常微分方程OrdinaryDifferentialEquations課件

4.2常系數微分方程的解法具體內容復值函數與復值解常系數齊次線性微分方程和歐拉方程非齊次線性微分方程的解法：比較系數法和拉普拉斯變換法應用分析：質點振動定理8：如果方程（4.2）中所有系數都是實值函數，而是方程的復值解，則的實部、虛部和共軛復值函數也都是方程（4.2）的解。即，方程（4.2）的復值解的實部和虛部也是對應方程（4.2）的解。2、常系數齊線性方程其中是實常數。此時，稱（4.19）為n階常系數齊線性方程。若齊線性方程（4.2）的所有系數都是常數，即原方程可以寫為如下形式：假如下面形式（4.20）是方程（4.19）的解于是有：使得（4.20）是方程（4.19）的解的充要條件為：稱（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根稱為特征根。求解常系數線性微分方程問題轉化為求解一個代數方程問題。設是特征方程（4.21）的n個彼此不相等的根，則相應地方程（4.19）有如下n個解：可以證明這n個解在區(qū)間上線性無關（？），從而組成方程（4.19）的基本解組。如果均為實數，則(4.22)是方程(4.19)的n個線性無關的實值解，而方程(4.19)的通解可表示為:其中為任意常數。3.1特征根是單實根的情形例1

求方程的通解。解：(單實根)特征方程為：特征根：通解：對應的基本解組：3.2特征根有單虛根的情形設有單復根，此時，由定理8，可以求得實值解：例2求方程的通解解：(復單根)特征方程為：特征根通解對應的基本解組3.3特征根是重根的情形設特征方程有k重根，由代數學基本知識有：下面分三步來討論基本解組的構成：先討論

此時基本解組的部分函數為：討論再構成基本解組：把這種情況通過變換化為第一種情況。特征根的重數分別為：則有基本解組：對于特征方程有復重根的情況，結合前面兩種情況就可以討論了。譬如假設是k重特征根，則也是k重特征根，仿3.2一樣處理，將得到方程（4.19）的2k個實值解：例6求方程的通解特征方程：解：復重根的情形對應的基本解組：通解：特征根：是2重根。例6求解方程解：分析可知，這個方程是一個典型的常系數齊線性微分方程，于是，由歐拉待定指數方法。特征方程為：或特征根為：于是可以寫出這個方程的一個基本解組為：于是可以寫出這個方程的通解為：其中是任意常數。歐拉方程的求解方法是通過變換變?yōu)槌Ｏ禂谍R線性方程，因而求解問題很容易解決。引進變換：4、歐拉方程定義：形如的方程被稱為歐拉方程。得到常系數齊線性方程：利用齊線性方程的求解方法可求得其解，然后帶回原變量即可完成歐拉方程的求解。于是對應于歐拉方程（4.30）的齊線性方程有形如的解，從歐拉方程有形如的解。若以代入歐拉方程，得到其對應的特征方程：方程（4.31）的m重實根，對應于方程（4.29）的m個解方程（4.31）的m重復根，對應于方程（4.29）的2m個實值解歐拉方程的解例5求解方程解：分析原方程為歐拉方程，于是有：得到確定的代數方程：方程的通解為其中是任意常數。特征根為二重實根：尋找方程的形式解，4.2.3非齊次線性方程：比較系數法和拉普拉斯變換法——求特解定義：常系數非齊線性方程在解決實際問題時，往往要解決一些比較簡單的微分方程，即帶有特殊形式的微分方程，為此，在這里，我們介紹兩種常用的方法：比較系數法和拉普拉斯變換法，它們的共同特點是不需要通過積分而用代數運算方法即可求得非齊線性方程的特解。類型Ⅰ那么，方程（4.32）有形如的特解。其中k為特征方程的根的重數，而是待定系數，可以通過比較系數來確定。一、比較系數法：求特解①如果不是特征根是特征根特征方程的根對應于（4.37）的特征方程的零根，并且重數相同。于是利用上面的結論求解。②如果作變量變換，（4.32）化為①如果不是特征根,取k=0,有如下形式的特解：則比較t的同次冪的系數，得到常數應滿足的方程組為②如果是k重特征根，即，方程（4.32）將為作變換：，則方程（4.35）化為對于（4.36），已不是它的特征根。因此，由前面的討論，有形如下列形式的特解:這表明是t的m+k次多項式，其中t的冪次的項帶有任意常數。但因只需要知道一個特解就夠了。特別地取這些任意常數均為零，于是得到方程（4.35）（或方程（4.32））的一個特解因而方程（4.35）有特解滿足：③如果作變量變換，（4.32）化為特征方程的根對應于（4.37）的特征方程的零根，并且重數相同。于是利用上面的結論有：在不是特征方程的根的情形，（4.32）有特解：在是特征方程的根的情形，（4.32）有特解：其中k為重數.利用比較系數法求解非齊線性常系數微分方程的一般步驟：1、求對應齊線性常系數微分方程的特征根；2、分析f(t)的形式；3、判定上述f(t)中的指數是否為特征根？4、然后利用比較系數法求得.例7求解方程解：對應齊線性方程的通解為再求非齊線性方程的一個特解。這里并且不是特征根，故可取特解形如將代入原方程，得到：比較系數得原方程的通解為例8求方程通解解:主要目的-求一特解。故根據比較系數法有特解形如，通過代入，化簡得：于是原方程的通解為：這里，且，特征根為：其中正是單特征根:類型Ⅱ設，其中為常數，而是帶實系數的t的多項式，其中一個的次數為m，而另一個的次數不超過m，那么有如下結論：方程（4.32）有形如的特解。這里k為特征根的重數，而P(t)，Q(t)均為待定的實系數的次數不高于m關于t的多項式，可以通過比較系數的方法來確定。的解之和必為方程（4.32）的解。與則根據非齊線性方程的疊加原理有：改寫f(t)的形式如下通過分析,（4.32）有解形如：其中利用非齊線性方程的疊加原理和類型I類型II的求解思想:例9求方程通解解：很容易求得原方程對應齊線性方程的通解為：再求非齊線性方程的一個特解。因為不是特征根，求形如的特解，將它代入原方程并化簡得到通過比較同類項的系數，得到原方程的通解：類型Ⅱ的特殊情形例10用復數法求解例9解：由例9已知對應齊線性方程的通解為：為求非齊線性方程的一個特解,先求方程復數法求解的特解。這屬于類型Ⅰ，而2i不是特征根，故可設特解為：將它代入方程并消去因子得，因而，由定理9，這是原方程的特解，于是原方程的通解為于是：二、拉普拉斯變換法為函數的拉普拉斯變換，稱為原函數，稱為象函數。并記為定義：設函數在區(qū)間上有定義，如果含參變量s

的無窮積分對s

的某一取值范圍是收斂的。則稱定理：設函數在區(qū)間上逐段連續(xù)，且存在數，使得對于一切有則當時，存在。證明：當時，有例如：求函數及的拉普拉斯變換。設給定微分方程及初始條件其中是常數，而f(t)為連續(xù)函數且滿足原函數的條件。拉普拉斯變換法主要是借助于拉普拉斯變換把常系數線性微分方程（組）轉換成復變數的代數方程（組）。通過一些代數運算，一般地，利用拉普拉斯變換表，很容易求出微分方程（組）的解。方法十分簡單，為工程技術人員所普遍采用。當然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函數必須是原函數，否則方法就不再適用了。那么，按原函數微分性質有可以證明，如果函數是方程（4.32）的任意解，則x(t)及其各階導數均是原函數。記于是，對方程（4.32）兩端施行拉普拉斯變換，并利用線性性質得到這就是方程（4.32）的滿足所給定初始條件的解的象函數。即或例11求方程滿足初始條件的解。解：對方程兩端施行拉普拉斯變換，得到方程的解的象函數所滿足的方程：所以，利用初始條件有：即為原方程的解。利用拉普拉斯變換表，可得的原函數分別是。因此，利用拉普拉斯變換的線性性質得的原函數為例12

求解方程解：由于初始條件不在零點，所以先作平移變換：于是有再對新方程施行拉普拉斯變換，得到還原變量代換得原方程的通解：有于是借助于拉普拉斯變換把常系數線性微分方程（組）轉換成復變數S的代數方程（組）。優(yōu)點：通過一些代數運算，一般地再利用拉普拉斯變換表，即可求出微分方程（組）的解。方法簡便，為工程技術工作者所普遍采用。缺點：要求微分方程右端的函數是一個原函數(滿足條件（*）)。拉普拉斯變換法的主要思想注意：拉普拉斯變換存在是有條件的。小結本節(jié)討論了高階常系數微分方程和特殊的變系數微分方程（歐拉方程）的求解問題，得到常系數齊次線性微分方程的待定指數求解方法和非齊次線性微分方程的比較系