2019-2020年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第7章圓第19講圓的位置關(guān)系與計(jì)算

2019-2020年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第7章圓第19講圓的位置關(guān)系與計(jì)算?歸納1：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心①d<r?點(diǎn)P在⊙O內(nèi)②d=r?點(diǎn)P在⊙O上③d>r?點(diǎn)P在⊙O外O的距離為d，則有：?歸納2：直線與圓的位置關(guān)系直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：①相交：直線和圓有②相切：直線和圓有③相離：直線和圓兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓O的半徑為r，圓心O到直線的距離為相交相切，這時(shí)直線叫做圓的切線相離．d，那么：O相切?d=r；③直線與⊙如果⊙①直線與⊙O相交?d<r；②直線與⊙O相離?d>r；?歸納3：弧長(zhǎng)公式n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為【注意問(wèn)題歸納】①在弧長(zhǎng)的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，π表示．n和180都不要帶單位．②題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長(zhǎng)用③正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長(zhǎng)三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長(zhǎng)不一定相等，弧長(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念。?歸納4：扇形面積扇形面積公式：【注】其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，是扇形的弧長(zhǎng)．?歸納5：陰影部分面積求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和法差；③割補(bǔ)法．【注意問(wèn)題歸納】求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．?【?？碱}型剖析】??題型一、弧長(zhǎng)、扇形的面積【例1】(xx包頭)120°的圓心角對(duì)的弧長(zhǎng)是6π，則此弧所在圓的半徑是（）A.3B.4C.9D.18C【答案】【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，將【解答】解：根據(jù)弧長(zhǎng)的公式，得到：6π=，解得r=9．n及l(fā)的值代入即可得出半徑r的值．【例2】(xx新疆）一個(gè)扇形的圓心角是那么這個(gè)扇形的半徑是（120°，面積為3π，）A.1cmB.3cmC.6cmD.9cmB【答案】【分析】根據(jù)扇形的面積公式：代入計(jì)算即可解決問(wèn)題．【解答】解：設(shè)扇形的半徑為R，由題意：3π=，解得R=±3，∵R＞0，∴R=3cm，∴這個(gè)扇形的半徑為3cm．【舉一反三】1.(xx哈爾濱)一個(gè)扇形的圓心角為則此扇形的半徑為120°，面積為12πcm，2cm．【答案】6【分析】根據(jù)扇形的面積公式即可求得半徑．【解答】解：設(shè)該扇形的半徑為r，則=12π，解得r=6．即該扇形的半徑為6cm．2.(xx岳陽(yáng))在半徑為6cm的圓中，120°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為6cm的圓中，120°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為：cm．【答案】4π【分析】直接利用弧長(zhǎng)公式求出即可．【解答】解：半徑為=4π（cm）．3.(xx臺(tái)州)如圖3，△ABC的外接圓O的半徑為2，∠C=40°，則的長(zhǎng)是．圖3圖4【答案】【分析】由圓周角定理求出∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式：n，圓的半徑為（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為r）即可求解．【解答】解：∵∠C=40°，∴∠AOB=80°．∴的長(zhǎng)是4.(xx長(zhǎng)沙)如圖4，扇形OAB的圓心角為120°，半徑為3，則該扇形的弧長(zhǎng)為．（結(jié)果保留π）【答案】2π【分析】直接利用弧長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可．【解答】解：∵扇形OAB的圓心角為120°，半徑為3，∴該扇形的弧長(zhǎng)為：=2π．5.(xx莆田)如圖5，CD為⊙O的弦，直徑AB為4，AB⊥CD于E，∠A=30°，則的長(zhǎng)為（結(jié)果保留π）．【答案】【分析】連接AC，由垂徑定理的CE=DE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AC=AD，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠可得到結(jié)論．CAB=∠DAB=30°，由圓周角定理得到∠COB=60°，根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式即【解答】解：連接AC，∵CD為⊙O的弦，AB是⊙O的直徑，∴CE=DE，∵AB⊥CD，∴AC=AD，∴∠CAB=∠DAB=30°，∴∠COB=60°，∴的長(zhǎng)=圖5圖6圖76.(xx營(yíng)口)如圖6，AB是⊙O的直徑，弦CD垂直平分OB，垂足為點(diǎn)E，連接OD、BC，若BC=1，則扇形OBD的面積為．【答案】【分析】由CD垂直平分OB，得到OE=EB，且OB⊥CD，再利用垂徑定理得到得到三角形CEB與三角形DEO全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到CE=DE，利用SASOD=BC=1，在直角三角形OED中，根據(jù)直角邊等于斜邊的一半確定出∠EDO的度數(shù)，進(jìn)而求出∠BOD度數(shù)，利用扇形面積公式求出扇形【解答】解：∵OBD面積即可．AB是⊙O的直徑，弦CD垂直平分OB，∴OE=EB，OB⊥CD，∴CE=DE，在△BEC和△OED中，CEDECEBDEO900，BEOE∴△BEC≌△OED（SAS），∴OD=BC=1，在Rt△OED中，OE=OB=OD，∴∠ODE=30°，∴∠BOD=60°，則扇形BOD面積S=7.(xx東營(yíng))如圖7，某數(shù)學(xué)興趣小組將邊長(zhǎng)為5的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形（忽略鐵絲的粗細(xì)）【答案】25，則所得的扇形ABD的面積為_(kāi)____________.【分析】根據(jù)扇形面積公式：S=?L?R（L是弧長(zhǎng)，R是半徑），求出弧長(zhǎng)BD，根據(jù)題意=CD+BC，由此即可解決問(wèn)題．=CD+BC=10，【解答】解：由題意S扇形ADB=??AB=×10×5=25，?題型二、陰影部分的面積【例3】(xx通遼)如圖1，AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=，則陰影部分的面積為（）圖1圖2A.B.πC.2πD.4π【答案】A【分析】連接OD，則根據(jù)垂徑定理可得出CE=DE，繼而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBD的面積，代入扇形的面積公式求解即可．【解答】解：連接OD．∵CD⊥AB，∴CE=DE=CD=，故S△OCE=S△ODE，即可得陰影部分的面積等于扇形又∵∠ABD=60°，OBD的面積，∴∠CDB=30°，∴∠COB=60°，∴OC=2，∴S扇形OBD=，即陰影部分的面積為．【例4】(xx重慶)如圖2，以AB為直徑，點(diǎn)O為圓心的半圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，若AC=BC=，則圖中陰影部分的面積是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】先利用圓周角定理得到∠ACB=90°，則可判斷△△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到計(jì)算圖中陰影部分的面積．ACB為等腰直角三角形，接著判斷S△AOC=S△BOC，然后根據(jù)扇形的面積公式【解答】解：∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵AC=BC=，∴△ACB為等腰直角三角形，∴OC⊥AB，∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，∴S△AOC=S△BOC，OA=AC=1，∴S陰影部分=S扇形AOC=【舉一反三】8.(xx蘇州)如圖8，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若∠A=∠D，CD=3，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】連接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面積，進(jìn)而可求出圖中陰影部分的面積．OC，【解答】解：連接∵過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)∴OC⊥CD，D，∴∠OCD=90°，即∠D+∠COD=90°，∵AO=CO，∴∠A=∠ACO，∴∠COD=2∠A，∵∠A=∠D，∴∠COD=2∠D，∴3∠D=90°，∴∠D=30°，∴∠COD=60°∵CD=3，∴OC=3×=1=3360333∴陰影部分的面積23602圖8圖99.(xx濱州)如圖9，△ABC是等邊三角形，以2為半徑作弧，則圖中陰影部分的面積是【答案】2π﹣3AB=2，分別以A，B，C為圓心，．【分析】根據(jù)等邊三角形的面積公式求出正△求出扇形的面積，求差得到答案．ABC的面積，根據(jù)扇形的面積公式【解答】解：∵正△ABC的邊長(zhǎng)為2，∴△ABC的面積為扇形ABC的面積為則圖中陰影部分的面積=3×（﹣）=2π﹣3，10.(xx大慶)如圖10，在矩形ABCD中，AB=5，，一圓弧過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C，且與AD相切，則圖中陰影部分面積為．【答案】【分析】設(shè)圓的半徑為x，根據(jù)勾股定理求出x，根據(jù)扇形的面積公式、陰影部分面積為：矩形ABCD的面積﹣（扇形【解答】解：設(shè)圓弧的圓心為BOCE的面積﹣△BOC的面積）進(jìn)行計(jì)算即可．O，與AD切于E，連接OE交BC于F，連接OB、OC，設(shè)圓的半徑為由勾股定理得，即x，則OF=x﹣5，，解得，x=10，則∠BOF=60°，∠BOC=120°，則陰影部分面積為：矩形ABCD的面積﹣（扇形BOCE的面積﹣△BOC的面積）=﹣+=圖10圖1111.(xx綏化)如圖11，在半徑弦AB于點(diǎn)D，連接CD，則圖中陰影部分的面積是π﹣1AC為2，圓心角為90°的扇形內(nèi)，以BC為直徑作半圓，交【答案】【分析】已知BC為直徑，則∠CDB=90°，在等腰直角三角形D為半圓的中點(diǎn)，陰影部分的面積可以看做是扇形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，ACB的面積與△ADC的面積之差．【解答】解：在Rt△ACB中，AB=∵BC是半圓的直徑，∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，∴D為半圓的中點(diǎn)，S陰影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×﹣×=π﹣1．?【鞏固提升自我】?1.(xx廣東)如圖1，把一個(gè)圓錐沿母線OA剪開(kāi)，展開(kāi)后得到扇形AOC，已知圓錐的高h(yuǎn)為12cm，OA=13cm，則扇形AOC中的長(zhǎng)是____________cm；（結(jié)果保留）【答案】10π【分析】根據(jù)的長(zhǎng)就是圓錐的底面周長(zhǎng)即可求解．【解答】解：∵圓錐的高∴圓錐的底面半徑為∴圓錐的底面周長(zhǎng)為h為12cm，OA=13cm，10πcm，10πcm，∴扇形AOC中的長(zhǎng)是圖1圖22.(xx廣東)如圖2，某數(shù)學(xué)興趣小組將邊長(zhǎng)為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形A.6B.7【答案】D(忽略鐵絲的粗細(xì))，則所得的扇形DAB的面積為（）C.8D.9【分析】由正方形的邊長(zhǎng)為3，可得弧BD的弧長(zhǎng)為6，然后利用扇形的面積公式：3，S扇形DAB=，計(jì)算即可．【解答】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為∴弧BD的弧長(zhǎng)=6，∴S扇形DAB==×6×3=9．3.(xx廣東)如圖3,三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,則圖中陰影部分面積的和是__________(結(jié)果保留).圖3圖4【答案】【分析】陰影部分可看成是圓心角為【解答】解：根據(jù)圖示知，∠135°，半徑為1是扇形．1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴圖中陰影部分的圓心角的和是∴陰影部分的面積應(yīng)為：90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，S==．4.(xx廣東)如圖4，在?ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以點(diǎn)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)E，連接CE，則陰影部分的面積是A為圓心，AD的（結(jié)果保留π）．【答案】【分析】過(guò)D點(diǎn)作DF⊥AB于點(diǎn)F．可求?ABCD和△BCE的高，觀察圖形可知陰影部分的面積=?ABCD的面積﹣扇形ADE的面積﹣△BCE的面積，計(jì)算即可求解．D點(diǎn)作DF⊥AB于點(diǎn)F．【解答】解：過(guò)∵AD=2，AB=4，∠A=30°，∴DF=AD?sin30°=1，EB=AB﹣AE=2，∴陰影部分的面積：4×1﹣﹣2×1÷2=4﹣﹣1=5.(xx廣東)如圖5，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)若∠BAC=90°，AB=AC=，則圖中陰影部分的面積等于45°得到△，。圖5