解密04函數(shù)及其性質

解密04講：函數(shù)及其性質【考點解密】1．函數(shù)函數(shù)兩個集合A，B設A，B是兩個非空數(shù)集對應關系f：A→B如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)函數(shù)記法函數(shù)y＝f(x)，x∈A(1)定義域：x的取值范圍；(2)值域：y的取值范圍.(3)對應關系f：A→B.3．相等函數(shù)：定義域、對應關系都一致.4．函數(shù)的表示法：解析法、圖象法和列表法．5．分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．6．函數(shù)的單調性(1)單調函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調遞增，特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數(shù)當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調遞減，特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調遞增或單調遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調區(qū)間．7．函數(shù)的最值前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M(1)對于?x∈I，都有f(x)≥M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M結論M為最大值M為最小值8．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關于y軸對稱奇函數(shù)一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關于原點對稱9．周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．(3)函數(shù)周期性常用結論對f(x)定義域內任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，則T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，則T＝2a(a>0，c為常數(shù))．10．對稱性對稱性的三個常用結論(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱．(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))對稱．(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數(shù)f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))對稱．【方法技巧】1．求函數(shù)值域的一般方法：①分離常數(shù)法；②配方法；③不等式法；=4\*GB3④單調性法；=5\*GB3⑤換元法；=6\*GB3⑥數(shù)形結合法；=7\*GB3⑦導數(shù)法．2．確定函數(shù)單調性的四種方法(1)定義法：利用定義判斷．(2)導數(shù)法：適用于初等函數(shù)、復合函數(shù)等可以求導的函數(shù)．(3)圖象法：由圖象確定函數(shù)的單調區(qū)間需注意兩點：一是單調區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；二是圖象不連續(xù)的單調區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．(4)性質法：利用函數(shù)單調性的性質，尤其是利用復合函數(shù)“同增異減”的原則時，需先確定簡單函數(shù)的單調性．3．函數(shù)單調性應用問題的常見類型及解題策略(1)比較大?。?2)求最值．(3)解不等式．利用函數(shù)的單調性將“f”符號去掉，轉化為具體的不等式求解，應注意函數(shù)的定義域．(4)利用單調性求參數(shù)．①依據(jù)函數(shù)的圖象或單調性定義，確定函數(shù)的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較．②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也單調．③分段函數(shù)的單調性，除注意各段的單調性外，還要注意銜接點的取值．4．利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題(1)求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉化為求已知解析式的區(qū)間上的函數(shù)值．(2)求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知解析式的區(qū)間上，再利用奇偶性的定義求出．(3)求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關于參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得方程(組)，進而得出參數(shù)的值．(4)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象．(5)求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零可求一些特殊結構的函數(shù)值．【核心題型】題型一：求函數(shù)的定義域1．（2012·山東·高考真題（文））函數(shù)的定義域為（）A．[－2，0)∪(0，2] B．(－1，0)∪(0，2]C．[－2，2] D．(－1，2]【答案】B【詳解】x滿足，即.解得－1<x<0或0<x≤，選B2．（2021·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知函數(shù)定義域求得的定義域，再由在的定義域內求得的范圍即可得答案．【詳解】函數(shù)的定義域為，即，，則的定義域為，由，得．的定義域為．故選C．【點睛】本題主要考查抽象函數(shù)的定義域，屬于中檔題.定義域的三種類型及求法：(1)已知函數(shù)的解析式，則構造使解析式有意義的不等式(組)求解；(2)對實際問題：由實際意義及使解析式有意義構成的不等式(組)求解；(3)若已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域由不等式求出.3．（2011·河北衡水·三模（理））已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】本題考查函數(shù)的定義域及恒成立問題的解法.因為函數(shù)的定義域為R，則恒成立.①當時，函數(shù)是開口向下的拋物線，不符合題意；②當時，函數(shù)恒滿足，符合題意③當時，函數(shù)滿足恒成立的條件是，即，解得.由①②③知實數(shù)k的取值范圍是正確答案為C題型二：求函數(shù)的值域4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，若存在，使得，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)條件求出兩個函數(shù)的值域，結合若存在，使得f（x1）＝g（x2），等價為兩個集合有公共元素，然后根據(jù)集合關系進行求解即可．【詳解】當x≤2時，log2f（x）≤log22，即﹣1≤f（x）≤1，則f（x）的值域為[﹣1，1]，當x≤2時，2a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，則g（x）的值域為[1+a，4+a]，若存在，使得f（x1）＝g（x2），則[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠?，若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝?，則1+a＞1或4+a＜﹣1，得a＞0或a＜﹣5，則當[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠?時，﹣5≤a≤0，即實數(shù)a的取值范圍是[﹣5，0]，故選A．【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)條件求出兩個函數(shù)的值域，結合集合元素關系進行求解是解決本題的關鍵．5．（2022·全國·高三專題練習）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分離常數(shù)法化簡f（x），根據(jù)新定義即可求得函數(shù)y＝[f（x）]的值域．【詳解】，又>0，∴，∴∴當x∈（1，2）時，y＝[f（x）]＝1；當x∈[2，）時，y＝[f（x）]＝2．∴函數(shù)y＝[f（x）]的值域是{1，2}．故選D．【點睛】本題考查了新定義的理解和應用，考查了分離常數(shù)法求一次分式函數(shù)的值域，是中檔題．6．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)的值域是，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【詳解】試題分析：設，由已知條件可知可取到上的所有值，當時滿足題意，當時需滿足，解不等式得或，所以實數(shù)的取值范圍是考點：函數(shù)性質題型三：復合函數(shù)的單調性7．（2022·全國·高三專題練習）下列四個函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別判斷四個選項的奇偶性與單調性即可得出答案.【詳解】對于A，定義域為，不關于原點對稱，所以不具奇偶性，故A錯誤；對于B，因為，，所以為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，因為，，所以不是增函數(shù)，故C錯誤；對于D，定義域為，因為，所以是奇函數(shù)，，令為增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以是增函數(shù).故D正確.故選：D.8．（2020·寧夏·青銅峽市寧朔中學高三階段練習（理））設函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結合函數(shù)的表達式，可知是上的偶函數(shù)，且在上單調遞增，從而不等式等價于，即，求解即可.【詳解】當時，函數(shù)為增函數(shù)，且，根據(jù)復合函數(shù)的單調性，可知在上單調遞增，又函數(shù)在上單調遞增，所以在上單調遞增.函數(shù)的定義域為，，所以是上的偶函數(shù)，且在上單調遞增.因為，所以，則，整理得，解得或.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調性的應用，考查學生的推理能力與計算能力，屬于中檔題.9．（2019·福建省長樂第一中學高一階段練習）函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意得到關于x的不等式組，求解不等式組即可確定函數(shù)的單調遞減區(qū)間.【詳解】函數(shù)的單調遞減區(qū)間滿足：，則：，據(jù)此可得：，故函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.故選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，復合函數(shù)單調區(qū)間的求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.題型四：根據(jù)函數(shù)的單調性與奇偶性解不等式10．（2020·全國·高一課時練習）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間單調遞增.若實數(shù)a滿足,則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，∴，等價為），即．∵函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調遞增，∴）等價為．即，∴，解得,故選項為C．考點：（1）函數(shù)的奇偶性與單調性；（2）對數(shù)不等式.【思路點晴】本題主要考查對數(shù)的基本運算以及函數(shù)奇偶性和單調性的應用，綜合考查函數(shù)性質的綜合應用根據(jù)函數(shù)的奇偶數(shù)和單調性之間的關系，綜合性較強.由偶函數(shù)結合對數(shù)的運算法則得：，即，結合單調性得：將不等式進行等價轉化即可得到結論.11．（2022·全國·高三專題練習）設為定義在R上的奇函數(shù)，當時，(為常數(shù))，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)定義在上的奇函數(shù)的性質求出的值，即可得到當時函數(shù)解析式，再判斷其單調性，最后根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調性將函數(shù)不等式轉化為自變量的不等式，解得即可；【詳解】解：為定義在上的奇函數(shù)，因為當時，，所以，故，在，上單調遞增，根據(jù)奇函數(shù)的性質可知在上單調遞增，因為，所以，由不等式可得，，解可得，，故解集為故選：．12．（2022·湖南師大附中高三階段練習）已知函數(shù)滿足，且對任意的，都有，則滿足不等式的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】可化為，構造函數(shù)，再結合奇偶性可知該函數(shù)在R上單調遞增，又將所求不等式變形，即可由單調性解該抽象不等式.【詳解】根據(jù)題意可知，可轉化為，所以在[0，+∞)上是增函數(shù)，又，所以為奇函數(shù)，所以在R上為增函數(shù)，因為，，所以，所以，解得，即x的取值范圍是.故選：A.【關鍵點點睛】本題的關鍵是將不等式化為，從而構造函數(shù)，再根據(jù)奇偶性和單調性解抽象不等式.題型五：奇偶函數(shù)對稱性的應用13．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，當時，，設函數(shù)，則的零點的個數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由題設知的零點可轉化為與的交點問題，而且周期為2，關于y軸對稱的函數(shù)；且關于y軸對稱，當時有，畫出的草圖即可確定交點個數(shù)，利用對稱性確定總交點數(shù).【詳解】由題意知：關于對稱，而的零點即為的根，又∵在上的偶函數(shù)，知：且周期為2，關于y軸對稱的函數(shù)，而時且關于y軸對稱∴與在的圖象如下，∴共有4個交點，由偶函數(shù)的對稱性知：在上也有4個交點，所以共8個交點.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：將函數(shù)零點轉化為兩個函數(shù)的交點問題，應用數(shù)形結合的方法，由函數(shù)的周期性、奇偶對稱性判斷交點的個數(shù).14．（2022·全國·高一課時練習）設為定義在R上的函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù).對于下列四個結論：①；②；③函數(shù)的圖象關于原點對稱；④函數(shù)的圖象關于點對稱；其中，正確結論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】令，①：根據(jù)求解出的值并判斷；②：根據(jù)為奇函數(shù)可知，化簡此式并進行判斷；根據(jù)與的圖象關系確定出關于點對稱的情況，由此判斷出③④是否正確.【詳解】令，①因為為上的奇函數(shù)，所以，所以，故正確；②因為為上的奇函數(shù)，所以，所以，即，故正確；因為的圖象由的圖象向左平移一個單位得到的，又的圖象關于原點對稱，所以的圖象關于點對稱，故③錯誤④正確，所以正確的有：①②④，故選：C.【點睛】結論點睛：通過奇偶性判斷函數(shù)對稱性的常見情況：（1）若為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關于直線對稱；（2）若為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關于點成中心對稱.15．（2022·江蘇·揚州中學高三開學考試）已知是定義在上的奇函數(shù)且滿足為偶函數(shù)，當時，（且）.若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可得的對稱中心，對稱軸，可得為的一個周期，由、以及列關于的方程組，進而可得時，的解析式，再利用周期性即可求解.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以的圖象關于點中心對稱，因為為偶函數(shù)，所以的圖象關于直線對稱.根據(jù)條件可知，則，即為的一個周期，則，又因為，，所以，解得或（舍），所以當時，，所以，故選：B.題型六：函數(shù)周期性的應用16．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，滿足，當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】函數(shù)的零點個數(shù)轉化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)，轉化條件為函數(shù)周期，當時，，根據(jù)周期性可畫出它的圖象，從圖象上觀察交點個數(shù)即可.【詳解】∵，則函數(shù)是周期的周期函數(shù)．又∵函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且時，，∴當時，，令，則函數(shù)的零點個數(shù)即為函數(shù)和的圖象交點個數(shù)，分別作出函數(shù)和的圖象，如下圖，顯然與在上有1個交點，在上有一個交點，當時，，而，所以或時，與無交點．綜上，函數(shù)和的圖象交點個數(shù)為2，即函數(shù)的零點個數(shù)是2．故選：A17．（2019·全國·高三專題練習（文））定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的實數(shù)都有，且，．則的值為（）A．2017 B．1010 C．1008 D．2【答案】B【分析】由偶函數(shù)可得，結合可得函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，于是，由周期性可得所求的值．【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，因為，所以，∴是周期為2的周期函數(shù)，∴，又，∴于是，∴．故選：B．18．（2009·山東·高考真題（理））已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù),若方程在區(qū)間上有四個不同的根，則【答案】【分析】說明函數(shù)是周期為8的函數(shù)，求出其對稱軸，畫出函數(shù)的大致圖像，根據(jù)圖像判斷即可.【詳解】解：定義在R上的奇函數(shù)，所以，，又，所以，8是函數(shù)的一個周期，所以，所以是函數(shù)的一條對稱軸，函數(shù)的對稱軸是，根據(jù)以上性質畫出函數(shù)的大致圖像:有圖像知，，所以，故答案為：【點睛】把函數(shù)的奇偶性、單調性、周期性與方程的根的個數(shù)結合起來考查，中檔題.題型七：由函數(shù)對稱性求函數(shù)值或參數(shù)19．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二次函數(shù)的對稱性求出，即可求出.【詳解】因為函數(shù)滿足，所以對稱軸為，即.所以.故選：D20．（2022·全國·高一課時練習）設定義在上的奇函數(shù)，滿足對任意的都有，且當時，，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)的奇偶性和對稱性可分別求得和的值，相加即可求得結果.【詳解】由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，滿足對任意的都有，則，，因此，.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性與對稱性求函數(shù)值，考查計算能力，屬于基礎題.21．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象關于原點對稱，且滿足，且當時，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由和奇函數(shù)推出周期，根據(jù)周期和奇函數(shù)推出，根據(jù)解析式求出，由解得結果即可.【詳解】因為函數(shù)的圖象關于原點對稱，所以為奇函數(shù)，因為，故函數(shù)的周期為4，則；而，所以由可得；而，解得.故選：C.【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，考查了函數(shù)的周期性，屬于基礎題.題型八：不等式恒（能）成立問題22．（2021·浙江·模擬預測）已知函數(shù)，則是恒成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分不必要條件【答案】B【分析】利用導數(shù)求出的最小值，然后可判斷出答案.【詳解】因為，其定義域為所以所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減因為，所以所以由恒成立可得，所以是恒成立的必要不充分條件故選：B23．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若對于任意的實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，易知單調遞增且關于對稱，再將不等式轉化為結合單調性求參數(shù)范圍.【詳解】由題設，，圖象如下：所以，又是R上的增函數(shù)，所以對恒成立，所以，則，即．故選：A．24．（2022·廣西·桂電中學高三階段練習）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，，都有，．若對，恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由抽象函數(shù)單調性和對稱性的定義可得在上單調遞增，在上單調遞減且，由此可將恒成立的不等式化為或，分離變量后，根據(jù)函數(shù)最值可得的范圍.【詳解】，，都有，在上單調遞增；，圖象關于對稱，在上單調遞減；，；由知：或，或，或，，或，即的取值范圍為.故選：D.25．（2023·全國·高三專題練習）若，使成立，則實數(shù)的取值范圍是______________．【答案】【分析】利用不等式的基本性質分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調性求相應最值即可得到結論.【詳解】由可得，，因為，所以，根據(jù)題意，即可，設，易知在單調遞減，在單調遞增，所以，所以，故答案為：26．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則，若對于任意實數(shù)，總存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是___________【答案】

【分析】（1）求出導數(shù)即可判斷出的單調性，進而求出最值；（2）討論的范圍求出的最大值，即可求出的范圍.【詳解】（1），當，，單調遞減；當，，單調遞增；，又，，故的值域是；（2），當，即時，恒成立，則，當，即時，恒成立，則，綜上，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：；【點睛】關鍵點睛：本題考查函數(shù)值域的求解，解題的關鍵是利用導數(shù)求出單調性，考查了不等式的能成立問題，解題的關鍵是討論的范圍得出最大值.27．（2020·全國·高二課時練習（文））已知，，若對，，，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【分析】根據(jù)，，，由求解.【詳解】因為對，，，所以只需即可，因為，，所以，，由，解得故答案為：.【點睛】本題主要考查不等式恒能成立問題以及函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題.【高考必刷】一、選擇題1．（2007·江西·高考真題（文））函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先，考查對數(shù)的定義域問題，也就是的真數(shù)一定要大于零，其次，分母不能是零．【詳解】解：由，得，又因為，即，得故，的取值范圍是，且．定義域就是故選：B．2．（2013·山東·高考真題（文））函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意得，所以故選A.3．（2020·浙江溫州·高一競賽）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先根據(jù)偶次根式的條件與對數(shù)函數(shù)的值域分別求得集合，再求并集，得到結果.【詳解】，，所以，故選：D．【點睛】該題考查函數(shù)的定義域，對數(shù)函數(shù)的值域以及集合的并集，考查基本分析求解能力，屬于基礎題目.4．（2022·全國·高一單元測試）已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得函數(shù)的定義域，再運用復合函數(shù)的定義域求解方法可得選項.【詳解】因為，所以解得，所以函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)需滿足且，解得且，故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)的定義域，以及復合函數(shù)的定義域的求解方法，屬于基礎題.5．（2007·湖北·高考真題（理））設，則的定義域為（）．A．（－4,0)∪（0,4)B．（－4，－1)∪（1,4)C．（－2，－1)∪（1,2)D．（－4，－2)∪（2,4)【答案】B【詳解】試題分析：要使函數(shù)有意義，則解得，有意義，須確保兩個式子都要有意義，則，故選.考點：1.函數(shù)的定義域；2.簡單不等式的解法.6．（2023·全國·高三專題練習）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的美譽，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：，.已知，則函數(shù)的值域為（

）A． B．， C．，， D．，0，【答案】B【分析】利用常數(shù)分離法將原函數(shù)解析式化為，然后分析函數(shù)的值域，再根據(jù)高斯函數(shù)的含義確定的值域.【詳解】，，，，，或0，的值域為，.故選：B.7．（2008·重慶·高考真題（理））已知函數(shù)＋的最大值為M，最小值為m，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題設可得，，即，也即，所以，則，應選C.點睛：本題的求解過程體現(xiàn)了轉化與化歸的數(shù)學思想的巧妙運用.解答時，先運用兩邊平方這一變形手段，將問題轉化為求二次函數(shù)的最大值和最小值的問題，最后再解不等式，求得，從而使得問題獲解.8．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出在上的值域，可知要想的整體值域為，在上的最大值為，最小值大于等于，由此求出臨界點，得到的取值范圍.【詳解】當時，又對稱軸為，

當時，

值域為且時，當時，，令，解得在上單調遞增，在上單調遞減又

當時，

本題正確選項：【點睛】本題考查通過分段函數(shù)、利用函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍問題，解題關鍵是確定最值的范圍和臨界點.9．（2022·新疆·烏市八中高二期末（文））設，，若對于任意，總存在，使得成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對函數(shù)分和，運用二次函數(shù)的值域求法，可得的值域，運用一次函數(shù)的單調性求出函數(shù)的值域，由題意可得的值域包含在的值域內，可得的不等式組，解不等式可得的取值范圍．【詳解】∵，當時，，當時，，由，即，所以，∴，故，又因為，且，．由遞增，可得，對于任意，總存在，使得成立，可得，可得∴．故選：C．【點睛】本題主要考查函數(shù)恒成立問題以及函數(shù)值域的求法，注意運用轉化思想，是對知識點的綜合考查，屬于中檔題．10．（2018·全國·高三課時練習（文））已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（

）A．在區(qū)間上單調遞增 B．在區(qū)間上單調遞減C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點對稱【答案】D【解析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復合函數(shù)的單調性判斷單調區(qū)間，根據(jù)判斷函數(shù)對稱軸.【詳解】由可得：，解得，，令，開口向下，對稱軸為，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可得在(一2,1)上單調遞增，在(1,4)上單調遞減，因為，所以函數(shù)的圖象關于x=1對稱，因此A,B,C正確，D錯誤，故選：D【點睛】關鍵點點睛：本題考查了復合函數(shù)的單調性，“同增異減”，利用判定函數(shù)的對稱軸，注意復合函數(shù)的定義域是研究單調區(qū)間的前提.11．（2021·全國·高一專題練習）設是上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)，又，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析出函數(shù)在、上的單調性，以及，化簡得出，結合圖象可得出關于實數(shù)的不等式組，由此得出原不等式的解集.【詳解】因為是上的奇函數(shù)，則，由于函數(shù)在上是減函數(shù)，則該函數(shù)在上也為減函數(shù)，，則，作出函數(shù)的大致圖象如下圖所示：由，可得，由，可得或，此時；由，可得或，解得.因此，不等式的解集是.故選：B.【點睛】方法點睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調性求解抽象函數(shù)不等式，要設法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：（1）把不等式轉化為；（2）判斷函數(shù)的單調性，再根據(jù)函數(shù)的單調性把不等式的函數(shù)符號“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.12．（2019·河南·淇濱高中高一期中）已知函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調遞減，在上單調遞增．∵，∴，即或，解得或．∴實數(shù)的取值范圍為．選D．13．（2021·全國·高一課時練習）在上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且，若在區(qū)間上是減函數(shù)，則（）A．在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)B．在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D．在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)【答案】B【詳解】解：因為函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，而偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反，所以f（x）在區(qū)間[-2，-1]上是增函數(shù)．又因為f（x）=f（2-x），且f（x）=f（-x），故有f（-x）=f（2-x），即函數(shù)周期為2．所以區(qū)間[3，4]上的單調性和區(qū)間[1，2]上單調性相同，即在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)．故選B14．（2021·全國·高一課時練習）定義在上的奇函數(shù)滿足：當時，，則在上方程的實根個數(shù)為（

）A．1 B．3 C．2 D．2021【答案】B【分析】當時，作出函數(shù)，的示意圖，由圖象交點個數(shù)得到方程根的個數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)圖象的對稱性以及，即可求出方程所有根的個數(shù).【詳解】①當時，令，即，在同一坐標系中作出函數(shù)，的示意圖，如下圖：函數(shù)為單調增函數(shù)，為單調減函數(shù)，可知兩個圖象有且只有一個交點P，橫坐標記為.即時方程有且只有一個實根，②因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以當時，方程也有一個實根，③又∵是R上的奇函數(shù)，，∴即0也是方程的根，綜上所述，方程有3個實根.故選：B.15．（2021·廣西·一模（理））已知函數(shù)的定義域為，且是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，在上單調遞增，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過周期性奇偶性找到周期性，再由單調性確定函數(shù)值大小.【詳解】是偶函數(shù),得，即，是奇函數(shù)，得，即，，得由是奇函數(shù)，得，因為在上單調遞增，所以，所以，故選：B【點睛】是函數(shù)的對稱軸，是函數(shù)的對稱中心.16．（2018·全國·高考真題（文））已知是定義域為的奇函數(shù),滿足.若，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應函數(shù)值求結果.詳解：因為是定義域為的奇函數(shù)，且，所以,因此，因為，所以，，從而，選C.點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解．17．（2021·貴州·安順市第三高級中學高三階段練習（文））若定義在上的函數(shù)滿足且時，，則方程的根的個數(shù)是()A．B．C．D．【答案】A【分析】由題意作出函數(shù)與的圖象，兩圖象的交點個數(shù)即為方程的根的個數(shù).【詳解】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù).又時，，所以函數(shù)的圖象如圖所示.再作出的圖象，易得兩圖象有個交點，所以方程有個零點．故應選A．【點睛】本題考查函數(shù)與方程.函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標之間是可以等價轉化的.18．（2018·新疆烏魯木齊·一模（文））奇函數(shù)滿足，當時，，則(

)A．-2 B． C． D．2【答案】A【分析】先由題意得到函數(shù)的周期為4，確定出的范圍，然后根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性即可求解．【詳解】∵，∴，∴函數(shù)的周期為4.又，∴．故選：A．19．（2022·四川·成都金蘋果錦城第一中學高三期中（文））已知定義域是R的函數(shù)滿足：，，為偶函數(shù)，，則（

）A．1 B．-1 C．2 D．-3【答案】B【分析】根據(jù)對稱性可得函數(shù)具有周期性，根據(jù)周期可將.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以的圖象關于直線對稱，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期為4，所以．故選:B．20．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)滿足對任意恒成立，又函數(shù)的圖象關于點對稱，且則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用賦值法求出，代入等式賦值得到，即對稱軸為，再根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律判斷函數(shù)為奇函數(shù)，進一步求得函數(shù)周期，進而得到，則可求出結果.【詳解】因為對任意，都有令得解得則即所以函數(shù)的圖象關于直線對稱.又函數(shù)的圖象關于點對稱，則函數(shù)的圖象關于點對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以所以所以8是函數(shù)的一個周期，所以故選：D.21．（2020·全國·高考真題（文））已知函數(shù)f(x)=sinx+，則（）A．f(x)的最小值為2 B．f(x)的圖象關于y軸對稱C．f(x)的圖象關于直線對稱 D．f(x)的圖象關于直線對稱【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式使用條件可判斷A;根據(jù)奇偶性可判斷B;根據(jù)對稱性判斷C,D.【詳解】可以為負，所以A錯；關于原點對稱；故B錯；關于直線對稱，故C錯，D對故選：D【點睛】本題考查函數(shù)定義域與最值、奇偶性、對稱性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.22．（2022·全國·高一課時練習）對，不等式恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】對討論，結合二次函數(shù)的圖象與性質，解不等式即可得到的取值范圍.【詳解】不等式對一切恒成立，當，即時，恒成立，滿足題意；當時，要使不等式恒成立，需，即有，解得.綜上可得，的取值范圍為.故選：A.23．（2023·全國·高三專題練習）不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可得在區(qū)間上恒成立，然后求函數(shù)的最大值即得.【詳解】由題可得在區(qū)間上恒成立，令，則，當時，，當時，，所以的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；所以，所以.故選：D.24．（2018·新疆烏魯木齊·一模（文））已知，，若，，使得，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件求出函數(shù)的最小值，的最小值即可列式求解.【詳解】函數(shù)在上單調遞增，則有，又在上單調遞減，則有，因為，，使得，于是得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：A25．（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù)，其中，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由原不等式可得，分兩種情況討論，求出不等式的解，根據(jù)解集在唯一整數(shù)即可求解.【詳解】由可得，化簡得，當時，，故當時，恒成立，故不存在唯一整數(shù)，使得成立，當時，令，解得且，所以的解為，若存在唯一整數(shù)，則，解得，故選：C【點睛】關鍵點點睛：首先解含參的不等式，分類討論求解，根據(jù)解集中存在唯一整數(shù)解，分析不等式端點滿足的條件即可求解，屬于中檔題.26．（2021·全國·高一課時練習）當時，若關于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本題首先可根據(jù)題意得出當時不等式有解，然后令，求出當時的取值范圍，即可得出結果.【詳解】不等式有解即不等式有解，令，當時，，因為當時不等式有解，所以，實數(shù)的取值范圍是，故選：A.【點睛】方法點睛：本題考查根據(jù)不等式有解求參數(shù)，可通過構造函數(shù)并通過求函數(shù)的值域的方式求解，考查二次函數(shù)的值域的求法，考查推理能力，是中檔題.27．（2022·全國·高三專題練習）若存在正數(shù)使成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，，將問題轉化為使，結合函數(shù)圖象，即可確定的取值范圍.【詳解】由題設，知：使成立，令，，∴時有，而，∴僅需時，在，使得成立.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：令，，將問題轉化為兩個函數(shù)在第一象限內存在，應用數(shù)形結合的思想求參數(shù)范圍.二、多選題28．（2022·全國·高三專題練習）定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，給出下列真命題的有（

）A．是周期函數(shù)；B．的圖象關于直線對稱；C．在上是減函數(shù)；D．.【答案】ACD【分析】用賦值法求得，然后得函數(shù)為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)及可得函數(shù)的周期，結合周期性，可得函數(shù)的對稱性（對稱軸與對稱中心），可得單調性，從而判斷各選項．【詳解】令得，所以，所以，所以是奇函數(shù)，，所以是周期函數(shù)，4是它的一個周期，A正確；，函數(shù)圖象關于點對稱，B錯；，函數(shù)圖象關于直線對稱，又在上遞增，因此在上遞增，所以在上是減函數(shù)，C正確；，D正確．故選：ACD．29．（2022·全國·高一課時練習）若定義在上的奇函數(shù)滿足，在區(qū)間上，有，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關于點成中心對稱B．函數(shù)的圖象關于直線成軸對稱C．在區(qū)間上，為減函數(shù)D．【答案】AC【分析】根據(jù)對稱性，周期性的定義可得關于成軸對稱，關于成中心對稱，以為周期的周期函數(shù)，再由題意可得函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，即可判斷；【詳解】解：因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，又，即關于對稱，故B不正確；所以，即，所以，所以是以為周期的周期函數(shù)，因為在區(qū)間上，有，所以在上單調遞增，因為，即，所以的圖象關于點成中心對稱，故A正確；因為關于成軸對稱，關于成中心對稱，且在上單調遞增，所以在上單調遞減，故C正確；因為，故D錯誤；故選：AC30．（2022·江蘇·高郵市第一中學高三階段練習）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當，則下列說法中正確的有（

）A．函數(shù)關于直線對稱B．4是函數(shù)的周期C．D．方程恰有4不同的根【答案】ABD【分析】根據(jù)奇偶性的定義，結合函數(shù)的對稱性，即可判斷A的正誤；根據(jù)題意，結合函數(shù)的周期性，可判斷B的正誤；根據(jù)函數(shù)的周期性，結合解析式，即可判斷C的正誤；分別作出和的圖象，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對于A：因為是偶函數(shù)，所以，即所以關于對稱，故A正確.對于B：因為，所以，所以，即周期，故B正確對于C：所以，故C錯誤；對于D：因為，且關于直線對稱，根據(jù)對稱性可以作出上的圖象，又，根據(jù)對稱性，可作出上的圖象，又的周期，作出圖象與圖象，如下圖所示：所以與有4個交點，故D正確.故選：ABD31．（2022·全國·高三專題練習）已知三次函數(shù)，若函數(shù)的圖象關于點（1，0）對稱，且，則（

）A． B．有3個零點C．的對稱中心是 D．【答案】ABD【分析】由題設且，可得，代入解析式，結合已知條件即可判斷選項的正誤.【詳解】由題設，，且，所以，整理得，故，可得，故，又，即，A正確；有3個零點，B正確；由，則，所以關于對稱，C錯誤；，D正確.故選：ABD三、填空題32．（2007·重慶·高考真題（理））若函數(shù)f(x)＝的定義域為R，則a的取值范圍為________．【答案】[－1,0]【分析】函數(shù)的定義域為可以轉化為恒成立，即恒成立，根據(jù)判別式即可求出結果【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以對恒成立，即恒成立因此有，解得則的取值范圍為故答案為【點睛】本題主要考查了求復合函數(shù)的定義域問題，結合題意中定義域為，將其轉換為一元二次函數(shù)問題，計算出判別式得到結果．33．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，得出ax＞0恒成立，利用構造函數(shù)法結合圖象求出不等式恒成立時a的取值范圍．【詳解】解：函數(shù)f（x）＝lg（ax）的定義域為R，∴ax＞0恒成立，∴ax恒成立，設y，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦點在y軸上的雙曲線的一支，且漸近線方程為y＝±x；令y＝﹣ax，x∈R；它表示過原點的直線；由題意知，直線y＝﹣ax的圖象應在y的下方，畫出圖形如圖所示；∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，解得﹣1≤a≤1；∴實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，1]．故答案為[﹣1，1]．【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，考查數(shù)形結合思想與轉化思想，是中檔題．34．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的值域為________．【答案】【分析】由題意可求出，然后根據(jù)換元法可求出函數(shù)的值域．【詳解】由，解得，所以．函數(shù)，，則，由二次函數(shù)的知識得當，即時，得；當，即時時，得，所以．所以函數(shù)的值域是．故答案為．【點睛】解答與指數(shù)函數(shù)有關的二次型問題時，常用的方法是換元法，即通過代換轉化為二次函數(shù)的問題求解．解答二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題時，要結合拋物線的開口方向和對稱軸與給定區(qū)間的關系進行求解，利用數(shù)形結合可使得解題變得直觀．35．（2022·廣東·模擬預測）設定義域為R的函數(shù)，若關于x的方程有8個不同的實根，到實數(shù)b的取值范圍是___________.【答案】【分析】由解析式畫出函數(shù)圖象，若且、為的兩根，結合圖像可知：、，再應用判別式、根與系數(shù)關系及對勾函數(shù)的值域求b的取值范圍.【詳解】由題設，的圖象如下圖示：令，則化為，∴要使原方程有8個不同實根，則有2個不同的實根且兩根、，∴，可得，又在上遞減，在上遞增，且，，即，綜上，.故答案為：.36．（2022·黑龍江·大慶中學高二期中）設，（），若對于任意，總存在，使得成立，則的取值范圍是______．【答案】【分析】由，由，和當時，轉化為，利用二次函數(shù)求得其值域；利用三角函數(shù)的性質求得的值域；根據(jù)對于任意，總存在，使得成立，由的值域是的值域子集求解.【詳解】，當時，；當時，，所以在的值域為；（），當時，，有，可得的值域為，對于任意，總存在，使得成立，可得，則，解得．故答案為：．【點睛】方法點睛：雙變量存在與恒成立問題：若，成立，則；若，成立，則；若，成立，則；若，成立，則；若，成立，則的值域是的子集；37．（2020·甘肅·民勤縣第一中學高二期末（文））函數(shù)（）的值域是__________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調性，判定在時的單調性，從而求出函數(shù)的值域．【詳解】∵對數(shù)函數(shù)在上為單調增函數(shù)∴在上為單調減函數(shù)∵時，∴∴函數(shù)（）的值域是故答案為.【點睛】本題考查了求函數(shù)的值域問題，解題時應根據(jù)基本初等函數(shù)的單調性，判定所求函數(shù)的單調性，從而求出值域來，是基礎題．38．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)t的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)值域，結合二次函數(shù)的單調性，對參數(shù)分類討論，即可求得參數(shù)范圍.【詳解】令，當時，，因為在上單調遞增，因此值域為為的子集，所以；當時，，為的子集，所以；當時，，當且僅當時取等號，因為為的子集，所以；綜上，.故答案為：.【點睛】本題考查由函數(shù)值域求參數(shù)范圍，涉及均值不等式的應用，函數(shù)單調性的判斷，屬綜合中檔題.39．（2020·上?！じ咭徽n時練習）函數(shù)的值域為___________．【答案】【分析】由題得，設，再求函數(shù)的值域得解.【詳解】由題得函數(shù)