《復(fù)變函數(shù)》課程教學(xué)大綱

復(fù)變函數(shù)Complexvariablefunctions【課程編號(hào)】BJ25117【課程類別】專業(yè)基礎(chǔ)課【學(xué)分?jǐn)?shù)】3分【學(xué)時(shí)數(shù)】60【先修課程】數(shù)學(xué)分析、解析幾何【適用專業(yè)】數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)一、教學(xué)目的、任務(wù)復(fù)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要必修基礎(chǔ)課，又是數(shù)學(xué)分析的后繼課，通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解和掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論和基本方法，籍借該課程的系統(tǒng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性，以鍛煉學(xué)生思考問題和邏輯推理能力，提高應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力。二、課程教學(xué)的基本要求使學(xué)生理解與掌握復(fù)變函數(shù)的基本概念、基本理論和方法，包括復(fù)數(shù)及復(fù)平面、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性、復(fù)函數(shù)的積分理論、級(jí)數(shù)理論、留數(shù)理論及其應(yīng)用、保形映射與解析延拓等。三、教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)6學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)時(shí)）主要內(nèi)容：1.1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算

1.2復(fù)數(shù)的幾何表示

1.3復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)

1.4復(fù)平面與復(fù)球面教學(xué)要求：熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算與幾何表示；理解和掌握復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性關(guān)系；理解復(fù)平面與復(fù)球面之間的球極投影關(guān)系。

其它教學(xué)環(huán)節(jié)（如實(shí)驗(yàn)、習(xí)題課、討論課、其它實(shí)踐活動(dòng)）：無。第二章解析函數(shù)8學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)時(shí)）2.1解析函數(shù)的概念與柯西—黎曼條件

2.2初等解析函數(shù)2.3初等多值函數(shù)教學(xué)要求：理解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和解析函數(shù)的基本概念；掌握函數(shù)解析的充分、必要和充要條件；了解初等解析函數(shù)的概念、運(yùn)算和變換性質(zhì)，掌握常見多值初等函數(shù)其單值解析分支的分析方法。其它教學(xué)環(huán)節(jié)：無第三章復(fù)變函數(shù)的積分10學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)時(shí)）主要內(nèi)容：3.1復(fù)變函數(shù)積分的定義、簡單性質(zhì)與計(jì)算

3.2不定積分、柯西積分定理及其推廣

3.3柯西積分公式及其推論3.4

解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用簡介教學(xué)要求：理解復(fù)變函數(shù)積分的概念及其基本性質(zhì)，了解柯西積分定理及其推廣等定理；掌握復(fù)變函數(shù)積分的一般計(jì)算方法與柯西積分公式；理解和掌握解析函數(shù)的無窮可微性、柯西不等式、劉維爾定理、摩勒拉定理和柯西型積分等，了解解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系以及它們在平面向量場方面的應(yīng)用。其它教學(xué)環(huán)節(jié)：無第四章解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示法8學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)時(shí)）主要內(nèi)容：4.1復(fù)級(jí)數(shù)的基本概念和性質(zhì)、冪級(jí)數(shù)、解析函數(shù)的泰勒展示

4.2解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性和唯一性定理、最大模原理等教學(xué)要求：了解復(fù)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)斂散性（包括一致收斂）的概念及其基本性質(zhì)；掌握冪級(jí)數(shù)的斂散性判別法；知道冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的解析性；了解解析函數(shù)的泰勒定理和泰勒展開式；知道冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況；了解解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性及唯一性定理（包括最大模原理），掌握幾個(gè)主要的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式；并能熟練地利用它們將一些解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。其它教學(xué)環(huán)節(jié)：無第五章解析函數(shù)的羅朗展示與孤立奇點(diǎn)8學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)時(shí)）主要內(nèi)容：5.1解析函數(shù)的羅朗展示與孤立奇點(diǎn)、解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)5.2整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念教學(xué)要求：理解解析函數(shù)的羅朗展開式與孤立奇點(diǎn)的分類與判別方法；了解解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)和整函數(shù)與亞函數(shù)的理念；熟練將一些函數(shù)展開成羅朗級(jí)數(shù)的方法。

其它教學(xué)環(huán)節(jié)：無第六章殘數(shù)理論及其應(yīng)用8學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)時(shí)）主要內(nèi)容：6.1殘數(shù)的定義與殘數(shù)定理、殘數(shù)的求法、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的殘數(shù)6.2用殘數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分、計(jì)算積分路徑上有奇點(diǎn)的積分6.3幅角原理及其應(yīng)用教學(xué)要求：理解殘數(shù)的定義，掌握殘數(shù)定理，能用殘數(shù)定理計(jì)算復(fù)積分和一些實(shí)廣義積分；理解和掌握幅角原理（包括儒歇定理）及其應(yīng)用。

其它教學(xué)環(huán)節(jié)：無第七章保形變換6學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)時(shí)）主要內(nèi)容：7.1解析變換的特性、分式線性變換

7.2某些初等函數(shù)所構(gòu)成的保形變換教學(xué)要求：深刻理解和掌握理解保形變換的概念，掌握分式線性變換的性質(zhì)；掌握冪級(jí)數(shù)與根式函數(shù)，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)所構(gòu)成的保形變換性質(zhì)。其它教學(xué)環(huán)節(jié)：無

第八章解析開拓6學(xué)時(shí)（課堂講授學(xué)時(shí)）主要內(nèi)容：8.1

解析開拓的概念與冪級(jí)數(shù)開拓8.2

透弧解析開拓8.3對(duì)稱原理

教學(xué)要求：理解和掌握解析開拓的概念與冪級(jí)數(shù)開拓，透弧解析開拓和對(duì)稱原理。其它教學(xué)環(huán)節(jié)：無四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及教學(xué)方法教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的解析性、解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示、復(fù)變函數(shù)的積分與解析函數(shù)的保形變換。教學(xué)難點(diǎn)：初等多值函數(shù)、復(fù)函數(shù)的有關(guān)解析性理論、解析函數(shù)的羅朗展示、殘數(shù)定理的應(yīng)用與分式線性變換。五、考核方式及成績評(píng)定方式：閉卷考試；成績評(píng)定方式：平時(shí)30%，期末考試70%六、教材及參考書目1、推薦教材：鐘玉泉編，復(fù)變函數(shù)論，北京：高等教育出版社，2