第4章-離散傅里葉變換課件

4.1時(shí)域-頻域的周期-離散對(duì)應(yīng)關(guān)系

4.2離散傅立葉級(jí)數(shù)4.3離散傅立葉變換及性質(zhì)返回到課程向?qū)?.4用

DFT

計(jì)算線性卷積和4.1.1連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換

4.1.2連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)

4.1.3非周期序列的傅里葉變換

返回到本章向?qū)?.1

時(shí)域-頻域的周期-離散對(duì)應(yīng)關(guān)系4.1.4周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)

4.1.1連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換

返回到本節(jié)向?qū)Ц道锶~變換

這一變換對(duì)為：——以時(shí)間為自變量的“信號(hào)”與以頻率為自變量的“頻譜”函數(shù)之間的一種變換關(guān)系；設(shè)非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換為：

4.1時(shí)域-頻域的周期-離散對(duì)應(yīng)關(guān)系

4.1時(shí)域-頻域的周期-離散對(duì)應(yīng)關(guān)系

返回到本節(jié)向?qū)н@一變換對(duì)為：

時(shí)域連續(xù)的非周期信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻譜是非周期的連續(xù)譜！4.1.1連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換

4.1.2連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換

返回到本節(jié)向?qū)б彩请x散譜相鄰譜線之間的角頻率間隔；

設(shè)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)（周期為）；其傅里葉系數(shù)為；則有：

其中為的基頻；為整數(shù)；4.1時(shí)域-頻域的周期-離散對(duì)應(yīng)關(guān)系

返回到本節(jié)向?qū)r(shí)域連續(xù)的周期信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻譜是非周期的離散譜；

4.1.2連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換

4.1時(shí)域-頻域的周期-離散對(duì)應(yīng)關(guān)系

41.3非周期序列的傅里葉變換

返回到本節(jié)向?qū)?/p>

設(shè)非周期序列（離散時(shí)間信號(hào)）的傅里葉變換為：有：

時(shí)域離散的非周期信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻譜為周期的連續(xù)頻4.1時(shí)域-頻域的周期-離散對(duì)應(yīng)關(guān)系

4.1.4周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)返回到本節(jié)向?qū)?/p>

觀察前面的三種傅里葉變換；每種變換至少有一個(gè)域是連續(xù)的；——不適合在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算！根據(jù)頻域抽樣定理：若對(duì)非周期序列的周期連續(xù)譜以為間隔進(jìn)行等間隔抽樣；

（即每周期抽取N個(gè)點(diǎn)）同時(shí)時(shí)域以N為周期延拓為周期序列得到周期的離散譜4.1時(shí)域-頻域的周期-離散對(duì)應(yīng)關(guān)系

返回到本節(jié)向?qū)?/p>

這一變換對(duì)可以表示為：時(shí)域離散的周期信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻譜是周期的離散譜！4.1.4周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)4.1時(shí)域-頻域的周期-離散對(duì)應(yīng)關(guān)系

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“信號(hào)”與“頻譜”的對(duì)應(yīng)關(guān)系歸納為：時(shí)域的連續(xù)性造成頻域的非周期性；而時(shí)域的離散性造成頻域的周期性；時(shí)域的非周期性造成頻域的連續(xù)性

而時(shí)域的周期性造成頻域的離散性；時(shí)域和頻域之間存在著連續(xù)-非周期、離散-周期的對(duì)應(yīng)關(guān)系！4.1.4周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)4.1時(shí)域-頻域的周期-離散對(duì)應(yīng)關(guān)系

4.2離散傅立葉級(jí)數(shù)返回到本節(jié)向?qū)?/p>

將周期序列展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)稱為離散傅里葉級(jí)數(shù)；（DFS——DiscreteFourierSeries）；即用正弦和余弦序列或復(fù)指數(shù)序列的線性組合來(lái)表示；（r為任意整數(shù)）；設(shè)是一個(gè)周期為N

的周期序列；其基頻頻率為：k

次諧波頻率為：則構(gòu)成直流分量（常數(shù)序列）、基波分量和各次諧波分量可表示為復(fù)指數(shù)序列：4.2離散傅立葉級(jí)數(shù)返回到本節(jié)向?qū)?/p>

連續(xù)和離散傅里葉級(jí)數(shù)的區(qū)別在于：前者有無(wú)窮多個(gè)獨(dú)立分量；則構(gòu)成直流分量（常數(shù)序列）、基波分量和各次諧波分量可表示為復(fù)指數(shù)序列：由于復(fù)指數(shù)序列是k的周期函數(shù)，則有：后者的各分量中只有N個(gè)是相互獨(dú)立的；即：4.2離散傅立葉級(jí)數(shù)返回到本節(jié)向?qū)?/p>

由此，周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)可寫(xiě)為：乘以系數(shù)1/N是為了后面計(jì)算的方便；第k

次諧波分量的復(fù)振幅稱為的離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)的求解過(guò)程為：將上式兩邊乘以；然后在一個(gè)周期內(nèi)求和，得到：4.2離散傅立葉級(jí)數(shù)返回到本節(jié)向?qū)?/p>

由于復(fù)指數(shù)信號(hào)具有以下性質(zhì)：將l換成k也是一個(gè)以N為周期的周期序列；時(shí)域周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)在頻域（即其系數(shù)）也是一個(gè)同周期的周期序列；4.2離散傅立葉級(jí)數(shù)返回到本節(jié)向?qū)?/p>

周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)為：正變換：反變換：其中稱為旋轉(zhuǎn)因子；顯然，DFS在時(shí)域和頻域都是周期、離散的，一個(gè)周期序列可以用其DFS系數(shù)來(lái)表示它的頻譜分布規(guī)律。4.2離散傅立葉級(jí)數(shù)返回到本節(jié)向?qū)?/p>

例4.2-1已知周期序列如圖所示；求：其離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)；解的周期為N＝10；

4.2離散傅立葉級(jí)數(shù)

解其中一周期內(nèi)的幅度值為：則的幅度譜如圖：返回到本節(jié)向?qū)?.3.1離散傅里葉變換（DFT）

4.3.2DFT與DTFT及z變換的關(guān)系4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)返回到本章向?qū)?.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)4.3.4周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)

第4章離散傅里葉變換4.3.1離散傅里葉變換（DFT）4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

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設(shè)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N；而把看成以

N

為周期的周期延拓；表示為：

將其第一個(gè)周期定義為“主值區(qū)間”；故是的“主值序列”！

看成周期為N的周期序列的一個(gè)周期；4.3.1離散傅里葉變換（DFT）4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

由于的長(zhǎng)度為N；對(duì)于不同r

值，

之間彼此并不重疊；可寫(xiě)為數(shù)學(xué)上就是“n對(duì)

N

取余數(shù)（或模值）”若m為整數(shù)；則即為

n

對(duì)

N

的余數(shù)；不管加上多少倍的

N；其余數(shù)皆為；周期性重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)值是相等的！返回到本節(jié)向?qū)?.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

求：n＝8

和n＝－4兩數(shù)對(duì)

N

的余數(shù)；解返回到本節(jié)向?qū)Ю?.3-1已知周期序列的周期；因此：4.3.1離散傅里葉變換（DFT）4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

返回到本節(jié)向?qū)?.3.1離散傅里葉變換（DFT）同理，頻域的周期序列（周期為N）也可以看成是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列（）以N為周期的周期延拓；

而將看成是的主值序列；

即：的求和只限于在主值區(qū)間進(jìn)行；于是，得到有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換（DFT——DiscreteFourierTransform）定義如下：4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)返回到本節(jié)向?qū)?.3.1離散傅里葉變換（DFT）有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換（DFT）定義：反變換：

正變換：可見(jiàn)，DFT變換對(duì)都是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列；——它們是一一對(duì)應(yīng)的；4.3.2DFT與DTFT及z變換的關(guān)系4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

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設(shè)N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列序列的傅里葉變換為：為周期的ω的連續(xù)函數(shù)；現(xiàn)將其離散化處理：方法：在每一周期內(nèi)均勻抽樣N個(gè)點(diǎn)，以2π/N為抽樣間隔，得到：4.3.2DFT與DTFT及z變換的關(guān)系4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

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根據(jù)頻域抽樣定理：延拓周期恰好是頻域在一周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)

N；

頻域抽樣則時(shí)域出現(xiàn)周期性延拓；和構(gòu)成DFS變換對(duì)；

因此，的DFT系數(shù)可看作是對(duì)其DTFT（連續(xù)頻譜）主值區(qū)間（0~2π）的N點(diǎn)等間隔抽樣；得到時(shí)域的周期序列：4.3.2DFT與DTFT及z變換的關(guān)系4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

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因此，的DFT系數(shù)可看作是對(duì)其DTFT（連續(xù)頻譜）主值區(qū)間（0~2π）的N點(diǎn)等間隔抽樣；也就是對(duì)其z變換在單位圓上的

N

點(diǎn)等間隔抽樣；4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

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1.有限長(zhǎng)序列的圓周運(yùn)算⑴圓周移位（又稱循環(huán)移位）其中：“＋”表示圓周左移；“－”表示圓周右移；m

為正整數(shù)；N

點(diǎn)有限長(zhǎng)序列的

m

點(diǎn)圓周移位定義為：圓周移位序列的獲得方法為：首先將周期延拓為周期序列；然后將左移或右移得到；最后截取其主值序列即得；4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

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1.有限長(zhǎng)序列的圓周運(yùn)算在區(qū)間，當(dāng)某序列值從該區(qū)間的一端移出時(shí)，相同的序列值又從此區(qū)間的另一端移入！圓周移位相當(dāng)于其序列值在圓上的旋轉(zhuǎn)！4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

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1.有限長(zhǎng)序列的圓周運(yùn)算⑵圓周反褶N

點(diǎn)有限長(zhǎng)序列圓周反褶定義為：圓周反褶序列的獲得方法為：首先將周期延拓為周期序列；最后截取其主值序列即得；然后將反褶得到；5點(diǎn)有限長(zhǎng)序列的圓周反褶序列：4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

⑵圓周反褶5點(diǎn)有限長(zhǎng)序列的圓周反褶序列：⑶圓周卷積和N

點(diǎn)有限長(zhǎng)序列的

N

點(diǎn)圓周卷積和定義為：返回到本節(jié)向?qū)N4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

⑶圓周卷積和N表示

N

點(diǎn)圓周卷積和N點(diǎn)圓周卷積和序列

同樣是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列；⑷圓周相關(guān)N

點(diǎn)有限長(zhǎng)序列的

N

點(diǎn)圓周相關(guān)定義為：返回到本節(jié)向?qū)?.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

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2.DFT的基本性質(zhì)⑴線性設(shè)：兩個(gè)有限長(zhǎng)序列；長(zhǎng)度分別為N1和N2；則序列的

N

點(diǎn)DFT為：均為N點(diǎn)DFT

為任意常數(shù)4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

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⑵隱含周期性

N

點(diǎn)DFT的定義區(qū)間是；

若將k的取值域變?yōu)?/p>

；就會(huì)發(fā)現(xiàn)的隱含周期為N；即：（r

為任意整數(shù)）⑶圓周移位DFT的時(shí)域圓周移位性質(zhì)為：表明：時(shí)域序列的圓周移位，在數(shù)字頻域中只引入線性相移，而幅度譜不變。調(diào)制特性4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

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⑶圓周移位表明：時(shí)域序列的調(diào)制，在數(shù)字頻域引起圓周移位！DFT的數(shù)字域圓周移位性質(zhì)為：調(diào)制特性⑷共軛對(duì)稱性

對(duì)N

點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，的共軛以N為周期的周期延拓序列和共軛反對(duì)稱分量為：對(duì)稱分量4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

⑷共軛對(duì)稱性

取和的主值序列，得：返回到本節(jié)向?qū)t有：

圓周共軛對(duì)稱分量圓周共軛反對(duì)稱分量它們同樣都是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列；在此基礎(chǔ)上，若；則DFT的共軛對(duì)稱性質(zhì)為：4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

⑷共軛對(duì)稱性

返回到本節(jié)向?qū)?/p>

則DFT的共軛對(duì)稱性質(zhì)為：4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)4.3離散傅里葉變換（DFT）及其性質(zhì)

⑸圓周卷積和定理

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①時(shí)域圓周卷積和定理N②頻域圓周卷積和定理N⑹圓周相關(guān)⑺帕塞瓦定理DFT形式下的帕塞瓦定理表明，時(shí)域、數(shù)字頻域能量守恒！4.4.1圓周卷積和與線性卷積和的關(guān)系

返回到本章向?qū)?.4

用

DFT

計(jì)算線性卷積和第4章離散傅里葉變換4.4.1圓周卷積和與線性卷積和的關(guān)系返回到本節(jié)向?qū)?/p>

設(shè)：為N1點(diǎn)有限長(zhǎng)序列；為N2點(diǎn)有限長(zhǎng)序列；線性卷積和：點(diǎn)序列非零值區(qū)間為N點(diǎn)圓周卷積和：N4.4.1圓周卷積和與線性卷積和的關(guān)系返回到本節(jié)向?qū)?/p>

N點(diǎn)序列非零值區(qū)間為由于：則有：4.4.1圓周卷積和與線性卷積和的關(guān)系返回到本節(jié)向?qū)?/p>

是線性卷積和序列以N為周期的周期延拓序列的主值序列當(dāng)滿足時(shí)：以N為周期進(jìn)行周期延拓才不會(huì)出現(xiàn)混疊現(xiàn)象此時(shí)的主值序列——即圓周卷積和等于線性卷積和！N點(diǎn)圓周卷積和與線性卷積和相等的條件：從而可以用DFT計(jì)算線性卷積和；N即：4.4.1圓周卷積和與線性卷積和的關(guān)系返回到本節(jié)向?qū)?/p>

這種用DFT計(jì)算線性卷積和的方法稱為線性卷積和的快速算法；計(jì)算步驟為：用DFT計(jì)算線性卷積和框圖

①若和

不足N點(diǎn)；

則用后補(bǔ)零的方法補(bǔ)齊；

②對(duì)補(bǔ)齊后的N點(diǎn)序列和，分別進(jìn)行N點(diǎn)DFT運(yùn)算得到和；

③將和相乘后，再求N點(diǎn)IDFT運(yùn)算，即得序列

4.5.1頻域采樣

返回到本章向?qū)?.5

頻域采樣第4章離散傅里葉變換4.5.2內(nèi)插公式考慮一個(gè)任意的絕對(duì)可和的非周期序列x(n)，它的Z變換為由于絕對(duì)可和，所以其傅里葉變換存在且連續(xù)，故Z變換收斂域包括單位圓。如果我們對(duì)X(z)在單位圓上進(jìn)行N點(diǎn)等距采樣：4.5.1頻域采樣頻率采樣后從X(k)的反變換中所獲得的有限長(zhǎng)序列，即xN(n)=IDFT［X(k)］，能不能代表原序列x(n)？先來(lái)分析X(k)的周期延拓序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)的反變換，令其為。m=n+rN,r為任意整數(shù)其他m

這說(shuō)明由得到的周期序列是原非周期序列x(n)的周期延拓，其時(shí)域周期為頻域采樣點(diǎn)數(shù)N。（1）如果x(n)是有限長(zhǎng)序列，點(diǎn)數(shù)為M，則當(dāng)頻域采樣不夠密，即當(dāng)N<M時(shí)，x(n)以N為周期進(jìn)行延拓，就會(huì)造成混疊。這時(shí)，從就不能不失真地恢復(fù)出原信號(hào)x(n)來(lái)。頻域采樣不失真的條件是頻域采樣點(diǎn)數(shù)N要大于或等于時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)M（時(shí)域序列長(zhǎng)度），即滿足N≥M

（2）如果x(n)不是有限長(zhǎng)序列（即無(wú)限長(zhǎng)序列），則時(shí)域周期延拓后，必然造成混疊現(xiàn)象，因而一定會(huì)產(chǎn)生誤差;當(dāng)n增加時(shí)信號(hào)衰減得越快，或頻域采樣越密（即采樣點(diǎn)數(shù)N越大），則誤差越小，即xN(n)越接近x(n)。既然N個(gè)頻域采樣X(jué)(k)能不失真地代表N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列x(n)，那么這N個(gè)采樣值X(k)也一定能夠完全地表達(dá)整個(gè)X(z)及頻率響