量子力學(xué)講授綱要4綜合復(fù)習(xí)課件

綜合復(fù)習(xí)原理：量子態(tài)、物理量、時(shí)間演化（第一、二、八章）

方法：近似方法、二次量子化方法、散射理論（第四、五、六章）

專題:時(shí)空對(duì)稱、角動(dòng)量（第三、七章）

相對(duì)論量子力學(xué)

（第九章）第一章希爾伯特空間要點(diǎn):態(tài)矢、算符、幺正變換○希爾伯特空間為量子力學(xué)的數(shù)學(xué)表述提供了方法○態(tài)矢量--希爾伯特空間中的矢量函數(shù)○力學(xué)量算符--希爾伯特空間中的算符○描述物理系統(tǒng)中可能狀態(tài)的所有態(tài)矢量構(gòu)成完備集

整個(gè)量子力學(xué)就是建立在這一數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上的第一部分原理：量子態(tài)、物理量、時(shí)間演化從量子力學(xué)的數(shù)學(xué)表述看，希爾伯特空間具有以下重要性質(zhì)：1）無(wú)限維的復(fù)矢量空間；2）存在完備的基矢組；3）可以定義標(biāo)量積(內(nèi)積)的空間。

1．1希爾伯特（H）空間

三種運(yùn)算：加法、數(shù)乘、內(nèi)積，且存在完備集

1．2算符線性算符

反線性算符

厄密算符

(1)本征值是實(shí)數(shù)。(2)對(duì)應(yīng)于不同本征值的本征矢量相互正交。幺正算符

線性厄密算符，非幺正算符，沒有逆算符等冪性

完備性關(guān)系（條件）在計(jì)算中非常有用

投影算符算符本征矢和本征值①厄密算符的本征值為實(shí)數(shù)。②幺正算符本征值的絕對(duì)值為1。③幺正的相似變換不改變算符的本征值。完備算符集完全確定本征矢所需要的一組最少數(shù)目的算符算符函數(shù)1．3矩陣表示算符的矩陣表示矢量的矩陣表示

本征值問題

有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零

在自身表象中對(duì)角元為本征值，非對(duì)角元為零。1．4幺正變換A表象基矢

B表象基矢

A表象到B表象的變換矩陣表象的變換完全通過幺正算符U完成

幺正變換聯(lián)系起來(lái)的矢量和算符是完全等價(jià)的：

幺正變換不改變算符的本征值、平均值、矩陣元、厄密性、幺正性、代數(shù)關(guān)系以及兩矢量?jī)?nèi)積。第二章基本原理要點(diǎn):疊加原理量子條件三種繪景密度算符

2．1態(tài)疊加原理基本假設(shè)之一(公理一)：物理體系的微觀狀態(tài)由希爾伯特空間中的矢量表征，稱為態(tài)矢量，記為。力學(xué)量與希爾伯特空間中的一個(gè)具有完備本征矢量集的厄密算符相對(duì)應(yīng)。對(duì)應(yīng)于態(tài)的力學(xué)量A的預(yù)期結(jié)果是。2．2量子條件基本假設(shè)之二（公理二）：設(shè)為坐標(biāo)算符，為動(dòng)量算符，為自由度，這些算符滿足如下的對(duì)易關(guān)系式：

以上的對(duì)易關(guān)系就是正則量子化條件。海森堡測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系

幾種常見的算符：動(dòng)量算符、角動(dòng)量算符與自旋算符（注意：討論的出發(fā)點(diǎn)是對(duì)易關(guān)系）2．3運(yùn)動(dòng)方程及其繪景給定一種態(tài)矢和算符與時(shí)間相關(guān)的方式，就給出一種繪景。

1、薛定諤S-繪景基本假設(shè)之三（公理三）：微觀體系的狀態(tài)隨時(shí)間演化的規(guī)律服從薛定諤方程薛定諤繪景是把體系物理性質(zhì)隨時(shí)間變化的原因歸結(jié)為態(tài)矢量隨時(shí)間的變化，而力學(xué)量算符則與時(shí)間無(wú)關(guān)，滿足薛定諤方程。時(shí)間演化算符

H不顯含時(shí)間tH顯含時(shí)間t時(shí)間演化算符的性質(zhì)：平均值隨時(shí)間的變化A為守恒量：2、海森堡H--繪景海森堡繪景中態(tài)矢量不隨時(shí)間改變。

力學(xué)量算符隨時(shí)間而變化：海森堡運(yùn)動(dòng)方程H不顯含時(shí)間時(shí)，兩種繪景中的哈密頓量相等。

3、相互作用I—繪景態(tài)矢量隨時(shí)間的變化規(guī)律力學(xué)量算符隨時(shí)間的變化規(guī)律

態(tài)矢量和算符均隨時(shí)間變化：態(tài)矢量滿足的運(yùn)動(dòng)方程與薛定諤繪景中的薛定諤方程形式相同，只是用代替H，而算符滿足的方程與海森堡繪景中的海森堡方程形式相同，只是用取代H，兼有薛定諤和海森堡兩種繪景的優(yōu)點(diǎn)，所以實(shí)際計(jì)算中往往很方便。

戴遜(Dyson)微擾理論可以用迭代法逐次求解：

由于被積函數(shù)依賴于時(shí)間次序和積分上限的不同，上式計(jì)算極為困難，利用Dyson的編時(shí)方法就可以簡(jiǎn)化上式的計(jì)算：2．4混合系綜與密度算符混合系綜

純系綜——所有的量子態(tài)是處于同一量子態(tài)；混合系綜——純系綜按特定比例混合的集合，它由

密度算符描述。的。

密度算符

劉維方程-密度算符滿足的方程

第八章路徑積分要點(diǎn):基本思想傳播函數(shù)和矩陣元的路徑積分表示

路徑積分的基本思想：在量子力學(xué)中用波函數(shù)描述粒子的狀態(tài)，粒子沒有確定的軌道，也可以這么說(shuō)，粒子的軌道有無(wú)限多，每一條軌道都有一定的幾率存在。8．1傳播函數(shù)的路徑積分表示傳播函數(shù)

H不顯含時(shí)間

位形空間的路徑積分單粒子在保守力場(chǎng)中的一維運(yùn)動(dòng)，設(shè)

泛函積分

為作用量

相空間的路徑積分

8．2路徑積分量子化

費(fèi)曼把傳播函數(shù)的路徑積分作為量子力學(xué)的一個(gè)基本假定，以代替正則量子化(量子條件與正則運(yùn)動(dòng)方程)。在這—假定的基礎(chǔ)上建立量子力學(xué)的方案稱為路徑積分量子化。在推導(dǎo)中，沒有用到量子化條件，量子化是通過在相位中引入來(lái)實(shí)現(xiàn)的，說(shuō)明路徑積分量子化與正則量子化是等價(jià)的。

8．3矩陣元的路徑積分表示矩陣元的路徑積分表示

泛函積分表示(生成泛函)

算符的編時(shí)乘積在基態(tài)中的期望值

生成泛函

第四章近似方法要點(diǎn):絕熱近似法（貝瑞相因子）格林函數(shù)法

第二部分方法：近似方法、二次量子化方法、散射理論

4．1絕熱近似法H(t)隨時(shí)間變化極其緩慢，以至每一個(gè)瞬間系統(tǒng)都處于準(zhǔn)定態(tài)則在絕熱近似下

貝瑞相因子：Berry在1984年重新研究了量子體系在絕熱近似下的演化過程。令人出乎意料地發(fā)現(xiàn)了Berry相因子，導(dǎo)致了對(duì)量子力學(xué)相位物理概念的新認(rèn)識(shí)。假定體系的哈密頓量H通過某些參數(shù)R而依賴于時(shí)t，即能量本征方程

則有式中除因子

(動(dòng)力學(xué)因子)外，還有因子如果參數(shù)R＝R(t)在R-參數(shù)空間t=0和t=T時(shí)刻之間形成閉合曲線C，即R(0)=R(T)，則H[R(0)]=H[R(T)],系統(tǒng)作循環(huán)演化。貝瑞發(fā)現(xiàn)

即是不可積相因子，它沿閉合曲線C延拓時(shí)，不是R的單值函數(shù)。注意：Berry絕熱相位是對(duì)循回過程定義的對(duì)Berry相位的正確解釋必須引用拓?fù)鋵W(xué)的概念4．2定態(tài)問題的格林函數(shù)方法定義，性質(zhì)，計(jì)算，求對(duì)應(yīng)于定態(tài)問題的格林函數(shù)為非齊次方程的解：其中z是復(fù)數(shù)，G(z)和滿足相同的邊界條件。定態(tài)格林函數(shù)定義

在x表象中

G(z)的奇異性出現(xiàn)在推遲（超前）格林函數(shù)

G(z)的性質(zhì)

性質(zhì)Ⅰ：由G(z)在實(shí)軸上的單極點(diǎn)位置可以得到分立的能量本征值，相應(yīng)的留數(shù)包含著本征態(tài)的信息。性質(zhì)Ⅱ：G(z)在實(shí)軸上的支切給出了體系的連續(xù)譜，相應(yīng)的支切兩端的不連續(xù)性，描寫了態(tài)密度。格林函數(shù)的微擾展開--戴遜微擾法

第五章二次量子化方法要點(diǎn):占據(jù)數(shù)表象*相干態(tài)二次量子化方法

5．1諧振子的占據(jù)數(shù)表象

相干態(tài)

相干態(tài)的定義

定義一：相干態(tài)是一維諧振子基態(tài)經(jīng)空間平移后的態(tài)。為相干態(tài)定義二：相干態(tài)是諧振子消滅算符的本征態(tài)。相干態(tài)的表式

相干態(tài)的性質(zhì)

(1)相干態(tài)不具有正交性，但是歸一的。(2)相干態(tài)具有完備性，構(gòu)成完備集。不正交的完備集稱為超完備集(3)算符在相干態(tài)中的平均值。

(4)相干態(tài)中含有N的本征態(tài)的概率。典型的泊松分布

相干態(tài)是最小不確定態(tài)

5．2玻色子系的二次量子化薛定諤繪景的坐標(biāo)表象→占據(jù)數(shù)表象占據(jù)數(shù)表象的基矢及其完備性

產(chǎn)生和消滅算符場(chǎng)量算符

為產(chǎn)生算符是消滅算符

各類算符的表達(dá)式單體型算符兩體型算符總結(jié)我們的方法

單粒子問題

多粒子問題

→單粒子波函數(shù)方程波函數(shù)→算符算符對(duì)易關(guān)系波函數(shù)方程→算符方程→→→第六章散射理論要點(diǎn):勢(shì)散射理論形式散射理論

6．1散射問題散射問題歸結(jié)為：解薛定諤方程的漸近形式，

得出散射振幅和微分散射截面。散射波

勢(shì)散射問題

全同粒子散射波函數(shù)應(yīng)該是對(duì)稱或反對(duì)稱的

對(duì)調(diào)入射粒子和靶的地位自旋為零的粒子自旋為s的情形

6．2勢(shì)散射的格林函數(shù)解法方程邊界條件

求格林函數(shù)解法

考慮到邊界條件，應(yīng)取玻恩近似（一級(jí)近似）形式解(李普曼-施溫格方程)

出射態(tài)入射態(tài)6．3李普曼-施溫格方程考慮散射體系滿足絕熱近似：

時(shí)入射粒子和靶之間的相互作用尚未發(fā)生，以后相互作用緩慢地引入，時(shí)相互作用又逐漸消失。可用級(jí)數(shù)求解李普曼-施溫格閉合形式解任務(wù)歸結(jié)為求全格林函數(shù)

6．4形式理論(散射矩陣及其性質(zhì))散射矩陣的定義相當(dāng)于S矩陣的性質(zhì)幺正性、與的對(duì)易性、對(duì)稱性S矩陣元

躍遷矩陣T

散射任務(wù)是求S，S與T由上式相聯(lián)系，因而T在散射理論中非常重要。躍遷幾率

由躍遷幾率可以求得微分截面光學(xué)定理

細(xì)致平衡定理(時(shí)間反演不變性)H在時(shí)間反演下不變，由它構(gòu)成的S矩陣在時(shí)間反演下也不變，有這一式子表達(dá)了散射過程的微觀可逆性，這在統(tǒng)計(jì)力學(xué)的基礎(chǔ)理論中具有重大的意義。

第三章時(shí)空對(duì)稱性要點(diǎn):時(shí)空對(duì)稱性與守恒律—平移轉(zhuǎn)動(dòng)反射反演

第三部分專題:時(shí)空對(duì)稱、角動(dòng)量3．1對(duì)稱性保持體系物理性質(zhì)不變的變換稱之為對(duì)稱性變換。對(duì)稱性變換是不改變體系物理性質(zhì)的變換，即所有測(cè)量結(jié)果都不會(huì)因變換而改變，即維格納定理：保持態(tài)矢量絕對(duì)值不變的對(duì)稱變換，只能是幺正變換或反幺正變換。對(duì)稱性的數(shù)學(xué)表示對(duì)稱性和守恒量

任意力學(xué)量A守恒的條件

守恒量A可以由對(duì)稱變換U來(lái)決定兩種可能性：幺正變換或反幺正變換。反幺正變換中無(wú)守恒量。幺正變換算符可以對(duì)應(yīng)于一個(gè)可觀察量即厄密算符。當(dāng)幺正算符本身就是厄密算符時(shí)，U本身就是守恒量；當(dāng)U僅是幺正的，但不是厄密的，則要找到一個(gè)與U有關(guān)的厄密算符作為守恒量。對(duì)稱性和簡(jiǎn)并

定理：能級(jí)存在簡(jiǎn)并的充要條件是系統(tǒng)的對(duì)稱變換算符(或守恒算符)不全對(duì)易。

3．2空間平移、空間轉(zhuǎn)動(dòng)和時(shí)間平移空間平移不變性與動(dòng)量守恒空間均勻空間平移不變性導(dǎo)致動(dòng)量守恒

空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性與角動(dòng)量守恒各向同性

空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性導(dǎo)致角動(dòng)量守恒

時(shí)間平移不變性與能量守恒

孤立系統(tǒng)

時(shí)間平移不變性導(dǎo)致能量守恒3．3空間反射宇稱算符

坐標(biāo)表象P的本征值

對(duì)應(yīng)偶宇稱態(tài)和奇宇稱態(tài)

力學(xué)量算符按宇稱分為偶算符或奇算符

物理量的分類①標(biāo)量：在旋轉(zhuǎn)變換下不變，而且在反射變換下數(shù)值和符號(hào)都不變的量。②贗標(biāo)量：在旋轉(zhuǎn)變換下不變，但是在反射變換下數(shù)值不變而符號(hào)改變的量。③極矢量(真矢量)：在反射變換下改變符號(hào)的矢量。④贗矢量(軸矢量)：在反射變換下不改變符號(hào)的矢量。選擇定則偶宇稱算符在宇稱不同的兩個(gè)宇稱本征態(tài)之間的矩陣元為零，而奇宇稱算符在宇稱相同的兩個(gè)宇稱本征態(tài)之間的矩陣元為零。內(nèi)稟宇稱總的宇稱P是內(nèi)稟宇稱和軌道宇稱的乘積

空間反射不變性和宇稱守恒

如果系統(tǒng)對(duì)于空間坐標(biāo)系原點(diǎn)的反射具有不變性，即空間左右不可分，則系統(tǒng)具有空間反射對(duì)稱性，其宇稱守恒為在1956年以前，人們認(rèn)為所有體系的哈密頓量對(duì)空間反射都將保持不變、或者說(shuō)物理過程與其鏡像過程是對(duì)稱的，因而認(rèn)為宇稱守恒定律是一條普遍規(guī)律。1956年李政道和楊振寧發(fā)現(xiàn)在弱相互作用過程中宇稱不守恒，使人們對(duì)微觀世界的認(rèn)識(shí)前進(jìn)了一大步。3．4時(shí)間反演時(shí)間反演態(tài)并不意味著時(shí)間倒流，只不過是運(yùn)動(dòng)方向的倒轉(zhuǎn)時(shí)間反演算符是反幺正的：U是幺正算符，K是取復(fù)數(shù)共軛的算符如果系統(tǒng)具有時(shí)間反演不變性，則有因T是反幺正的，不對(duì)應(yīng)于可觀察的物理量，無(wú)守恒量。無(wú)自旋的時(shí)間反演算符

有自旋的時(shí)間反演算符

自旋為1/2時(shí)第七章角動(dòng)量理論要點(diǎn):轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的定義性質(zhì)表示式

7．1角動(dòng)量算符

7．2兩個(gè)角動(dòng)量的合成(C-G系數(shù))7．3轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的定義

用各種本征態(tài)的線性疊加

稱為轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣

計(jì)算相當(dāng)困難轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣性質(zhì)

構(gòu)成一個(gè)三維空間轉(zhuǎn)動(dòng)群SO(3)，它是連續(xù)、非阿貝爾群群條件：封閉性、存在單位元、存在逆元素、滿足結(jié)合律轉(zhuǎn)動(dòng)群表示的約化和不可約表示是整個(gè)角動(dòng)量空間中的矩陣，維度無(wú)限

為

維子空間中的矩陣群表示分解為各個(gè)表示，這一手續(xù)稱為群的約化，即SO(3)群的約化。

不能進(jìn)一步被約化，

是轉(zhuǎn)動(dòng)群的不可約表示。

表示的直積及其分解轉(zhuǎn)動(dòng)群的兩個(gè)不可約表示的直積在合成角動(dòng)量表象中被約化成為各個(gè)的直和。的幺正性、正交性、表示式波函數(shù)的變換

1、標(biāo)量波函數(shù)轉(zhuǎn)動(dòng)前后的波函數(shù)不變，這種波函數(shù)稱為標(biāo)量波函數(shù)，它描寫無(wú)自旋的粒子。

2、矢量波函數(shù)它描寫自旋S為整數(shù)的粒子，滿足下列變換

3、旋量波函數(shù)如果自旋S為半奇整數(shù)，波函數(shù)對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)變換是旋量考慮S=1/2

采用歐拉角作為參量（不考慮軌道部分）設(shè)自旋角動(dòng)量在z軸上的投影為的兩個(gè)態(tài)是

當(dāng)增加時(shí)態(tài)矢量改變符號(hào)。這是半整數(shù)自旋角動(dòng)量本征態(tài)的共同特點(diǎn)，稱為旋量波函數(shù)。

作變換

第四部分

第九章相對(duì)論量子力學(xué)要點(diǎn):狄拉克方程及其討論電磁場(chǎng)中的狄拉克方程9．1K-G方程負(fù)能量困難、負(fù)幾率困難

對(duì)于能量的本征態(tài)對(duì)于負(fù)能態(tài)

（平面波）

任何形式的相對(duì)論波動(dòng)方程都有負(fù)能困難，但是負(fù)幾率的問題，起源于K-G方程含有時(shí)間的二階微商，不是所有的相對(duì)論方程都有的困難。9．2狄拉克方程狄拉克認(rèn)為，要保持波函數(shù)的幾率解釋，時(shí)間微商須是一階的，相應(yīng)地空間微商也須是一階的，以滿足相對(duì)性的要求。這樣克服了負(fù)幾率困難,又滿足相對(duì)性要求。形式上，有由對(duì)應(yīng)關(guān)系可得

為了保證H是厄密的狄拉克矩陣

狄拉克矩陣的最低維數(shù)為4（非唯一）取狄拉克表象

幾率正定自旋角動(dòng)量從狄拉克方程出發(fā)，軌道角動(dòng)量不再守恒要保證總角動(dòng)量守恒，必須引入內(nèi)稟角動(dòng)量（自旋）

電子的自旋性質(zhì)能自然地從狄拉克方程得出，而不再是作為假設(shè)而引進(jìn)的。平面波解

螺旋性算符負(fù)能態(tài)問題(空穴理論)

為了克服負(fù)能