0)的直線/與。交于AB兩點.

(1)若力=4,求AP長度的最小值；

(2)設以48為直徑的圓交c軸于兩點，問是否存在3使得南?麗=—4?若存在，求出t的

值;若不存在,請說明理由.

【解析】⑴設華，班)，由「(4,0),

可得\AP\2=(華-4)+*=聆一*+16=吉(嫦-8)?+12>12,

當加=±20時，|4P|取得最小值2代；

⑵設直線AB的方程為義=7ny+￡,A⑶,①2，珀,

聯(lián)立{：2二魯7*%可得y2-4my-4t=0,即有"+紡=4m,助仇=一41，

設以AB為直徑的圓上任一點Q(X,7/),M(X3,O),7V(T1,O)

所以Q的軌跡方程為(Z-g)(c-02)+(9一")("一物)=0

2

x{x2=m(i/i+紡)+2t=4m+2t

22

x1x2=(myi+t)(my2+力=m(yi+y2)+mty\y2+/=-rrirt+4mf+/=產(chǎn)

所以Q的軌跡方程化為X2—(4m2+2t)x+12+y2—4my—4%=0

令J=0,得上一(4m2+2t)x+12—4t=0

2

所以上式方程的兩根分別為g,xAy,則x3x4=t—4t

由OM-ON=x3x4=-4,可得n3g=-4,即有產(chǎn)一4%=-4,解得力=2.

所以存在±=2,使得而?而=-4.

變式2.(2021?遼寧實會中學高三模擬)已知橢圓。的中心在坐標原點,焦點在出軸上，橢圓。上的點到

右焦點F距離的最大值為3,最小值為1.

(1)求橢圓。的標準方程：

(2)設和PQ是通過橢圓。的右焦點F的兩條弦，且PQ，MN.問是否存在常數(shù)人使得\PQ\+

\MN\=/l|PQ|?|M7V|恒成立？若存在，求4的值;若不存在,請說明理由.

22

【解析】(1)設橢圓C的方程為W+3=l(a>b>0),半焦距為C.

QT0~

根據(jù)橢圓的幾何性質可得,橢圓的左頂點到右焦點的距離最大，且為a+c,

橢圓的右頂點到右焦點的距離最小，且為a—c,即1°+c=?,

{a—c=l

解得：a=2,c=1,所以〃=/—。2=3

o2

橢圓。的方程為與+《=1.

4o

(2)當兒W和PQ一個斜率不存在另一個為0時，不妨令1W斜率不存在，

則\MN\==3,\PQ\=2a=4,

\MN\+\PQ\

所以4='++人工

\MN\-|FQ|\MN\\PQ\3十412"

當兒W和PQ斜率都存在時，

設直線MN的方程為u=/c(c-1),A/3i，%),N(g,例)，直線PQ的方程為y=-^(x-1).

K1

22

[x.y=]

聯(lián)立方程443得：(3+4奴)42—泌如+4奴—12=0.

ly=k(x-l)

8k2

g+g=

3+4fc2

△=（一84）2—4（3+4/c2）（4fc2-12）=144fc2+144>0,

=4k2—12

XiX

23+4k2

（—p/+l

12（依+1）

同理可得\PQ\=12x-,—

4（-+）+33fc2+4

-|-M---N--|--+---|P--Q---|=-----]---_|------]------4--^--+---3----------3-A-r-?-+---4-----7

\MN\?\PQ\\MN\\PQ\12（1+A：2）12（1+fc2）12'

綜上可知存在常數(shù)4=告，使得\PQ\+\MN\=A\PQ\-\MN\恒成立.

變式3.(2022?武漢部分學校9月起點質量檢測)已知橢圓E：考?+鳥=l(a>b>0)的離心率為冬,

abZ

點4(0,一1)是橢圓后短軸的一個四等分點.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)設過點A且斜率為e的動直線與橢圓E交于M,N兩點，且點以0,2),直線BAI,BN分別交。

C-./+。一1產(chǎn)=1于異于點B的點P,Q,設直線PQ的斜率為防，求實數(shù)人使得總=4自恒成立.

【解析】

(1)由題意，7,4=3,解得b=2,

(一1)一(一b)

設橢圓半焦距為c,則—=，即1—與=[,解得Q-=8.

a2Q-/

92

橢圓的標準方程為號+弓-=1.

o4

(2)設MQ],yi),NG,y2),P(xP,yP),Q@Q,"Q),直線MN方程為y=k、x-l.

方法一：

直線BAf方程為g=⑨—-x+2,與/+⑨-iy=i聯(lián)立

得(猶+(幼-2產(chǎn)謬+241(劭一2)x=0.

-2%（9-2）

由xp豐0，解得xp=

訴+（物-2）2,

22

又等+4=1,即方=8-2婚，代入上式，得①p=-2/1（納一2）2xi

O42（4-婿）+（%-2產(chǎn)功+6.

1/1—216

處=—^―勺+2=4-

①1y?+6-

即占產(chǎn)（2x14----理一）,同理，點Q（急4--16_

'例+6,

4一_16__（4__16_）,、

k_yp-VQ_"1+16I與+16,_8（幼一一）

2

Xp-XQ2cl2g皿的一①2"+6xj-6x2

仇+6y2+G

將納=用為-1,%=你3—1代入上式，

得卜=甌（電-g）8e位|一6）

刈（3出2—1）—62（加%—1）+6（%]一曲）5（Xi-X2）

即k-2=~p~fci,A=聾.

D0

方法二：

_4fcI

◎+電=西

y=k{x—1與弓-+烏-=1聯(lián)立得：（2蜻+1）/-4自力一6=0,則

o4-6

XXy=

}2k2+1

卜斯+卜皿=-+曰=^^=^^=2加—^±^=4匕

gx2x-2x2x}x2

_yi—2沙2—2_（小閉一3）（Ahg-3）_好的/-3島（丁+宓2）+9

kBzk.RN=~~~

X]XoX\X'2Cj.C2

_—6k1—12fcf+9（2fci+1）_3

-6=~'2'

設直線PQ方程為y—k2x+±,與4+（”-1）2=1聯(lián)立得:（依+1）爐+2k2（t—l）x+r（t-2）=0.

__2k2（￡-1）

Np+Q

Xfcj+1

則＜

t（t—2）

XXQ=

Pfc.2+1

〃-2）（如+項）

kiBQ=X+史—+也吐匕2=2k2+

XPXQXPXQxPxQ

2k2（t—2）（力—1）2fc

=2k2-2

t（t—2）

2

y—2yQ~2（e3+￡—2）（拈2%+±-2）kixpXQ-\-k）（t-2）（xp+XQ）4-（t—2）

kspk^QP

XpXQXpXQXpXQ

kot（t—2）—2k敦t—2）（力-1）+（fc?+l）（t-2）2hot—2破（力—1）+（k：+1）（力-2）t—2

4自=爭t=4

fcfiiW+kpN=kpp+k時即3

由3」.2,解得

kB#BN=k^pk^Q

~^~~r%2=春3

.*.A=—

5

題型二、是否存在定點、定值問題

22

例2.(2022?廣東揭陽?高三期木)已知橢圓C：%+方=l(a>b>0),片,￡為橢圓的左、右焦點，焦距

為2通,點P在。上,且APEB面積的最大值為V3.

(1)求橢圓C的方程；

⑵過點”(?1,0)作直線I交橢圓于45兩點，以AB為直徑的圓是否恒過re軸上的定點Q(M,0)?

若存在該定點，請求出山的值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴亨+娟=1；

(2)以43為直徑的圓恒過。軸上的定點Q(2,0),/n=2.

【解析】

【分析】

⑴根據(jù)焦距求出c=《，再根據(jù)面積的最值求出6=1,即得橢圓的方程；

(2)當直線，的斜率為0時，圓與;r軸的交點為(-2,0),(2,0);當直線，的斜率不為0時,設直線/:4=

ty+聯(lián)立直線和圓的方程得到韋達定理，得到x2-_鋰警課=0,即

55(/+4)25(1+4)

(25--100)t24-100X2-240S+80=0,解方程25s2-100=(),且100s2-240a;+80=0即得解.

(1)

解：由桶圓。的焦距為2』，可得2c=2/，即c=J^.

設點P的縱坐標為外△PEE的面積S△呻：=4四￡|?\yi>\—V3|?/p|,

其中|調Wb,根據(jù)△。月同面積的最大值為，可得b=L

由橢圓的性質可得：a2=b2+c2=4.

2

于是橢圓。的方程為4+靖=1.

⑵

解：當直線/的斜率為0時，以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=4

圓與工軸的交點為(-2,0),(2,0)

當直線，的斜率不為0時,設直線/：2=加+日.

□

將直線Z與橢圓C聯(lián)立，可得(/+4"+畢為一第=0.

設點A,B的坐標分別為(如幼),但,例),則有

,12/.64

V'優(yōu)_—5(#+4嚴1?明一~25(t2+4),

以A6為直徑的圓的方程為(c-g)(z-g)+勿一功)(?/一佻)=0

令？/=0,可得：力2—(+]+12)力+?%2+"?優(yōu)=0①.

其中皿+辦2=t(幼+僅)+卷=k(：：4)一②，

2

的?x,=t'y}-仇+白武功+7/2)+碧=一；黑;③。

②③代人①可得/一卷L盜譚交④.

式子④可變換為(25/—100)廿+100/—240s+80=0⑤.

當25/—100=0,且100/—240宓+80=0時，⑤式成立，可解得劣=2.

綜上可得，以4B為直徑的圓恒過4軸上的定點Q(2,0),，n=2.

變式1.(2022?江蘇揚州?南三期末)己知拋物線娟=2p2(p>0)的焦點R到準線的距離為2.

(1)求拋物線的方程；

(2)過點P(1,1)作兩條動直線h,12分別交拋物線于點A,B,C,D.設以4B為直徑的圓和以CD

為直徑的圓的公共弦所在直線為小,試判斷直線m是否經(jīng)過定點，并說明理由.

【答案】⑴/=4工;

⑵直線“恒過定點(十，部理由見解析.

【解析】

【分析】

(1)由題可得P=2,即求；

(2)利用韋達定理法及條件可求以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓的方程，然后可得公共弦所在

直線，進而即得.

(1)

由題意得該拋物線焦點到準線的距離為野一(一告)=P=2,

所以該拋物線的方程為靖=4工.

⑵

①當直線勾的斜率都存在時，設直線在y-1=自3—1),直線，2：y—1=fc2(?-1),

￡4二…*去,得施2_2附-用+2)工+(1-附2=。,顯然2。,

由

/、/、2(fcf-k\+2)(1—fc1)2

設4%/)，B(%納),則為+，產(chǎn)一帚一,裂尸

4（1-fc（）

%+%=用31+立2—2）+2=刀，幼紡=好*m2+自（1一"）（。1+色）+（1-fcl）2

則以AB為直徑的圓的方程為：（力一g）（力一g）+（g—幼）（g—劭）=0,

22

X-（xj+x2）x+xlx2+y-?+佻）2/+"例=0,

日n2_L29Q1—4]2Q—2g+1）

即x-\-y—2x—3H---―i---1------；------=0,

fcfki

同理，以CD為直徑的圓的方程為：/+必一22一3+與堯+型二獸土L=0,

Ki肥2

以兩圓公共弦所在的直線丁兒的方程為：（1—4x）（-r—Fv-）+2（%—2y+1）=0.

，解得「一

J1-41=0，所以直線恒過定點借,得）.

(2(力一2g+1)=0

[y=

②當直線兒力的斜率中有一個不存在時，由對稱性不妨設6的斜率不存在，勾的斜率為筋,

則以AB為直徑的圓的方程為：X24-y2—2x—3=0,

2（：?；2jy+1）

以為直徑的圓的方程為：/+才一2/-3+1二產(chǎn)+-,=0,

hi?2

（1_

所以兩圓公共弦所在的直線m的方程為：；----+2（1一2g+1）=0,

K12

此時直線M恒過定點（十,1）,

綜上得:直線小恒過定點（H）.

29

變式2.（2022?湖北華中舜大附中等六校開學考試聯(lián)考）已知橢圓C：和+方=l（a>b>0）的離心率為

方,以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線。立一述y+12=0相切.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設4—4,0），過點R（3,0）作與二軸不重合的直線/交橢圓。于P,Q兩點，連接4P,AQ分別交

直線t=挈于M,N兩點,若直線MR、NR的斜率分別為自、％2，試問：4曲2是否為定值？若是，求出

該定值，若不是,請說明理由.

[答案]（1）?！?告=1;（2我也為定值一竿.

【解析】

【詳解】試題分析：（1）根據(jù)離心率、直線與圓相切建立關于a,b,c的方程組，過得a,b,c,從而得到橢圓

的方程；（2）設〃（如幼）,Q（力2,%），直線的方程為x=my+3,聯(lián)立橢圓方程消去⑦，得到關于y

的方程，再利用韋達定理得到幼,功之間的關系，從而得到k}k2的關系.

c_1

Q=4，22

12解得b=2一,故橢圓。的方程為君+告=1.

試題解析：（1）由題意得,""/~—b,

V7+5

、c=2,

(r=b2+c2,

⑵設。(如加，Q(如珀，直線PQ的方程為/=my+3,由[?！?務=1'

[x=my+3,

得(3m2+4)y2+18my-21=0.

-18nl-21

???納+佻=3病+4，"曲―3m2+4'

由A,P,W三點共線可知，畏=丁匕.4，所以物」=竿?丁^4；

■LDX\~r?3十4

T

同理可得.=等"

VN_9yMyN16yM

所以kik2="""一

1b—o16~7-49(Xj+4)

T-3(X2+4)

3

2

因為(5+4)(X2+4)=(my1+7)(my2+7)=my[y2+7m(y,+佻)+49,

16X—21

圻以L卜=_________16%-___________________________37n2+4______________12

"My改+7小(%+及)+49m2x-21+7mx,-18+497

3m-4-43mz+4

題型三、是否存在定直線、圓等問題

例3.(2021?河北郵鄲市高三三模)已知拋物線C;/=4,的焦點為F,準線為I.設過點F且不與x軸平

行的直線M與拋物線。交于力，B兩點，線段AB的中點為M,過M作直線垂直于Z,垂足為N,直線

MN與拋物線C交于點P.

(1)求證:點P是線段MN的中點.

(2)若拋物線。在點P處的切線與沙軸交于點Q,問是否存在直線m,使得四邊形MPQF是有一個

內角為60°的菱形？若存在，請求出直線m的方程；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)設直線m的方程為y—kx+l(kWO),與/=4)聯(lián)立，利用韋達定理求得點A1的坐標，再

根據(jù)MN_LZ,得到MN中點的坐標即可；

⑵由小=包,得y=亨，求導式=告，由MN//v軸，得到四邊形MPQF為平行四邊形，再由|MF|=

\MP\求解.

【解析】(1)證明：由題意知直線m,的斜率存在且不為0,故設直線771的方程為y=kx+l(kWO),

代人力2=4g,并整理得出2-4kx—4=0.

所以△=16k2+16>0,設A{x\,yi),網(wǎng)外仇),則⑻+x2=4fc,x}x2=-4.

22

設”(如物)，則g=.產(chǎn)匕=2k,yQ=kx[}+1=2k+1,即M(2fc,2A;+1).

由MN_Ll,得N(2k,—1),

所以MN中點的坐標為(2fc,fc2).

將⑦=2k代入/=4",解得g=k'2,則P(2fc,fc2),

所以點P是MN的中點.

(2)由/=4y,得y=去，則J=為，

所以拋物線。在點尸(2k,夢)的切線PQ的斜率為％,

又由直線m?的斜率為k,可得7rl〃尸Q;

又跖V〃y軸，所以四邊形MPQR為平行四邊形.

而\MF\=V(2fc)2+(2A;2+1-1)2=2/妒(旬+1),\MP\=\(2k24-1)-fc2|=A:2+1,

由\MF\=\MP\,得2/取(奴+1)=k2+l,

解得k=士斗，即當k=土坐時，四邊形MPQF為菱形,

且此時\PF\=V(2fc-0)2+(fc2-l)2=必+1==|MF|,

所以乙冏1值=60°,

直線m的方程為y=±^-x+1,

即a—V3y+V3=0或i+V3y—V3=0,

所以存在直線MJ吏得四邊形皿尸QF是有一個內角為60°的菱形.

變式1.(2021?山東泰?安市?高三一模)已知橢圓。：5+，=1(&＞》＞0)的離心率為乎,短軸長為2

V2.

(1)求橢圓。的方程；

(2)已知4B是橢圓。上的兩個不同的動點，以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O.是否存在以O

為圓心的定圓恒與直線AB相切？若存在，求出定圓方程;若不存在,請說明理由.

【解析】

(1)由題意可得b=再利用離心率€=￡=必戶■求出滔=6,即可求解.

(2)設力⑶期)，8(%佻)，分情況討論，當直線48的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m,

22

將直線方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理，求出04-OB=xYx2+y、y?=0,從而可得2m=3(1+A：),再

利用點到直線的距離公式即可求出半徑，再求出直線48的斜率不存在時圓的半徑，從而得出圓的方

程.

【詳解】

解：(1)由題意知，b=2又e=￡■=二2_=

(1丫"QJ

.?./=6,，橢圓C的方程為尋+*=1

U2

(2)設4(孫功)，6(亞，紡)

當直線4M的斜率存在時，

設直線AB的方程為y=kx+m,

y=kz+m

由99

T+5T

得(3奴+l)x2+Gkmx+3m2-6=0

-6km3病一6

x]